2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-3.1.3空间向量的数量积运算[目标]1.驾驭空间向量夹角的概念及表示方法，驾驭两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.驾驭两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简洁的问题．[重点]空间向量的数量积运算．[难点]利用空间向量解决夹角、距离等问题．学问点一空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a，b是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b.(3)结论：∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b．2．范围：a，b∈[0，π]，其中，(1)当a，b＝0时，a与b的方向相同．(2)当a，b＝π时，a与b的方向相反．(3)当a，b＝eq\f(π,2)时，a与b相互垂直，记作a⊥b.[答一答]1．若a，b是空间的两个非零向量，则－a，b＝a，－b＝a，b，对吗？提示：不对．∵－a与a，－b与b分别是互为相反向量，∴－a，b＝a，－b＝π－a，b．学问点二空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosa，b．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面对量，你能说出a·b的几何意义吗？提示：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积．3．对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？提示：不能，若a，b，c是非零向量，则a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0，即可能有a⊥(b－c)成立．4．对于向量a，b，若a·b＝k，能不能写成a＝eq\f(k,b)？提示：不能，向量没有除法，eq\f(k,b)无意义．5．为什么(a·b)c＝a(b·c)不肯定成立？提示：由定义得(a·b)c＝(|a||b|cosa，b)c，即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cosb，c)，即a(b·c)＝λ2a，因此，(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不肯定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不肯定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清晰两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝eq\r(a·a)求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一空间向量的数量积运算【例1】如下图所示，已知正三棱锥A­BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点．求下列向量的数量积．(1)eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))；(2)eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))；(3)eq\o(GF,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))；(4)eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→)).【解】(1)由题知|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝a，且〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝60°，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝a·a·cos60°＝eq\f(1,2)a2.(2)|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝a，|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝a，且〈eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))〉＝60°.∴eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝a·a·cos60°＝eq\f(1,2)a2.(3)|eq\o(GF,\s\up16(→))|＝eq\f(1,2)a，|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝a，又eq\o(GF,\s\up16(→))∥eq\o(AC,\s\up16(→))，∴〈eq\o(GF,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝180°.∴eq\o(GF,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a·a·cos180°＝－eq\f(1,2)a2.(4)|eq\o(EF,\s\up16(→))|＝eq\f(1,2)a，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝a，又eq\o(EF,\s\up16(→))∥eq\o(BD,\s\up16(→))，∴〈eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉＝〈eq\o(BD,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))〉＝60°.∴eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a·a·cos60°＝eq\f(1,4)a2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积绽开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最终利用数量积的定义求解即可.留意挖掘几何体中的垂直关系或者特别角.已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))·(eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))．解：如图所示，(1)eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝|eq\o(OA,\s\up16(→))||eq\o(OB,\s\up16(→))|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)；(2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))·(eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→)))＝(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))·(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))·(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))－2eq\o(OC,\s\up16(→)))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二利用数量积求夹角【例2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(2)，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．【分析】求异面直线BA1与AC所成的角，可转化为求向量eq\o(BA1,\s\up16(→))与eq\o(AC,\s\up16(→))所成的角，因此可先求eq\o(BA1,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))，再求|eq\o(BA1,\s\up16(→))|，|eq\o(AC,\s\up16(→))|，最终套用夹角公式求得，但要留意两直线夹角与两向量夹角的区分．【解】因为eq\o(BA1,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BB1,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BA,\s\up16(→))，且eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(BB1,\s\up16(→))·eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(BB1,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，所以eq\o(BA1,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝(eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BB1,\s\up16(→)))·(eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BA,\s\up16(→)))＝eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\a\vs4\al(\o(BA,\s\up16(→)))2＋eq\o(BB1,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BB1,\s\up16(→))·eq\o(BA,\s\up16(→))＝－1.又|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BA1,\s\up16(→))|＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3).所以cos〈eq\o(BA1,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(BA1,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq\f(－1,\r(6))＝－eq\f(\r(6),6).则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),6).如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1，设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，eq\o(A1B,\s\up16(→))＝a－c，eq\o(AC,\s\up16(→))＝a＋b.∴eq\o(A1B,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1.