直线与圆专题复习第18讲 曼哈顿距离、切比雪夫距离问题、直角距离问题 训练题集【老师版】

高中数学精编资源2/2第18讲曼哈顿距离、切比雪夫距离问题、直角距离问题参考答案与试题解析一.选择题(共7小题)1.(2021•济宁二模)“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语,例如在平面直角坐标系中,点,、,的曼哈顿距离为：.若点,点为圆上一动点,则的最大值为A. B. C. D.【解答】解：由题意设,,则,当时,即当,时,,,,,,则当时,的最大值为；当时,即当,时,,,,则当时,的最大值为.综上所述,的最大值为.故选：.【点评】本题考查点与圆的位置关系,考查新定义下的两点间的距离公式的应用,训练了利用三角函数求最值,是中档题.2.(2021•万州区校级月考)在平面直角坐标系中,定义,为两点,、,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作,给出下列四个命题：①对任意三点,,,都有,,,；②已知点和直线,则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形.其中真命题的是A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【解答】解：①对任意三点、、,若它们共线,设,、,,,,如图,结合三角形的相似可得,,为,,,或,,,则,,,；若,或,对调,可得,,,；若,,不共线,且三角形中为锐角或钝角,如图,由矩形或矩形,,,,；则对任意的三点,,,都有,,,,故①正确；②设点是直线上一点,且,可得,,由,解得,即有,当时,取得最小值；由,解得或,即有,的范围是,无最值；综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；③由题,到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足,,即或,显然点的轨迹为正方形,故③正确；故选：.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.3.(2021•金山区校级期中)在平面直角坐标系中,定义,为两点,、,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列三个命题：①对任意三点、、,都有,,,；②已知点和直线,则；③定点、,动点满足,,,则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点.其中真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解：①对任意三点、、,若它们共线,设,、,,,,如图,结合三角形的相似可得,,为,,,或,,,则,,,；若,或,对调,可得,,,；若,,不共线,且三角形中为锐角或钝角,如图,由矩形或矩形,,,,；则对任意的三点,,,都有,,,；故①正确；②设点是直线上一点,且,可得,,由,解得或,即有,当时,取得最小值；由,解得,即有,的范围是,,无最值,综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故②错误；③定点、,动点,满足,,,可得不轴上,在线段间成立,可得,解得,由对称性可得也成立,即有两点满足条件；若在第一象限内,满足,,,即为,为射线,由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点.故③正确.真命题的个数是2.故选：.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.4.(2021•浦东新区校级期中)在平面直角坐标系中,定义为两点,、,的“切比雪夫距离”,又设点及直线上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列三个命题：①对任意三点、、,都有,,,；②已知点和直线,则③定义,动点满足,则动点的轨迹围成平面图形的面积是4.其中真命题的个数A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解：①对任意三点、、,设,、,,,,则,,,则对任意的三点,,,都有,,,,故①正确；②设点是直线上一点,且,可得,,当时,取得最小值2,,故②不正确；③定义,动点满足,可得,表示边长为的正方形(如右图),其面积为2,故③错误.故选：.【点评】本题考查新定义的理解和运用,数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于中档题.5.(2021•重庆模拟)在平面直角坐标系中,定义,为两点,,,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列三个命题：①对任意三点、、,都有,,,；②已知点和直线,则；③到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.其中正确的命题有A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解答】解：①对任意三点、、,若它们共线,设,、,,,,如右图,结合三角形的相似可得,,为,,,或,,,则,,,；若,或,对调,可得,,,；若,,不共线,且三角形中为锐角或钝角,由矩形或矩形,,,,；则对任意的三点,,,都有,,,；故①正确；②设点是直线上一点,且,可得,,由,解得,即有,当时,取得最小值；由,解得或,即有,的范围是,,,,无最值,综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故②正确；③到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点；设,即为,,若,则,两边平方整理得；若,则,两边平方整理得；故没法说所求轨迹是正方形,故③不对；故选：.