专题04 十字相乘法和分组分解法5种压轴题型全攻略（解析版）

专题04十字相乘法和分组分解法5种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一十字相乘法的简单计算】 1【考点二系数不为1的二次三项式的因式分解】 2【考点三分组分解法的简单计算】 2【考点四添项减项在因式分解中的应用】 3【考点五十字相乘法和分组分解法的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一十字相乘法的简单计算】【例题1】若多项式可分解为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：．【详解】解：多项式可分解为，．．．故选：C．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键【变式1】多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为() B． C．或 D．或【答案】D【分析】根据题意将多项式因式分解，即可得出的值，进而即可求解．【详解】解：∵∴或∴或，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【变式2】已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值有（

）个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】把常数项分为两个整数相乘，其和即为的值，即可确定出整数的个数．【详解】解：根据题意得：，可得，，2，，解得：，14，，2，共4个，故选：D．【点睛】此题考查了因式分解中的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．【变式3】甲、乙两人在因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么的值为（

） B． C． D．2【答案】A【分析】根据甲分解的结果求出，根据乙分解的结果求出，然后代入求解即可．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．【考点二系数不唯一的二次三项式的因式分解】【例题2】将在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，熟记十字相乘法因式分解是解决问题的关键．【变式1】多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求之值为何？（

） B． C．3 D．12【答案】A【分析】首先利用十字相乘法将因式分解，继而求得a，c的值，代入a+2c即可得到结果．【详解】解：利用十字相乘法，把多项式因式分解，可得，∵多项式可因式分解成（3x+a）（bx+c）∴，，∴故选：A．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解的知识，利用十字相乘法对（a≠0）型的式子因式分解是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1⋅a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1⋅c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)．解答本题的关键是明确题意，会用十字相乘法分解因式．【变式2】多项式的一个因式为（

） B． C． D．【答案】B【分析】先利用十字相乘法对原多项式进行因式分解，即可得到多项式的因式，由此进行判断即可．【详解】解：∵，∴多项式的一个因式为，故选B．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法．【变式3】若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（

）A．1 B．7 C．11 D．1【答案】B【分析】将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．【详解】解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），所以a=4，b=5，c=-3，所以a-c=4-（-3）=7，故选：B．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．【考点三分组分解法的简单计算】【例题3】将多项式因式分解，结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先运用完全平方公式展开，然后再合并，最后运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：===．故选B．【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式计算、十字相乘法因式分解等知识点，掌握运用十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键．【变式1】把多项式因式分解之后，正确的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．【详解】解：故选：D．【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．【变式2】用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：A．，故选项A分组正确，不符合题意；B．，故选项B分组正确，不符合题意；C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意；D．，故选项D分组正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法．【变式3】用分组分解的因式，分组正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：．故选：D．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．【考点四添项减项在因式分解中的应用】【例题4】分解因式：．【答案】【分析】先把分为与，分组分解，然后提公因式后利用十字相乘法分解．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法等：根据题目特点灵活运用因式分解的方法，解决此题的关键是把分为与，再利用分组分解法分解．【变式1】因式分解＝．【答案】【分析】根据添项结合分组分解可进行求解．【详解】解：原式===；故答案为．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【变式2】分解因式：=．【答案】【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的【考点五十字相乘法和分组分解法的拓展提高】【例题5】分解因式：．【答案】【分析】先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，然后提出公因式，即可求解．【详解】解：原式，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【变式1】因式分解：．【答案】【分析】先进行分组，再计算多项式乘以多项式，然后再利用十字相乘法可进行求解．【详解】解：；故答案为．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【变式2】已知，那么的值为【答案】2022【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【详解】∵，∴故答案为：2022．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【变式3】分解因式：．【答案】【分析】先把看做一个整体对原式利用十字相乘法分解因式得到，据此再利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.若多项式分解因式为，则的值是（）A．2 B． C．12 D．【答案】B【分析】利用十字相乘法很容易确定m的值．【详解】解：多项式分解因式为，即，，系数对应相等，，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法．2．多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（

）A． B．1 C． D．2023【答案】B【分析】先分解因式，求出、的值，再结合有理数的乘方进行计算，即可得到答案．【详解】解：，又多项式可因式分解成，，或，，，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键．3．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据甲看错了a的值可以知道，甲的分解结果中b的值是正确的，根据乙看错了b的值可以知道，乙的分解结果中a的值是正确的，据此即可得到a、b的值，进而得到答案．【详解】解：∵甲看错了a的值，∴，∴；∵乙看错了b的值，∴，∴，∴分解因式正确的结果为：，故选：C．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义．4．不论x为何值，等式都成立，则代数式的值为（

）A．-9 B．-3 C．3 D．9【答案】D【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值，即可求出答案．【详解】解：由题意可得，=，∴p=2，q=-3，则=9．故选D．【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．把分解因式，正确的分组为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．6．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【详解】解：a2b+ab2-a-b=（a2b-a）+（ab2-b）=a（ab-1）+b（ab-1）=（ab-1）（a+b）将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．二.填空题7.因式分解：．【答案】【分析】利用十字相乘因式分解即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，熟练运用十字相乘法是解题的关键．8.分解因式：．【答案】【分析】利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解．【详解】解：原式，，．故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式．9．分解因式：．【答案】【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：；故答案为：；【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如的二次三项式，若能找到两数a、b，使且，那么．10．因式分解：．【答案】【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．11．分解因式：【答案】【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法分解因式．12．若多项式可因式分解为，其中均为整数，则的值是．【答案】1【分析】首先利用十字相乘法将因式分解，即可得到的值，从而得到答案．【详解】解：利用十字相乘法将因式分解，得，，，故答案为：1．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定的值是得出正确答案的关键．13．分解因式：．【答案】【分析】先分组得到，再把每组分解，然后提公因式即可．【详解】原式故答案为【点睛】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式．14．分解因式：．【答案】【分析】将多项式第一、二、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查因式分解—分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．正确分组和公式的灵活运用是解题的关键．15．已知，那么的值为．【答案】2022【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【详解】∵，∴故答案为：2022．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．三、解答题16．阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．解：设另一个因式为，由题意，得，，所以，解得．所以另一个因式为，的值为．提出问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________；(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．【答案】(1)(2)另一个因式为，的值为85【分析】（1）设另一个因式为，由题意得，从而得到，进行计算即可得到答案；（2）设另一个因式为，由题意得：，从而得到，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：设另一个因式为，由题意得：，则，，解得：，另一个因式为，故答案为：；（2）解：设另一个因式为，由题意得：，则，，解得：，另一个因式为，的值为85．【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键．17．阅读理解题在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，基本式子为：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘积相加等于，得到，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．【详解】（1）解：；（2）当时，原式．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．18．分解因式：．【答案】【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键．19．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）将看出整体，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要彻底；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）将看成整体，利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点