直线与圆专题复习第14讲 圆的范围与最值问题 训练题集【老师版】

高中数学精编资源2/2第14讲圆的范围与最值问题一、单选题1．（2021·安徽·高二月考）已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离的最大值为（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】求出圆心到直线的距离，由这个距离加上半径即得．【详解】由圆，可得圆心坐标，半径，则圆心C到直线的距离为，所以点P到直线l的距离的最大值为.故选：C．2．（2021·广东惠州·高三月考）已知直线：与圆：的交点为，，点是圆上一动点，设点，则的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】先把圆的一般方程转化为标准方程可得，可得直线恒过圆心，即，利用向量加法的三角不等式，分析即得解【详解】圆：化成，故点，，直线：恒过圆心，所以，所以，当且仅当和同向共线，且点为圆上最高点时，等号成立故选：B3．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将变形为，从而可得，设，由向量减法及数量积可知的终点在以为圆心，以为半径的圆周上，结合圆的性质可得答案.【详解】由得，．不妨设，则的终点在以为圆心，以为半径的圆周上．因为与是单位向量，所以的最大值是与圆心距离加，即，最小值是与圆心距离减，即，故和为.故选：A．4．（2021·甘肃·永昌县第一高级中学高二月考（理））已知方程，则的最大值为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】代数式的几何意义为圆上一点到坐标原点的距离的平方，利用圆的几何性质可求得的最大值，即可得出的最大值.【详解】方程可化为，设点，则，其中为坐标原点，如下图所示：圆的圆心为，半径为，且，当点为直线与圆的交点，且在线段上时，取得最大值，即，所以，.故选：C.5．（2021·河北·）已知圆的方程为，直线：恒过定点，若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求得定点，然后得到关于直线的对称点为，然后可得，计算即可.【详解】直线可化为，令解得所以点的坐标为.设点关于直线的对称点为，则由,解得,所以点坐标为.由线段垂直平分线的性质可知，，所以（当且仅当，，，四点共线时等号成立），所以的最小值为4.故选:B.6．（2021·上海市进才中学）已知P是曲线上的动点，定点，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先三角换元，变形得点的坐标，再利用点的轨迹，结合点与圆的位置关系，得的最大值.【详解】由题意设，，则方程化简为，，即，，所以，所以，，即点是以原点为圆心，1为半径的圆，位于第四象限，包含轴的点，不包含轴的点，的最大值是点和原点的距离加半径，即.故选：B7．（2021·全国·）已知，，点是圆上的动点，则的最小值为（）A．9 B．14 C．16 D．26【答案】D【分析】先用坐标法表示出，整理为，利用几何法求最值.【详解】设为坐标原点，，则.圆的圆心为，半径为，，所以的最小值为，所以的最小值为26.故选：D.8．（2021·四川绵阳·（理））在平面直角坐标系中，已知点，点，为圆上一动点（异于点），则的最大值是（）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】设点，可得,所以换元可得与圆恒有公共点，再由点到直线的距离公式可得的最大值.【详解】设点，则，所以，令，则，，由题意，知直线与圆有公共点，所以，得，得，所以的最大值为2.故选：A9．（2021·江西南昌·（理））已知复数满足，则的最大值是（）A．5 B．9 C．7 D．3【答案】C【分析】设，依题意求出复数的轨迹方程，再根据复数几何意义计算可得；【详解】解：设，因为，所以，表示以为圆心，为半径的圆，因为表示圆上的点到的距离，因为，所以故选：C10．（2021·江苏·泰州市第二中学）已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由题意可得直线l的方程为，再求出圆C的圆心坐标与半径，由面积的最小值为求得，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值．【详解】解：由题意可得直线l的方程为，圆C的圆心，半径为1，如图：，又，当取最小值时，取最小值，此时，可得，，则，解得，则直线l的方程为，则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为．故选：B．11．（2021·江苏·泰州市第二中学）已知圆，则的最大值为（）A．4 B．13 C． D．【答案】C【分析】根据的几何意义，结合圆的性质求解出对应最大值.【详解】解：，上式表示圆上的点到点的距离，因为圆，圆心，半径．显然．故选：C．12．（2022·河北·）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先直接法求出动点的轨迹，利用平面向量的数量积求得的表达式，从而转化为求动点与之间的距离最值，进而可以求出结果.【详解】设动点，因为，即，即，因此动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆上的点，且，则，其中表示的是动点与之间的距离的平方，而动点与之间的距离最大值为圆心与之间的距离加半径；最小值为圆心与之间的距离减半径；且圆心与之间的距离为，因此动点与之间的距离最大值为，最小值为，所以的最大值为，最小值为，从而的最大值为，最小值为，故选：B.