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题也是易错题目6.(2021•浦东新区校级月考)在平面直线坐标系中,定义,为两点,、,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作,给出下列四个命题：①对任意三点、、,都有,,,；②已知点和直线,则；③到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等点的轨迹是正方形；④定点、,动点满足,,,则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点.其中真命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.1【解答】解：①对任意三点、、,若它们共线,设,、,,,,如右图,结合三角形的相似可得,,为,,,或,,,则,,,；若,或,对调,可得,,,；若,,不共线,且三角形中为锐角或钝角,由矩形或矩形,,,,；则对任意的三点,,,都有,,,；故①正确；②设点是直线上一点,且,可得,,由,解得,即有,当时,取得最小值；由,解得或,即有,的范围是,,,,无最值,综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故②正确；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点,即为,,若,则；若,则,故所求轨迹是正方形,故③正确；④定点、,动点满足,,,可得不轴上,在线段间成立,可得,解得,由对称性可得也成立,即有两点满足条件；若在第一象限内,满足,,,即为,为射线,由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点.故④正确；故选：.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题也是易错题目.7.(2021•崇明县二模)在平面直角坐标系中,定义,为两点、,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列三个命题：①对任意三点、、,都有,,,；②已知点和直线,则；③定点、,动点满足,,,则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点；其中真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3【解答】解：①对任意三点、、,若它们共线,设,、,,,,如图,结合三角形的相似可得,,为,,,或,,,则,,,；若,或,对调,可得,,,；若,,不共线,且三角形中为锐角或钝角,如图,由矩形或矩形,,,,；则对任意的三点,,,都有,,,；故①正确；②设点是直线上一点,且,可得,,由,解得,即有,当时,取得最小值；由,解得或,即有,的范围是,,,.无最值,综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故②正确；③定点、,动点满足,,,可得不轴上,在线段间成立,可得,解得,由对称性可得也成立,即有两点满足条件；若在第一象限内,满足,,,即为,为射线,由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点.故③正确.真命题的个数是3.故选：.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.二.多选题(共2小题)8.(2021•沙坪坝区校级模拟)曼哈顿距离(或出租车几何)是由十九世纪的赫尔曼.闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如,在平面上,点,和点,的曼哈顿距离为：.若点,为圆上一动点,,为直线上一动点,设为,两点的曼哈顿距离的最小值,则的可能取值有A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解：过定点,①当的斜率时,如图1,作一条纵截距为负数的切线平行于直线,显然,要使得最小,应位于切点处,作轴交直线于点,过作于点,当位于点的左方时,,当位于点的右方时,显然也有,此时,设直线与圆相切,有,切线纵截距为,直线的纵截距为,,得.当时,显然单调递增,得；②当的斜率,时,如图2,作一条纵截距为负数的切线平行于直线,显然,要使得最小,应位于切点处,作轴交直线于点,过作于点,当位于点的左方时,,当位于点的右方时,显然也有,此时.设直线与圆相切,有,切线横截距为,直线的横截距为,,得单调递减,得,综上,,结合选项可得,的可能取值有.故选：.【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查化归与转化、数形结合的解题思想,考查运算求解能力,训练了利用导数求最值,属难题.9.(2021•鼓楼区校级期中)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创辞汇,定义如下：在直角坐标平面上任意两点,,的曼哈顿距离为：.在此定义下以下结论正确的是A.已知点,满足的点轨迹围成的图形面积为2 B.已知点,,满足,,的点轨迹的形状为六边形 C.