D1-4无穷小无穷大(外)

第二章第四节机动目录上页下页返回结束无穷小与无穷大二、无穷小三、无穷小与无穷大的关系一、无穷大四.无穷小量的阶

无限增大,则称该变量为其变化过程中的无穷大量.

例如是当时的无穷大量是当时的无穷大量是当时的无穷大量等等.注意几点

(1)无穷大量并不是很大的数,而是其绝对值可以无限增大的量;

(2)说一个量是不是无穷大量,也必须指出其变化过程;一.无穷大量(描述定义)1.无穷大量的定义如果一个变量在它的变化过程中,其绝对值可以

(3)无穷大量包括:正无穷大量和负无穷大量.

例如当时变量就是一负无穷大量.

(4)无穷大量的记号如:“当时是一无穷大量”可记为“当时是一无穷大量”可记为等等.一、无穷大*定义2.8(p63)

若任给

E>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在机动目录上页下页返回结束注意1:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,

函数当但所以时,不是无穷大!机动目录上页下页返回结束

记f(x)是无穷大，只是为了书写的方便，同时也表明了当时f(x)虽然无极限，但还是有明确趋向的.无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数.注意2函数f(x)当时无穷大，则极限是不存在的.利用记号例.证明证:

任给正数

M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:机动目录上页下页返回结束例:(2)(3)(4)在自变量的同一变化过程中(1)有限个无穷大的乘积仍是无穷大；(2)无穷大与有界量的和仍是无穷大.2.无穷大的性质

注意:两个无穷大量的和未必还是无穷大量;有界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量.

注意:两个无穷大量的和未必还是无穷大量;

有界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量.例如当时均为无穷大但例如(当为有界量但为无穷大当二、无穷小(1)定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小

.时为无穷小.机动目录上页下页返回结束说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!因为当时,显然C

只能是0!CC机动目录上页下页返回结束例如函数时的无穷小,但当时不是无穷小。当时,的极限不为零,所以当时,函数不是无穷小,而当时是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中,以零为极限的变量,而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。

(1)一般,说一个变量是无穷小量,必须指出其变化过程.因同一个变量在不同的变化过程中会有不同的变化趋势,即不同的极限值.

(2)由于无论在什么样的变化过程中,数0的极限永远为零,所以它是无穷小量,且只有它可以不指出变化过程.

(3)不能把无穷小量理解为是很小的数,关键是要看其极限是否为零.其中

为时的无穷小量.定理2.5.(p64)无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.机动目录上页下页返回结束(3)定理

在自变量的同一变化过程中

(1)

有界量与无穷小的乘积仍为无穷小.(P64定理2.6)(2)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(P64推论)(4)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.(P67.推论1)无穷小的性质(3)有限个无穷小的代数和仍为无穷小(P67.定理2.8)

注意:有界量包括①常量;②有界函数;③在无穷小量的变化过程中有极限的函数.例如

常量

有界函数有极限的函数有界量例5解注意这个极限不能用后面学的极限的四则运算法则求得，因为不存在.所以时的无穷小量.为有界变量,三、无穷小与无穷大的关系(1)若为无穷大,为无穷小;(2)若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.7

在自变量的同一变化过程中,说明:机动目录上页下页返回结束四.无穷小量的阶两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子.这些情形表明,同为无穷小,但它们趋于0的速度有快有慢,为了比较不同的无穷小趋于0的速度,我们引入无穷小量阶的概念.如何比较无穷小量趋向于零的速度的快慢?定义2.10.P66若则称

是比

高阶的无穷小,若若*若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是关于

的k阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作机动目录上页下页返回结束例如

,

当～时～～又如,故时是关于x的二阶无穷小,～且机动目录上页下页返回结束例1.证明:当时,～证:～机动目录上页下页返回结束

因为所以因为所以因为所以~

注意:当两个无穷小量的变化过程不同时,则显然是不能比较阶的高低的;即使两个无穷小量的变化过程相同,也未必一定能够比较.如和均是时的无穷小量,但不能比较其阶的高低.例

设当时~

求解因为~

所以有即无穷小量阶的比较小结1.无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

是

的同阶无穷小

是

的等价无穷小

是

的k阶无穷小机动目录上页下页返回结束补充定理.设且存在,则证:机动目录上页下页返回结束应用等价无穷小计算极限在求两个无穷小之比的极限时,若此极限不好求,可用分子、分母各自的等价无穷小来代替,如果选择适当,可简化运算.用定理求极限,需要预先知道一些等价无穷小.当时一些常用的等价无穷小如下:例1求解:例2解例3解例4解注:相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换,但是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换,例如是完全错误的注意:1.讨论函数当时的变化趋势.练习:1.答案:2.求下列数列的极限:（2）（3）

（4）3.试用图形上说明:不存在.,求在是的左、右极限,并说明

在点极限是否存在.（1）4设3.（1）0；（2）发散；（3）1；（4）0.5.因为,所以,函数在,处左、右极限存在但不相等,故函数在0点的极限不存在4.答案:5

设,求,并讨论6.分析函数的变化趋势,并求极限.

（2）

（3）

（

4）7.当时，下列变量中哪些是无穷小量？

是否存在.（1）5.,因为函数在处左、右极限存在但不相等,所以6.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1不存在7.答案:8.当时，下列变量中是无穷小量的有:

（2）（3）（4）9.函数在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？（1）答案:8.9.当时,为无穷大量,当时,为无穷小量.内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小