第二章-机器人静力分析与动力学

第2章

机器人静力分析与动力学机器人是一个复杂的动力学系统，机器人系统在外载荷和关节驱动力矩(驱动力)的作用下将取得静力平衡，在关节驱动力矩(驱动力)的作用下将发生运动变化。机器人的动态性能不仅与运动学因素有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等对动力学产生重要影响的因素有关。机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。机器人动力学主要解决动力学正问题和逆问题两类问题：动力学正问题是根据各关节的驱动力(或力矩)，求解机器人的运动(关节位移、速度和加速度)，主要用于机器人的仿真；动力学逆问题是已知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力(或力矩)，是实时控制的需要。本章首先介绍与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，在机器人雅可比矩阵分析的基础上进行机器人的静力分析，讨论动力学的基本问题，对机器人的动态特性作简要论述，以便为机器人编程、控制等打下基础。2.1机器人雅可比矩阵机器人雅可比矩阵揭示了操作空间与关节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关节空间的速度映射关系，也表示二者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间速度、加速度和静力的变换提供了便捷的方法。2.1.1机器人雅可比的定义在机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量

变换为手爪相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵。在机器人速度分析和静力分析中都将用到雅可比。图2.1所示为二自由度平面关节型机器人(2R机器人)，端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系为图2.1二自由度平面关节型机器人简图即将其微分得令dX=JdθJ称为图2.1所示2R机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动dθ与手部作业空间微小位移dX的关系。对上式进行运算，则从J中元素的组成可见，J阵的值是关于θ1及θ2的函数。推而广之，对于nR机器人，关节变量q=[q1,q2,

…,qn]T，当关节为转动关节时qi=θi；当关节为移动关节时qi=di，dq=[dq1，dq2,

…

,dqn]T，反映了关节空间的微小运动。机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q)，并且是一个6维列矢量。dX=[dX，dY，dZ，

φX，

φY，

φZ]T反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移(微小转动)组成。因此dX=J(q)dq式中：J(q)称为n自由度机器人速度雅可比，可表示为2.1.2机器人速度分析利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析。对式(2.7)左、右两边各除以dt得或表示为

式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度；

为机器人关节在关节空间中的关节速度；J(q)为确定关节空间速度

与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。对于图2.1所示2R机器人而言，J(q)是2×2矩阵。若令J1，J2分别为雅可比的第1列矢量和第2列矢量，则

式中：右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点速度。图2.1所示二自由度机器人手部的速度为反之，假如给定机器人手部速度，可由式(2.10)解出相应的关节速度为例2.12.1.3机器人雅可比讨论对于平面运动的机器人，其J的行数恒为3，列数则为机械手含有的关节数目，手的广义位置向量[X，Y，φ]T均容易确定，且方位φ与角运动的形成顺序无关，故可采用直接微分法求φ，非常方便。在三维空间作业的六自由度机器人的雅可比矩阵J的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比，后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵J的每一列则代表相应关节速度

对手部线速度和角速度的传递比，J阵的行数恒为6，前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量[φX，φY，φZ]T的一般表达式。因此常用构造法求雅可比J。如果希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，则应计算出沿路径每一瞬时相应的关节速度。但是，当雅可比的秩不是满秩时，求解逆速度雅可比J

–1较困难，有时还可能出现奇异解，此时相应操作空间的点为奇异点，无法解出关节速度，机器人处于退化位置。机器人的奇异形位分为两类：(1)边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时，使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理结构的约束。(2)内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。当机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在工作空间的某个方向上，不管怎样选择机器人关节速度，手部也不可能实现移动。2.2机器人静力分析机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制的基础。2.2.1操作臂力和力矩的平衡如图2.3所示，杆i通过关节i和i+1分别与杆i–1和i+1相连接，建立两个坐标系{i–1}和{i}。图2.3杆i上的力和力矩连杆的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力和力矩平衡方程式为式中：ri–1，i

—坐标系{i}的原点相对于坐标系{i+1}的位置矢量；ri，Ci

—质心相对于坐标系{i}的位置矢量。假如已知外界环境对机器人末杆的作用力和力矩，那么可以由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。2.2.2机器人力雅可比为了便于表示机器人手部端点的力和力矩(简称为端点广义力F

)，可将

fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式，即式中：n为关节的个数；τ为关节力矩(或关节力)矢量，简称广义关节力矩。对于转动关节，τi表示关节驱动力矩；对于移动关节，τi表示关节驱动力。假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，现利用虚功原理推导机器人手部端点力F与关节力矩τ的关系。如图2.4所示，关节虚位移为δqi，末端执行器的虚位移为δX，则式中：d=[dX，dY，dZ]T、δ=[δ

