2024-2025学年新教材高中数学第二章函数2.4.1函数的奇偶性课时分层作业含解析北师大版必修第一册

PAGE课时分层作业(十八)函数的奇偶性(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1<x≤1))的奇偶性是()A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数[答案]C2．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))是奇函数，且当x>0时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x－1，则当x<0时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))等于()A．x＋1 B．x－1C．－x－1 D．－x＋1[答案]A3．设偶函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在(0，＋∞)上为减函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝0，则不等式eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),x)>0的解集为()A．(－2，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)B[eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),x)>0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))<0)).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在(0，＋∞)上为减函数，故x∈(0，2)∪(－∞，－2).]4.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ax2＋bx是定义在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－1，2a))上的偶函数，那么a＋b的值是()A.－eq\f(1,3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)B[依题意b＝0，且2a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))，∴b＝0，且a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).]5．已知y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))是偶函数，则函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))的图象的对称轴是()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝eq\f(1,2) D．x＝－eq\f(1,2)B[y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))的图象是由y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象向左平移一个单位得到的，而y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图象的对称轴为x＝0，故选B.]二、填空题6．已知函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝0的全部实根之和是________．0[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.]7．已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R))为奇函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))等于________．eq\f(3,2)[令x＝－1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋1＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝eq\f(1,2).令x＝1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).]8．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝______．－1[因为y＝f(x)＋x2为奇函数，所以f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，所以f(－x)＝－f(x)－2x2，g(1)＝f(1)＋2＝3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)－2＋2＝－f(1)＝－1.]三、解答题9．推断下列函数的奇偶性．(1)y＝eq\r(2x－1)＋eq\r(1－2x)；(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0,0，x＝0,－x2－2，x<0))[解](1)∵函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，不关于原点对称，∴该函数不具有奇偶性．(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，－x＜0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满意f(－x)＝－f(x).故该函数为奇函数．10．已知函数f(x)定义在R上，对随意x，y∈R，有f(y＋x)＋f(y－x)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠(1)求证：f(0)＝1；(2)求证：y＝f(x)是偶函数．[解](1)令x＝y＝0，得2f(0)＝2f2(0)，又f(0)≠0，所以f(2)令y＝0，得f(x)＋f(－x)＝2f(x)f(0)由(1)知，f(0)＝1，所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)所以f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是偶函数．11．定义在R上的函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))满意：对于随意α，β∈R，总有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β))))＝2010，则下列说法正确的是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))－1是奇函数B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋1是奇函数C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))－2010是奇函数D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋2010是奇函数D[依题意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2010；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2010，f(－x)＋2010＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2010]，因此函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋2010是奇函数，选D.]12．已知y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))))；②y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))；③y＝xfeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))；④y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋x.A．①③ B．②③C．①④ D．②④D[由奇函数的定义验证可知②④正确．]13．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数A[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定义域为R，对于随意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))为奇函数．又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))不是偶函数．]14．已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0,ax2＋bx，x>0))为奇函数，则a＋b＝_____．0[由函数f(x)为奇函数，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝a＋b，所以a＋b＝0.]15．函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定义域是D＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠0))))，若对于随意x1，x2∈D，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1·x2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))，试推断feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的奇偶性并证明你的结论．[解]feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))是偶函数，证明如下：令x1＝x2＝1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝0.令x1＝x2＝－1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\