南京一中2024-2025学年第一学期12月阶段性检测试卷 高二数学 答案

南京一中2024－2025学年第一学期12月阶段性检测试卷高二数学2024.12注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第Ⅰ卷(选择题共58分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线l的斜率为−3，则l的倾斜角为(

)A.−π3 B.−π6 C.【答案】C

解：设直线l的倾斜角为θ，因为直线的斜率是−3，所以又因为0≤θ<π，所以θ=2π3故选：C.2.已知等差数列an，其前n项和为Sn，若a2+a5A.3 B.6 C.9 D.27【答案】C

解：在等差数列an中，3a5所以S故选：C.3.抛物线x2=6y的焦点到其准线的距离等于(

A.32 B.3 C.6 【答案】B

解：由题意抛物线x2=6y的焦点坐标、准线方程分别为所以抛物线x2=6y的焦点到其准线的距离等于3.4.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为(

)A.25.5尺 B.34.5尺 C.37.5尺 D.96尺【答案】A

解：设这十二个节气的日影长依次成等差数列an，其中冬至的日影长为a1，

由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为a1+a4+a7=31.5，

5.已知P为椭圆C:x24+y2b2=1上的动点．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C

解：因为A(−1,0),B(1,0)，可得AB=2，则|PA|+|PB|=4>由椭圆的定义，可得点P的轨迹表示以A,B为焦点的椭圆，其中2a=4,2c=2，可得a=2,c=1，所以b2又因为点P在椭圆C:x2故选：C.6.P为直线y=kx−2上一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线，则A.3 B.33 C.−3【答案】D

解：由题意，点P为直线y=kx−2上一点，过P总能作圆x2可得直线y=kx−2与圆x2则满足圆心到直线的距离d=−2k2+1所以k的最小值为−37.已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，nan+1=2Sn，bn=(−1)A.0 B.50 C.100 D.2525【答案】B

解：法一：由于nan+1=2Sn①，则当n≥2时，(n−1)an=2Sn−1②，

①-②，得nan+1−(n−1)an=2an，即an+1an=n+1n，易知a2a1=21，

所以an=a1⋅a2a1⋅a3a2⋯ana8.直线y=kx交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，PA，PB的斜率分别为k1A.35 B.45 C.25【答案】A

解：设A(m,n)，B(−m,−n)，即m2a2+n2b2=1，

设P(x0,y0)，即x02a2+y02b2=1，

两式相减可得，x0二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知双曲线C:x29−yA.实轴长为6 B.焦距为5

C.离心率为43 【答案】AD

解：已知双曲线C:x29−y216=1，

则a=3，b=4，c=9+16=5，

对于选项A，双曲线的实轴长为6，

即选项A正确；

对于选项B，双曲线的焦距为10，

即选项B错误；

对于选项C，双曲线的离心率为53，

即选项C错误；

对于选项D10.数列{an}满足：a1=1，aA.数列{an+12}为等比数列 B.an=12×【答案】AB

解：∵数列{an}满足：a1=1，an+1−3an−1=0，n∈N∗，

∴an+1=3an+1，∴an+1+12=3(an+12)，

∵a1+12=32，

∴数列{an11.已知直线l:kx+y+2k−1=0，圆C:(x−1)2+(y−1)2=1，点P为直线l上一点，点A.直线l恒过定点(−2,1)

B.若圆C关于直线l对称，则k=1

C.若直线l与圆C相切，则k=±24

D.当k=1时，取y轴上一点E(0,3)，则【答案】ACD

解：对于A，直线l：kx+y+2k−1=0，即k(x+2)+y−1=0，

令x+2=0，则y−1=0，解得x=−2，y=1，

所以直线|恒过定点(−2,1)，故A正确;

对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心C(1,1)，

所以k+1+2k−1=0，解得k=0，故B错误;

对于C，若直线与圆C相切，则圆心C(1,1)到直线的距离等于半径1，

即|k+1+2k−1|k2+1=1，解得k=±24，故C正确;

对于D，当k=1时，直线l:x+y+1=0，点E(0,3)关于直线l的对称点F(x0,y0)，

则有y第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.方程(x−3)2+y2【答案】

x2解：方程(x−3表示点Px,y到A3,0,B所以方程(x−3且长轴长2a=10，焦距2c=6，所以a=5,c=3，所以短半轴长b=所以其标准方程为x22513.已知数列{an}满足：a1+【答案】2n解：设bn=an2n−1，{bn}的前n项和为Sn，

则Sn=2n，

当n>1时，bn=Sn−Sn−1，即a14.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，【答案】2解：由题意可设F(c,0)，A1(−a,0)，令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b可设B(c,b2a由A1B⊥A即有b2即为b4∴a=b，∴e即e=2四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2n+1，Sn，a成等差数列．(2)若bn=(2n−1)an求数列{解：(1)∵2n+1，Sn，a成等差数列，

∴2Sn=2n+1+a，即Sn=2n+a2，

当n=1时，2a1=2S1=4+a，即a1=2+a2，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+a2−2n−1−a2=2n−1，

∵{an}16．(本小题满分15分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，过F的直线与C交于A(x(1)求y1(2)求直线AD与C的公共点个数;(3)证明：DA⊥DB.解：(1)直线AB的斜率显然不为零，所以设直线AB的方程为x=my+2，与y2=8x联立，

得y2−8my−16=0，

所以y1y2=−16.

(2)直线AD的斜率为y1−y1+y22x1+2=y1−y22x1+4=y1+所以DA⋅DB=(y128+2,y1−17．(本小题满分15分)已知数列an满足(1)求a(2)若对任意的n∈N∗，an≥−1解：(1)当

n=1

时，

a1=3

；当

n≥2

时，又

a1+3上述两式作差可得

2n−1an=3n−3n−1=2⋅3n−1

，即

a(2)当

n≥2

时，an+1−an=2⋅所以，数列

an

从第二项开始单调递增，

若对任意的

n∈N∗

，

①当

n

为正奇数时，得an≥−λ

，

∵a1=3<a3=185<a②当

n

为正偶数时，得an≥λ，即得

综上所述，

−3≤λ≤2

.18．(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y(1)求圆O与圆C的外公切线的长;(2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设D(①求|PO||PD|的值②求圆心C到直线AB的距离的取值范围.解：(1)圆C:(x−4)2+(y−2)2=4的圆心C(4,2)，半径为2，

圆O:x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为1，

|OC|=25，

所以外公切线长为252−2−12=19;

(2)①设点P(a,b)，则满足(a−4)2+(b−2)2=4，得a2+b2=8a+4b−16，

所以|PD|2=(a−165)2+(b−85)2=a2+b2−325a−165b+645=a2+b19．(本小题满分17分)已知椭圆E:x2a2(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为kk≠0的直线l交椭圆E于A,B两点，线段AB的垂