【点睛】求动点轨迹方程的常用方法：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法13．（2021·全国·）已知正三角形的边长为，在平面中，动点P，M满足，M是的中点，则线段的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以的中点O为坐标原点，边所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，由，得点P的轨迹方程为，从而得出点M的轨迹方程是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离的最值即可求解.【详解】以的中点O为坐标原点，边所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，∵，∴，∴.∵.点P的轨迹方程为.易知，设，则，解得∴，即，∴点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，∴，∴.故选：B.14．（2021·江苏·）点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直线方程可构造方程组求得定点，由圆的方程确定圆心坐标和半径，则.【详解】整理直线方程得：，由得：，，由圆的方程知圆心，半径，.故选：D.【点睛】结论点睛：若圆心与圆外一点间距离为，圆的半径为，则圆外一点到圆上的点的距离最大值为，最小值为.15．（2021·重庆八中）已知是平面内两个夹角为的单位向量，设为同一平面内的两个向量，若，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意不妨设，求出向量的坐标，设，得出点的轨迹方程，由圆的性质可解得答案.【详解】由条件是平面内两个夹角为的单位向量，不妨设则，设由，得所以点在圆上.又表示圆上的点和点间的距离.所以故选：B16．（2021·北京·中关村中学）若，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由方程表示的图形的几何意义以及所求代数式的几何意义画出图形可求出最小值.【详解】解：表示点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，表示点到点的距离，表示点到直线的距离，如图所示：的最小值为线段的长3.故选：C.17．（2022·全国·（文））已知点在动直线上的射影为点，若点，那么的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，点在圆上，求出点到圆心的距离，加上半径即可得出的最大值.【详解】动直线的方程可变形为，所以，该直线过定点，又因为点在动直线的射影点为，所以，，设线段的中点为点，则，由直角三角形的基本性质可得，所以点在以线段为直径的圆上，即点在圆上，又因为点，故，因此，.故选：C.18．（2021·全国·）已知，，，点在抛物线上，则的最小值为（）A．6 B． C．5 D．【答案】D【分析】设，，由条件可得，，设，即,所以，由可得答案.【详解】设，，由题意可知，，，所以，设，即,所以因为.所以，当且仅当且，，三点共线时等号成立.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中线段和的最小值问题，解答本题的关键是由，将转化为，从而得出答案，属于中档题.19．（2021·浙江温州·）已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.【详解】如下图所示：在椭圆中，，，，圆心为椭圆的右焦点，由椭圆定义可得，，由椭圆的几何性质可得，即，由圆的几何性质可得，所以，.故选：B.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到，进而可将用表示；（2）利用圆的几何性质得出，可求得的取值范围；（3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：.20．（2021·广西玉林·（文））圆上一动点，抛物线上一动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，利用抛物线的定义可得出，利用、、、四点共线且点、在线段上时，取得最小值，进而可求得结果.【详解】如下图所示，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为.由抛物线的定义可得，则，.当且仅当、、、四点共线且点、在线段上时，取得最小值为.故选：B.【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.21．（2021·安徽郎溪·（理））设曲线上的点到直线的距离的最大值为a，最小值为b，则的值为（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由求出最小值，最大值为到直线的距离，确定出与的值，即可求出的值．【详解】将化为：，所以曲线是圆心，半径的右半圆，如图，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的最小距离，最大值为到直线的距离，即，则．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，关键点是到圆上的点的问题转化为到圆心的距离的问题，考查了学生的转化能力和计算能力.22．