X，δ

Y，δ

Z]T分别对应于末端执行器的线虚位移和角虚位移；δq为由各关节虚位移δqi组成的机器人关节虚位移矢量。图2.4末端执行器及各关节的虚位移假设发生上述虚位移时，各关节力矩为τi(i=1，2,

…

,n)，环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为–fn，n+1和–nn，n+1。由上述力和力矩所作的虚功可以由下式求出：或写成根据虚位移原理，机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意符合几何约束的虚位移有δW=0，并注意到虚位移δq和δX之间符合杆件的几何约束条件。利用式δX=Jδq式中：δq表示从几何结构上允许位移的关节独立变量。对任意的δq，欲使δW

=0成立，必有

上式表示了在静态平衡状态下，手部端点力F和广义关节力矩τ之间的线性映射关系。JT与手部端点力F和广义关节力矩τ之间的力传递有关，称为机器人力雅可比。显然，机器人力雅可比JT是速度雅可比J的转置矩阵。2.2.3机器人静力计算机器人操作臂静力计算可分为两类问题：(1)已知外界环境对机器人手部的作用力F′，利用式(2.20)求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。(2)已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用力或负载的质量。第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为 F=(JT)–1τ机器人的自由度不是6时，例如n>6时，力雅可比矩阵就不是方阵，则JT就没有逆解。所以，对第二类问题的求解就困难得多，一般情况不一定能得到惟一的解。如果F的维数比τ的维数低，且J满秩，则可利用最小二乘法求得F的估计值。例2.22.3机器人动力学方程机器人动力学的研究有牛顿-欧拉(Newton-Euler)法、拉格朗日(Langrange)法、高斯(Gauss)法、凯恩(Kane)法及罗伯逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg)法等。本节介绍动力学研究常用的牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程。2.3.1欧拉方程应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指：研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。质量为m、质心在C点的刚体，作用在其质心的力F的大小与质心加速度aC的关系

F=maC

式中：F、aC为三维矢量。上式称为牛顿方程。欲使刚体得到角速度为ω、角加速度为ε的转动，则作用在刚体上力矩M的大小为

M=CIε+ω×CIω

式中：M、ε、ω均为三维矢量；CI为刚体相对于原点通过质心C并与刚体固结的刚体坐标系的惯性张量。上式称为欧拉方程。在三维空间运动的任一刚体，其惯性张量CI可用质量惯性矩IXX、IYY、IZZ和惯性积IXY、IYZ、IZX为元素的3×3阶矩阵或4×4阶齐次坐标矩阵来表示。通常将描述惯性张量的参考坐标系固定在刚体上，以方便刚体运动的分析。这种坐标系称为刚体坐标系(简称体坐标系)。2.3.2拉格朗日方程在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立起机器人的动力学方程。这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可建立比较方便而有效的动力学方程。对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总动能Ek与总势能Ep之差，即 L=Ek–Ep

由拉格朗日函数L所描述的系统动力学状态的拉格朗日方程为将L代入，上式可写成应用上式时应注意：(1)系统的势能Ep仅是广义坐标qi的函数，而动能Ek是qi、

及时间t的函数，因此拉格朗日函数可以写成L=L

(qi，

，t)。(2)若qi

是线位移，则

是线速度，对应的广义力Fi就是力；若qi是角位移，则

是角速度，对应的广义力Fi是力矩。2.3.3平面关节机器人动力学分析机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。机器人动力学问题有两类：(1)给出已知的轨迹点上的

，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量τ。这对实现机器人动态控制是相当有用的。(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动

。这对模拟机器人的运动是非常有用的。一、机器人动力学方程的推导过程机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下：(1)选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量qi，i=1,2,…,n。(2)选定相应关节上的广义力Fi：当qi是位移变量时，Fi为力；当qi是角度变量时，Fi为力矩。(3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。推导过程见课本，从推导可以看出，很简单的二自由度平面关节型机器人的动力学方程已经很复杂，包含了很多因素，这些因素都在影响机器人的动力学特性。对于比较复杂的多自由度机器人，其动力学方程更庞杂，推导过程更为复杂，不利于机器人的实时控制。故进行动力学分析时，通常进行下列简化：(1)当杆件长度不太长，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略。(2)当关节速度不太大，机器人不是高速机器人时，含有

的项可以省略。(3)当关节加速度不太大，即关节电动机的升、降速比较平稳时，含有的项有时可以省略。但关节加速度减小会引起速度升降的时间增加，延长机器人作业循环的时间。二、关节空间和操作空间动力学1．关节空间和操作空间n个自由度操作臂的末端位姿X由n个关节变量所决定，这n个关节变量也叫做n维关节矢量q，所有关节矢量q构成了关节空间。末端执行器的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂末端位姿X是在直角坐标空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学方程X=X(q)