高二-人教A版-数学-选择性必修第一册第一章《空间向量及其线性运算》课件

高二—人教A版—数学—选择性必修第一册第一章

空间向量及其线性运算一.教学目标二.情景引入

这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.显然这些力不在同一个平面内.这就是我们今天要学习的空间向量.三.新知初探(一)空间向量的有关概念1.定义：在空间，具有

和

的量叫做空间向量.2.长度或模：空间向量的

.大小方向

大小

3.表示方法：有向线段

起点终点

4.几个特殊的向量概念：平面向量空间向量零向量：单位向量：相等向量：相反向量：模为0的向量，记作：0模为1的向量模相等，方向相同的向量模相等，方向相反的向量空间中的任意两个非零向量，都可以通过平移使它们的起点重合。因此，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。所以对于空间向量的研究可以类比平面向量得出.（二）空间向量的线性运算1.空间向量的加法、减法

运算：空间向量的加法、减法运算与平面向量的运算一样.

运算律：①交换律：②结合律：AaOQPλaλ>0MNλaλ<02.空间向量的数乘运算

运算：空间向量的数乘运算与平面向量的运算一样.

运算律：①结合律：②分配律：当，当，当0或，

给定一个实数λ与任意一个空间向量

，则实数λ与空间向量

相乘的运算称为数乘向量，记作

．其中：当λ≠0且

时，

的模为,而且的方向满足：对于空间中任意向量a和向量b,以及实数λ和μ，3.知识拓展⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：4.互动探究在平行六面体中，分别标出表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.发现：即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．（三）共线向量1.定义(类比平面向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______________，则这些向量叫做_________或平行向量．互相平行或重合共线向量规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量

，都有0∥a.探究思考2:反之，

与

有什么样的位置关系时，？

对任意两个空间向量

与

,如果,与

有什么样的位置关系？类比平面向量对任意两个空间向量

与

,如果,则

与

是平行或者共线的向量.反之，当

与

是平行或者共线的向量，则存在实数满足.对于空间任意两个向量𝑎,𝑏(𝑏≠0),𝑎//𝑏

的充要条件是存在实数λ使______.3.直线的方向向量：2.共线向量定理：直线

可以由其上一点和和它的方向向量确定。此时我们把与向量

平行的非零向量称为直线l的方向向量.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量

，则对于直线l上任意一

点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数

,使得

思考：通过证明𝑎//𝑏，还需要什么条件呢？需要说明向量a所在的直线上至少有一点不在向量b所在的直线上.（四）共面向量平行于__________的向量叫做共面向量．1.定义同一个平面我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个空间向量共面呢？如图：如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线.

OAl如果直线平行于平面或在平面内,那么向量平行于平面.探究思考3:对平面内任意两个不共线的向量由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量都可以写成，其中是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量，如果，那么向量与向量有什么位置关系？反过来，向量与向量有什么位置关系时，？

猜想：如果空间两个向量不共线，则向量与向量共面存在唯一的有序实数对

使.

2.共面向量定理：OACB空间两个向量不共线，向量与向量共面存在唯一的有序实数对

使.

证明：（1）必要性，如果向量与向量共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内.

使得.由平面向量基本定理可知，存在唯一的实数对（2）充分性，如果向量满足，则可选定一点O

，作于是显然

都在平面

内，故

共面.3.推论（判断点在平面内）：Mα引入空间任一点,

可变式为空间一点位于平面内存在唯一的有序实数对使.推论1：空间四点共面存在唯一有序实数对使如果我们令则

,其中.推论2：空间四点共面存在唯一的有序实数对使其中.四.课堂练习答案：(1)×

(2)√(3)×(4)×考点：空间向量的概念.五.例题讲解OABCDEFGH思路探究：欲证四点共面，只需证明共面.而由已知

共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得

共面的表达式.

例：如图，已知平行四边形，过平面外一点，作射线

，在四条射线上分别取点,使

.

求证：四点共面.

考点：空间中四点共面的判定.OABCDEFGH是平行四边形由向量共面的充要条件可知，共面,又过同一点,从而四点共面.证明：.六.课堂小结1.空间向量的概念.2.空间向量的加法、减法、数乘运算.3.共线向量（平行向量）的概念及空间向量共线的充要条件及其应用.4.共面向量的概念及空间向量共面的充要条件及其应用.平面向量空间向量类比七.课后作业课本的第2，3，4，5题.课堂到此结束，谢谢观看！空间向量及其线性运算答疑高二—人教A版—数学—选择性必修第一册第一章

一：对共面向量充要条件定理证明的理解必要性的证明：是根据平面向量基本定理得出的，比较好理解.充分性的证明：当都为或部分为零向量的时候，充分性显然成立.由共面向量的充要条件，可以建立平面的参数方程，将平面用点和向量表示出来，这就是用空间向量解决立体几何问题的基础.OACB当都不是零向量时，因为分别与共线,所以都在

确定的平面内.又因为是以为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，且此平行四边形在确定的平面内，所以在确定的平面内.所以共面.二：对四点共面充要条件定理的理解将证明点在平面内的问题转化为有公共起点的三个向量的共面问题.将四点共面问题转化为空间中同一个起点的向量的线性运算问题.其中空间四点共面存在唯一的有序实数对使其中.空间一点位于平面内存在唯一的有序实数对使.练习：解法2：根据共面向量定理的推论，P,Q,R,S,都可以写成以A为起点的有向线段，只需判断的系数和是否为1.下列向量关系式中，能确定空间四点

共面的是（）解法1：

为共面向量.故P,Q,R,S四点共面.故选：D比如选项D:根据共面向量定理，将四点共面问题转化为同一