（2021·湖北·）在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足.则线段的长度的最大值是（）A．2 B．4C．6 D．前三个答案都不对【答案】C【分析】先以点为坐标原点，分别以，，所在方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到，，，设，由，得到，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果.【详解】以点为坐标原点，分别以，，所在方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，所以，，，因为点为正方形所在平面内的一个动点，设，因为，所以，整理得：即点可看作圆上的点，又，所以表示圆上的点与定点之间的距离，因此（其中表示圆的半径.）故选：C.【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，涉及圆上的点到定点距离的最值，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.23．（2020·云南·昆明市盘龙区新迎中学）直线与轴、抛物线分别交于点、点，是圆上的一个动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，可得出，，利用点、、、四点共线且点、在线段上时，取得最小值，数形结合可得出结果.【详解】如下图所示：抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可得，设圆心为，，当且仅当、、、四点共线且点、在线段上时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.24．（2020·福建宁德·）已知点，点M是圆上的动点，点N是上的动点，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆外的点和圆上的点的连线长度的最值关系，转化为求.【详解】由条件可知的最大值是，，,所以的最大值是.故选：A【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为.25．（2021·安徽·高二月考）已知直线，圆，圆心为点C.点为直线l上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意判断出直线与圆相离，再将四边形面积表示为，然后根据点到直线的距离公式求出，即可求解．【详解】根据题意可得，半径为，∵直线，∴点到直线的距离为，即直线与圆相离，∵点为直线l上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，∴四边形面积为，∵圆心到直线的距离为，∴，即，则四边形面积最小为.故选：B.26．（2021·天津市武清区杨村第一中学高二月考）直线与圆相交于A，B两点，则最小值时，a的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直线方程可得直线恒过的定点坐标，且定点在圆内，从而有当圆心与定点的连线与直线垂直时，弦长取得最小值，进而根据两直线垂直的斜率关系列式即可求解．【详解】解：直线恒过定点，且定点在圆内，当圆心与点的连线与直线垂直时，弦长取得最小值，圆心与点连线的斜率为，此时直线的斜率为1，即，解得．故选：D.二、多选题27．（2021·重庆八中高三月考）设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（）A．直线l过定点 B．当取得最大值时，C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为6【答案】ACD【分析】对于A：整理得，由此可求得直线所过的定点；对于B：由直线l过定点，且定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，由此求得m的值；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，由余弦定理计算可判断；对于D：当共线，且方向相同时，取得最大值，由此可判断.【详解】解：对于A：由整理得，当，即时，不论为何值时，都成立，所以直线l过定点，故A正确；对于B：因为直线l过定点，将定点代入圆，所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，此时，解得，故B不正确；对于C：设直线l过的定点，当时，最小，而，所以，所以在中，，故C正确；对于D：，而表示在方向上的投影，所以当共线，且方向相同时，取得最大值，此时，所以的最大值为6，故D正确，故选：ACD.28．（2021·广东湛江·高三月考）已知点，，且点在圆：上，为圆心，则（）A．当最大时，的面积为2 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为【答案】BCD【分析】根据圆的几何性质，结合两点间线段最短逐一判断即可.【详解】由圆：的方程可知：，因为（当且仅当三点依次共线），所以选项B正确；因为（当且仅当三点依次共线），所以选项C正确；因为（当且仅当三点依次共线），所以选项D正确；当最大时时，此时直线是圆：的切线，即直线的方程为：或，当直线的方程为时，的面积为，当直线的方程为时，的面积为，因此选项A不正确，故选：BCD29．（2021·湖南郴州·高三月考）已知直线：和圆：，下列说法正确的是（）A．直线恒过定点B．