数学优化训练：从力做的功到向量的数量积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§5从力做的功到向量的数量积5分钟训练（预习类训练，可用于课前)1.下列命题中正确的个数有(）①a·0=0②0·a=0③0-=④|a·b|=|a||b｜⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2A。7B.5C.4解析:7个命题中只有③⑦正确.对于①,两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；对于②,应有0·a=0；对于④,由数量积定义，有|a·b|=|a||b|·｜cosθ｜≤|a|｜b｜，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时,才有｜a·b|=｜a||b｜；对于⑤,若非零向量a、b垂直,有a·b=0；对于⑥,由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.答案:D2.已知｜a|=3，|b|=6，当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角为60°时，分别求a·b.解:①当a∥b时，若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,∴a·b=|a||b｜cos0°=3×6×1=18；若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，∴a·b=｜a｜｜b|cos180°=3×6×（-1）=-18.②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，∴a·b=0。③当a与b的夹角是60°时，有a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.3.已知｜a｜=10,｜b|=12,a与b的夹角为120°，求a·b。解：由定义，a·b=|a｜｜b｜cosθ=10×12×cos120°=-60.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1。给出下列命题：①在△ABC中，若·＜0,则△ABC是锐角三角形；②在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形;③△ABC是直角三角形·=0；④△ABC是斜三角形一定有·≠0。其中，正确命题的序号是____________________。解析：①∵·〈0,∴·=-·〉0.∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角。∴推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.②∵·>0，∴·=—·<0.∠A是钝角,因而△ABC是钝角三角形。故命题②是真命题.③△ABC是直角三角形,则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C。而·=0仅能保证∠B是直角.故命题③是假命题.④一方面，当△ABC是斜三角形时,其三个内角均不是直角，故·≠0.故命题④是真命题。答案：②④2。若向量a、b、c满足a+b+c=0，且｜a|=3，|b|=1，｜c｜=4，则a·b+b·c+a·c=____________。解法一：∵a+b+c=0,∴（a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·∴2(a·b+b·c+a·c）=—(a2+b2+c2）=—(|a｜2+|b｜2+|c｜2）=-（32+12+42）=-26。∴a·b+b·c+a·c=-13.解法二：根据已知条件可知｜c｜=｜a|+|b｜,c=—a—b，所以a与b同向，c与a+b反向。所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=—13。答案：—133.已知a、b是两个非零向量，同时满足｜a|=|b｜=|a—b｜，求a与a+b的夹角.解法一：根据｜a|=｜b|,有|a|2=｜b｜2。又由|b|=｜a-b|，得｜b|2=｜a｜2—2a·b+|b｜2,∴a·b=｜a|2。而|a+b｜2=｜a｜2+2a·b+｜b|2=3｜a|2,∴|a+b|=｜a|.设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=，∴θ=30°。解法二：设向量a=（x1，y1)，b=(x2,y2),∵｜a｜=|b｜,∴x12+y12=x22+y22。由|b|=｜a-b|，得x1x2+y1y2=（x12+y12），即a·b=（x12+y12）.由|a+b｜2=2(x12+y12）+2×(x12+y12）=3(x12+y12），得|a+b｜=（x12+y12）。设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=，∴θ=30°.解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.