而|eq\o(A1B,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(A1B,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(A1B,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝60°.∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.类型三利用数量积求距离【例3】在正四面体ABCD中，棱长为a.M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝eq\f(1,2)|ND|，求|MN|.【分析】转化为求向量eq\o(MN,\s\up16(→))的模，然后将向量eq\o(MN,\s\up16(→))分解，再依据数量积运算性质进行求解．【解】因为eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CN,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up16(→))，所以eq\o(MN,\s\up16(→))·eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up16(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up16(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up16(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up16(→))))＝eq\f(1,9)eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,9)eq\a\vs4\al(\o(AD,\s\up16(→)))2＋eq\f(4,9)eq\a\vs4\al(\o(AC,\s\up16(→)))2＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,9)a2－eq\f(2,9)a2＋eq\f(2,9)a2＋eq\f(1,9)a2＋eq\f(4,9)a2＝eq\f(5,9)a2.所以|MN|＝eq\f(\r(5),3)a.求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最终利用|a|2＝a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使直线AB与CD成60°角，求B，D间的距离．解：∵∠ACD＝90°，∴eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，同理eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))〉＝60°或120°.∵eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))，∴eq\a\vs4\al(\o(BD,\s\up16(→)))2＝eq\a\vs4\al(\o(BA,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(AC,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(CD,\s\up16(→)))2＋2eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋2eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＋2eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\a\vs4\al(\o(BA,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(AC,\s\up16(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(CD,\s\up16(→)))2＋2eq\o(BA,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝3＋2·1·1·cos〈eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))〉＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4〈\o(BA,\s\up16(→))，\o(CD,\s\up16(→))〉＝60°，,2〈\o(BA,\s\up16(→))，\o(CD,\s\up16(→))〉＝120°.))∴|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝2或eq\r(2)，即B，D间的距离为2或eq\r(2).类型四利用数量积证明垂直问题【例4】如下图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.【分析】本题考查利用a⊥b⇔a·b＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC中找出两相交向量与向量eq\o(B1O,\s\up16(→))垂直．【证明】不妨设正方体的棱长为1，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c＝0.由题图得：eq\o(PA,\s\up16(→))＝eq\o(PD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＝－b－eq\f(1,2)c，eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(PD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝a－eq\f(1,2)c，eq\o(B1O,\s\up16(→))＝eq\o(B1B,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＝－c＋eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c.∵eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(B1O,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－b－\f(1,2)c))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b－c))＝eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＋b·c＋eq\f(1,4)a·c－eq\f(1,4)b·c＋eq\f(1,2)c2，eq\o(PC,\s\up16(→))·eq\o(B1O,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)c))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b－c))＝－eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a·b－a·c＋eq\f(1,4)a·c－eq\f(1,4)b·c＋eq\f(1,2)c2，又∵|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝0，∴eq\o(PA,\s\up16(→))·eq\o(B1O,\s\up16(→))＝0，eq\o(PC,\s\up16(→))·eq\o(B1O,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(PA,\s\up16(→))⊥eq\o(B1O,\s\up16(→))，eq\o(PC,\s\up16(→))⊥eq\o(B1O,\s\up16(→)).∴PA⊥B1O，PC⊥B1O.又∵PA∩PC＝P，∴B1O⊥平面PAC.用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：如图．方法一：∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0.eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))·(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2－eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2－eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(BD,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(AD,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，从而AD⊥BC.方法二：设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(AD,\s\up16(→))＝c，∵AB⊥CD，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，即eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＝0，a·(c－b)＝0，即a·c＝b·a.∵AC⊥BD，∴eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0，即eq\o(AC,\s\up16(→))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝0，b·(c－a)＝0，即b·c＝b·a.∴a·c＝b·c，c·(b－a)＝0，即eq\o(AD,\s\up16(→))·(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝0，eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(AD,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，从而AD⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有(C)A.eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(A1C1,\s\up16(→))＝2a2B.eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC1,\s\up16(→))＝eq\r(2)a2C.eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a2D.eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(DA1,\s\up16(→))＝a2解析：∵eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\f(1,2)eq\o(AC1,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))·(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)))2＋eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\u