圆被轴截得的弦长为C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4【答案】AD【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A；求出圆C被x轴截得的弦长判断B；当直线过圆心时可判断C，当直线时算出弦长可判断D.【详解】由，得，联立，得，无论m为何值，直线恒过定点，故A正确；在中，令，得，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误；当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为6，此时直线方程为，故C错误；设，易知P在圆内，当直线时，直线l被圆截得的弦长最小，且最小值为，故D正确.故选：AD30．（2021·福建·永安市第三中学高二月考）已知动直线和，P是两直线的交点，A、B是两直线m和n分别过的定点，下列说法正确的是（）A．B点的坐标为 B．C．P的轨迹是一个圆 D．面积的最大值为5．【答案】BCD【分析】对于A，由直线的方程直接计算即可，对于B，由两直线方程直接判断，对于C，由两直线方程求出交点坐标判断即可，对于，由C选可知为直角三角形，且为常数，从而可利用三角形面积公式可求得结果【详解】对于A，由直线，得，因为为任意实数，所以，得，所以B点的坐标为，所以A错误，对于B，由直线和，，所以，所以B正确，对于C，因为P是两直线的交点，A、B是两直线m和n分别过的定点，且，所以，所以P的轨迹是以为直径的圆，所以C正确，对于D，由直线，得，因为为任意实数，所以，得，所以，所以，因为P的轨迹是以为直径的圆，所以面积的最大值为，所以D正确，故选：BCD31．（2021·山东·乳山市第一中学高二月考）若实数满足曲线，则下列结论正确的是（）A．B．的最小值为C．直线与曲线C有两个不同的交点，则实数D．曲线C上有4个点到直线的距离为1【答案】ABC【分析】画出曲线的图象，结合图象对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】曲线，则，，所以曲线表示圆心是，半径为的圆的上半部分.由图可知，A正确.表示圆上点与点连线的斜率，由图可知，最小值为，B正确.直线过定点，，当直线与曲线C有两个不同的交点时，由图可知，的取值范围是，C正确.设直线与直线的距离为，或.画出直线和的图象，结合图象可知D选项错误.故选：ABC32．（2021·江苏省镇江中学高二月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A．圆上点到直线的最大距离为B．圆上点到直线的最小距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．圆与圆有公共点，则的取值范围是【答案】BD【分析】由，则三角形的欧拉线为的中垂线，求出线段的中垂线方程，根据其“欧拉线”与圆相切，求得圆的方程，求出圆心M到直线的距离，从而可判断AB；令，则，代入圆的方程，则方程有实根，则，从而可判断C；使圆与圆有公共点，则圆心距大于等于两圆半径之差的绝对值，小于等于两圆半径之和，从而可判断D.【详解】解：因为，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，由，点可得的中点为，且，所以线段的中垂线方程为：，即，因为三角形的“欧拉线”与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以圆的方程为：，因为圆心到直线的距离，A中，圆上点到直线的距离的最大值为，故A不正确：B中，圆上点到直线的距离的最小值为，故B正确；C中：令，所以，代入圆的方程，可得，整理可得，由于在圆上，所以有根，则，整理可得：，解得：，所以的最小值为1，即的最小值为1，所以C错误；D中：圆心坐标，半径为；圆的的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距，所以，即解得：，解得，所以D正确；故选：BD．33．（2021·福建·莆田二中高二月考）点在圆上，点在圆上，则（）A．的最小值为3B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】ABC【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.【详解】圆的圆心坐标，半径圆，即的圆心坐标，半径∴圆心距又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为．故A、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.故答案为：ABC三、填空题34．（2021·安徽省亳州市第一中学高二月考）设圆O的半径为4，M，N是圆O上的两点，且，A是圆O任意一点，点B满足，则的最大值是___________.【答案】54【分析】建立平面直角坐标系写出圆的参数方程，进一步表示出A点坐标和B点坐标，转化为三角函数求最值.【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆O的参数方程为(为参数)，又，设，，.因为，所以，所以，，，所以当时，有最大值54.故答案为：54.【点睛】与圆有关的最值问题，可以通过建立平面直角坐标系，利用参数方程转化为三角函数求最值问题.35．（2021·四川绵阳·高二月考（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，P为圆上一动点(异于点B)，求的最大值___________.