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文档简介

洛

必

达

法

则高中必会系列之洛必达法则：若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内，f(x)与F(x)可导且F′(x)≠0；高数原概念若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内，f(x)与F(x)可导且F′(x)≠0；高数原概念我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为

型，比如：当x→0时，

的极限即为

型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．例如：则

概念补充练习2注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立.1.已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.当x≥0时，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2.当x＝0时，a∈R；记h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xex>0，因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上单调递增，即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立.2

已知函数

f(x)＝ax－a－xlnx.若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.依题意，ax－a－xlnx≥0恒成立，即a(x－1)≥xlnx恒成立，令g(x)＝x－1－lnx，x∈(0,1)，∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)>g(1)＝0，∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上单调递增.∴φ(x)>0，故a≤0，综上，实数a的取值范围是(－∞，0].

【分析】当a<0时显然不成立；当a≥0时，若x=0，则a∈R，若x>0，原不等式等价于，利用导数可得

在(0,+∞)上单调递减，利用洛必达法则求x→0时的值即可.

跟踪训练

已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围.当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，即2ax3＋x

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