已知点,,不存在动点满足方程：,, D.已知点在圆上,点在直线上,则、的最小值为【解答】解：对于,设,因为,所以,①当时,②当时,；当时,；作出图象如下图所示,易知这是一个边长为的正方形,所以面积为,故正确对于,设,因为,,,所以,①当且时,,②当时,；当时,；当时,；作出图象如下图所示,所以点轨迹是一个六边形,故正确.对于,设,因为,,,所以,解得,所以点的轨迹为两条直线,故错误；对于,如下图所示,为圆上一点,为直线上一点,过点作轴的平行线交直线与点,过点作轴的垂线交于点,当点固定时,显然当在,点上方时最小,则,又因为,所以,由几何关系易得当时此时取得最小值,如下图所示由点到直线的距离公式得,所以所以,故正确.故选：.【点评】本题考查新定义问题,考查分类讨论思想,考查绝对值方程的解法,考查点到直线的距离公式,综合性比较强,属于难题.三.填空题(共7小题)10.(2021•浦东新区校级期末)定义两点,,,的曼哈顿距离为,若表示到点、的曼哈顿距离相等的所有点的集合,其中,,,则点集与坐标轴及直线所围成的图形的面积为52.5.【解答】解：由题意可知,,,,①当,时,,,无解,②当,时,,,③当,时,,,无解,④当,时,,,无解,⑤当,时,,,⑥当,时,,,无解,⑦当,时,,,无解,⑧当,时,,,⑨当,时,,,无解,综上,符合条件线段有：,,；,,,,；,,,,,如图所示：,图中阴影部分面积为所求面积,面积.故答案为：52.5.【点评】本题主要考查了简单的合情推理,考查了分类讨论思想,同时考查了学生的逻辑推理能力,是中档题.11.(2013•宝山区一模)设,,,是平面直角坐标系上的两点,定义点到点的曼哈顿距离.若点,在上,则的最小值为.【解答】解：如图,因为在第二象限,根据抛物线的对称性,要使抛物线上的点与点的曼哈顿距离最小,则在第一象限(或原点).设,则当时,,所以,当时,有最小值.当时,.综上,的最小值为.故答案为.【点评】本题考查了新定义下的两点间的距离公式,考查了数形结合的解题思想和分类讨论思想,解答的关键是设出点的坐标,此题是中档题.12.(2017秋•浦东新区校级期中)在平面直角坐标系中,定义,为两点,、,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出四个命题,正确的是①②③④①对任意三点、、,都有,,,；②到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；③已知点和直线,则；④定点、,动点满足,,,则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点.【解答】解：①对任意三点、、,若它们共线,设,、,,,,如右图,结合三角形的相似可得,,为,,,或,,,则,,,；若,或,对调,可得,,,；若,,不共线,且三角形中为锐角或钝角,由矩形或矩形,,,,；则对任意的三点,,,都有,,,；故①正确；②到原点的“切比雪夫距离”等于1的点,即为,,若,则；若,则,故所求轨迹是正方形,则②正确；③设点是直线上一点,且,可得,,由,解得,即有,当时,取得最小值；由,解得或,即有,的范围是,,,.无最值,综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故③正确；④定点、,动点满足,,,可得不轴上,在线段间成立,可得,解得,由对称性可得也成立,即有两点满足条件；若在第一象限内,满足,,,即为,为射线,由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,则点的轨迹与直线为常数)有且仅有2个公共点.故④正确；故答案为：①②③④.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.13.(2015秋•九江校级月考)在平面直角坐标系中,定义,,为两点,,,的“切比雪夫距离”,则点到直线上一点的“切比雪夫距离”的最小值为.【解答】解：设点是直线上一点,且,可得,,由,解得,即有,当时,取得最小值；由,解得或,即有,的范围是,,,.无最值,综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故答案是：.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查点到直线的距离,属于中档题.14.(2021•南平模拟)在平面直角坐标系中,定义,、,两点间的直角距离为,如图是圆当时的一段弧,是与轴的交点,将依次以原点为中心逆时针旋转五次,得到由六段圆弧构成的曲线.则.若点为曲线上任一点,则的最大值为.【解答】解：由图可得,点,,；根据对称性,只需讨论点在第一象限的情况：当点在上时,设,,则,(当且仅当时取等号)；当点不在上时,所在圆的圆心坐标,设,,可得,,,,,(当且仅当时取等号).综上所述,的最大值为.故答案为：,.【点评】本题考查直角距离、三角换元、三角函数化简求最值等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,考查数学运算核心素养,体现创新性和综合性,是中档题.15.(2021•碑林区校级模拟)在直角坐标系中,定义两点,与,之间的“直角距离”为.若,是椭圆上任意两点,则的最大值是.【解答】解：设,,由柯西不等式知,.故答案为：.【点评】本题考查椭圆的几何性质,训练了利用柯西不等式求最值,是中档题.16.(2021•镜湖区校级期中)定义点,,,之间的“直角距离”为,若点到点的“直角距离”等于2,其中,满足,,则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为.【解答】解：因为点到点的“直角距离”等于2,所以点的轨迹方程为,因为,满足,,所以当,时,；当,时,；当,时,；当,时,.