∵|a｜=｜b｜，即｜|=||，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a—b.而|a|=|b｜=｜a—b｜，即｜|=||=｜|。∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°,于是∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°。4.若（a+b)⊥（2a-b),(a-2b）⊥（2a+b)，试求a与解:由（a+b)⊥(2a-b）,(a—2b)⊥（2a+∴a2=b2,|a｜2=|b｜2，｜a|=｜b｜。由2a2+a·b—b2a·b=b2-2a2=|b|2-2|a｜2=|b|2—2×｜b|2=|b|2，∴cosθ=。∴a、b的夹角的余弦值为。5。已知|a｜=5，|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直？解：若向量a+mb与a—mb互相垂直，则有（a+mb）·(a—mb)=0,∴a2—m2b2=0。∵｜a|=5,|b|=12，∴a2=25,b2=144。∴25—144m2∴m=±.∴当且仅当m=±时,向量a+mb与a-mb互相垂直。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。若向量a、b、c为任意向量,m∈R，则下列等式不一定成立的是(）A。（a+b）+c=a+（b+c)B.(a+b）·c=a·c+b·cC。（a·b）c=a（b·c）D.m（a+b）=ma+mb解析：根据向量的加、减、乘运算法则解答此题。(a·b)·c≠a·（b·c）.答案:C2.已知a、b、c为任意非零向量，若a=b，则下列命题：①|a｜=|b|;②a2=b2；③a2=a·b；④c·(a—b）=0。正确的有()A。①③B.①②④C。②③④D.①②③④解析：a=b｜a|=|b|;a2=b2；a2=a·b；c·（a—b）=0，而四个命题均不能推出a=b成立。答案：D3.对任意向量a、b,｜a||b|与a·b的大小关系是()A.｜a｜|b|＜a·bB。|a｜|b｜＞a·bC.|a｜｜b｜≥a·bD.两者大小不定解：|a｜｜b｜-a·b=｜a｜｜b｜—|a｜｜b｜cosθ=｜a|｜b｜（1-cosθ）。∵θ∈［0，π］，∴—1≤cosθ≤1，1—cosθ∈［0,2］。又|a｜≥0，|b｜≥0,1—cosθ≥0，∴|a|｜b｜≥a·b.答案:C4。设a、b、c是任意的非零向量,且相互不共线，则①（a·b)c—（c·a）b=0；②a2=|a|2;③(b·c)a-（c·a）b不与c垂直；④（3a+2b）·(3a—2b）=9｜a|2-4|b｜是真命题的有（)A。①②B.②③C.③④D.②④解析:命题①中,a·b的运算结果为数，故（a·b）c为一向量，同理(a·c）b也是一向量,向量之差为向量.故①不正确。由数量积的性质知②正确.又［（b·c）a—(c·a）b］·c=（b·c)（a·c)-(c·a)（b·c）=0，而（a·c）b与(b·c）a不可能同时为零向量，故命题③不正确，④正确。答案：D5.下列命题：①△ABC为锐角三角形，则必有·＞0；②若a·b=0，则a⊥b；③若a·b=a·c，且a≠0,则b=c；④｜a·b｜=|a||b｜a∥b.其中正确命题的个数是（)A。1B。2C。3解析：命题①：·=｜||｜·cos（π—∠ABC）＜0，不正确。命题②：当a、b为0时，a·b=0a⊥b命题③：a·b=a·c，即｜a||b|·cosθ1=|a||b|·cosθ2,又a≠0，∴｜b|cosθ1=｜c｜cosθ2不一定有b=c。故不正确。命题④：｜a·b|=||a||b|cosθ|=|a|·|b｜·｜cosθ|=|a｜|b｜｜cosθ｜=1θ=0或π，故a∥b.另外当a、b中有一个为0时，也有a∥b.故正确.答案：A6。已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为________________。解析：投影为=｜a｜·cos=-2。答案：-27。向量α、β满足|α+β|=|α—β｜，则α与β的夹角是_________________.解析:∵|α+β|=|α-β|，∴|α+β|2=｜α—β|2，即α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2.∴α·β=0.又α、β均为非零向量,故α与β的夹角为90°.答案：90°8。已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互间的夹角均为120°.（1）求证：（a-b）⊥c；(2）若｜ka+b+c|=1（k∈R），求k的值。（1)证明：∵（a—b）·c=a·c-b·c=｜a|｜c|·cos120°—｜b｜|c｜cos120°,又｜a｜=|b|=｜c｜，∴（a—b)·c=0，即(a-b）⊥c。（2）解：由|ka+b+c|=1，得｜ka+b+c|2=12，即（ka+b+c）2=1，∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c又a·b=a·c=b·c=,∴k2—2k=0.解得k=2或0.9。已知｜a｜=3,|b|=2,a与b的夹角为6