【答案】2【分析】设点，列出的表达式并整理，令，转化成直线与圆有公共点即可计算作答.【详解】设点，则，于是得，令，即有，显然直线与圆有公共点，则，整理得，解得，得，所以的最大值为2.故答案为：236．（2021·天津市武清区杨村第一中学高二月考）若直线始终平分圆的周长，则的最小值是____________．【答案】20【分析】由题意，圆C的圆心在直线L上，从而可得，又表示点到直线上的点的距离的平方，从而利用点到直线距离公式即可求解.【详解】解：因为直线始终平分圆的周长，所以直线必过圆的圆心，即圆心在直线上，所以，则表示点到直线上的点的距离的平方，所以的最小值是，故答案为：20.37．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））点为所在平面内一点，，，若的面积为，则的最小值是________．【答案】【分析】在中，根据题意化简得到，根据的面积为，求得，再根据，得到，设，结合点与点连线的斜率，利用直线与半圆相切，即可求解.【详解】在中，设角对的三边分别为，由，又由，可得且，解得，因为的面积为，所以，可得，由，可得，设，其中因为表示点与点连线的斜率，如图所示，当过点与半圆相切时，此时斜率最大，在直角中，，可得，所以斜率的最大值为，所以的最大值为，所以，所以，即的最小值为.故答案为：.38．（2021·广东·深圳实验学校高二月考）过点作动直线的垂线，垂足为点M，若已知定点，那么的最小值为________.【答案】##【分析】根据条件先分析出点的轨迹为圆，将的最小值转化为到圆上点连线的最短距离去求解.【详解】因为直线过定点，且，所以的轨迹是以线段为直径的圆，其中圆心为线段的中点，半径，所以故答案为：.四、解答题39．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，已知点、，点是圆上的动点，求的最大值.【答案】。【分析】先求出曲线与坐标轴的交点，根据题意求出圆心坐标和半径，即可写出圆的方程，设点，利用两点间的距离公式可得出（其中为坐标原点），利用圆的几何性质可得出的最大值，即可得出的最大值.【详解】曲线与轴的交点为，令，解得，，即曲线与轴的交点为、，故可设圆的圆心为，则有，解得，则圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为.设点，则，其中为坐标原点，如下图所示：当点为直线与圆的交点，且当点在线段上时，取得最大值，即，故.40．（2021·安徽·合肥一中高二期中）已知圆，直线与圆C交于A，B两点，弦中点为M，点M的轨迹为曲线D．（1）求曲线D的轨迹方程，并说明曲线D是什么曲线？（2）P为圆C上的动点，Q为曲线D上的动点，求的最大值．【答案】（1）,曲线D是圆心为，半径的圆（2）【分析】（1）确定直线过定点，根据题意得到，带入数据化简得到答案.（2）根据题意得到，计算得到答案.（1），，当时，，故直线过定点.圆，圆心为，半径，设点当与点不重合时，，即，化简得到.当与点重合时，带入验证满足.综上所述：轨迹方程为.曲线D是圆心为，半径的圆（2），圆心为，半径，P为圆C上的动点，Q为曲线D上的动点，则.当共线且按照从左到右顺序时等号成立.41．（2021·江苏省苏州实验中学高二月考）已知以点为圆心的圆经过点和点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上，求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出圆心与半径，即可求圆的方程；（2）设点在圆上，求出高的最大值，弦的长，即可求的面积的最大值.（1）解：（1）取弦的中点，则的坐标为，，，，，直线的方程为：，即，圆心在直线上，，，即，半径，圆的方程为：；（2）解：设的高为，由（1）可知，直线的方程为：，即，，，又，.42．（2021·全国·高三专题练习）已知，求的最大值．【答案】．【分析】根据题意，将问题变形为，进而转化为单位圆上的动点P至单位圆上两个定点A、B距离和的倍问题，再结合正弦定理和常量，求解即可.【详解】解：∵点、、都是单位圆上的点．∴u表示动点P至两个定点A、B距离和的倍．∴在中，由正弦定理，有，∴，∵、是单位圆上的定点∴常量，∴当，有最大值，此时点为弦的中垂线与圆的交点且离弦较远的点.∵弦的中点为，∴根据题意得弦的中垂线的方程为，与圆联立方程得：或,∴当点为时，离弦较远，∴当P点在时，．43．（2021·全国·高三专题练习）已知，且，求的最大值与最小值.【答案】最大值为6，最小值为.【分析】不等式（）表示半圆,表示半圆域上的点与点连线的斜率，通过画出图象，结合图形来看，问题就迎刃而解.【详解】如图所示，不等式（）表示半圆域.设，表示半圆域上的点与点连线的斜率，当直线过点时，有，当直线在切线位置时，k值最小，由点到切线的距离等于半径，得，解得.又因为，所以所以.44．（2021·全国·高三专题练习）设x、y为实数，若，求的最大值.【答案】【分析】方程对应的曲线是旋转后的圆锥曲线，可选用极坐标方程再结合所表示的几何意义求解【详解】解法一：方程对应的曲线是旋转后的圆锥曲线.可以联想到极坐标方程达到减少参数的目的，再利用代数式所反映的几何意义求解最值问题，把代入：，.令，可看成是点与连线的斜率，点在圆上，如图1-109所示.借助圆的方程与直线相切、相交的位置关系，可以得，∴.所求的最大值为.解法二：设，则，，∴，∴.取，∴，∴.即取最大值.45．（2021·全国·高三专题练习）已知经过点，，且圆心在直线上.又直线l：与相交于P，Q两点.（1）求的方程；（2）过点作直线与l垂直，且直线与交于M，N两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）7.