作出在,表示的图形,由,,,,,可得其周长为,故答案为：.【点评】本题考查新定义“直角距离”、分类讨论的思想方法、两点之间的距离公式,考查运算能力和推理能力,属于中档题.四.解答题(共7小题)17.(2021春•宝山区校级期末)在平面直角坐标系中,两点,、,的“曼哈顿距离”定义为,记为,如点、的“曼哈顿距离”为9,记为.(1)点,是满足的动点的集合,求点集所占区域的面积；(2)动点在直线上,动点在函数图象上,求的最小值；(3)动点在函数的图象上,点,的最大值记为,请选择下列二问中的一问,做出解答：①求证：不存在实数、,使；②求的最小值.【解答】解：(1)设点,由得：,因曲线是原点为中心,顺次连接四点,,,的正方形,将其左移1个单位,下移2个单位即可得曲线：,于是得点集所占区域是四点,,,为顶点的正方形,面积为2.(2)设出动点,,,,则,将看做关于的函数,则在或时取得最小值,即,,而,当且仅当时取等,,当且仅当时取等.当时,或,此时.(3)设点,则,选择①,假定存在实数,使得,则对任意,成立,取,有,取,有,于是得,当且仅当,时取等.而,即有,矛盾,所以假设错误.所以不存在实数,使得；选择②,若存在实数,使得,则对任意,成立,取,有,取,有,于是得,,取,,是,上是偶函数,,,若,,若,,当且仅当时取等.所以存在实数,且,,使得最小值为.【点评】本题主要考查曼哈顿距离的应用,考查计算能力,需要学生较强的综合能力,属于中档题.18.(2021•嘉定区期中)设在二维平面上有两个点,,,,它们之间的距离有一个新的定义为,这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离；在初中时我们学过的两点之间的距离公式是,这样的距离称为是欧几里得距离(简称欧式距离)或直线距离.(1)已知,两个点的坐标为,,如果它们之间的曼哈顿距离不大于3,那么的取值范围是多少？(2)已知,两个点的坐标为,,如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2,那么的取值范围是多少？(3)已知三个点,,,,,,在平面几何的知识中,很容易的能够证明与,与的欧氏距离之和不小于和的欧氏距离,那么这三个点之间的曼哈顿距离是否有类似的共同的结论？如果有,请给出证明；若果没有,请说明理由.【解答】解：(1),,,由它们之间的曼哈顿距离不大于3,,解得；故的取值范围为,；(2),,,当且仅当时取等号,它们之间的曼哈顿距离要恒大于2,,解得或,故的范围为,,；(3)有类似的结论,与,与,曼哈顿距离之和不小于与曼哈顿距离,证明：,,,,,,则,,,由绝对值不等式可得,,,,,,故与,与,曼哈顿距离之和不小于与曼哈顿距离.【点评】本题考查了新定义,实质考查了绝对值不等式,考查了转化思想,属于中档题.19.(2021•杨浦区校级月考)在平面直角坐标系内,对于任意两点,,,,定义它们之间的“曼哈顿距离”为.(1)求线段上一点到原点的“曼哈顿距离”；(2)求所有到定点的“曼哈顿距离”均为2的动点围成的图形的周长；(3)众所周知,对于“欧几里得距离”,有如下三个正确的结论：①对于平面上任意三点,,,都有；②对于平面上不在同一直线上的任意三点,,,若,则是以为直角的直角三角形；③对于平面上两个不同的定点,,若动点满足,则动点的轨迹是线段的垂直平分线；上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由.【解答】解：(1)由题意：线段上一点到原点的“曼哈顿距离”为：；(2)设点到定点的“曼哈顿距离”为2,则：①当,时,,此时为线段,②当,时,,此时为线段,③当,时,,此时为线段,④当,时,,此时为线段,易得围成的图形的形状为以,为顶点的正方形,故周长为；(3)①设,,,,,,则,,,根据绝对值三角不等式可得：,同理：,故,即成立,故①正确；②设,,,则,,,不满足“欧几里得距离”,但满足“曼哈顿距离”,故②错误；③设,,,则,,满足“曼哈顿距离”,但点不在的垂直平分线上,故③错误；综上：①正确；②错误；③错误.【点评】本题考查了新定义问题,考查绝对值不等式问题,考查分类讨论思想,转化思想,是一道综合题.20.(2021•东莞市期末)对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道,从一点到另一点的距离是在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离,这种距离即“曼哈顿距离”,也叫“出租车距离”.对于平面直角坐标系中的点,和,,两点间的“曼哈顿距离”,.(1)如图6,若为坐标原点,,两点坐标分别为和,求,,；(2)若点满足,试在图中画出点的轨迹,并求该轨迹所围成图形的面积；(3)已知函数,,,试在图象上找一点,使得最小,并求出此时点的坐标.【解答】解：(1)由题得,,.(2)设点坐标为,因为点满足,则,点的轨迹为如图所示正方形,该正方形所围成图形的面积.(3)设点坐标为,则由题,因为,,,设,任取,,,且,则,,,,且,,,,,在,上是减函数,当,即点的坐标为时,(2),即最小为4.【点评】本题考查轨迹方程的求法,函数与方程的应用,基本不等式以及新定义的应用,考查分析问题解决问题的能力,是中档题.21.(2021春•西城区校级期末)在平面直角坐标系中,定义,为两点,,,的“切比雪夫距离”,又设点及直线上任一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作.(1)已知点和直线,求；(2)求证：对任意三点,,,都有,,,；(3)定点,,动点满足,,请求出点所在的曲线所围成图形的面积.【解答】解：(1)设为直线上一