专题5.5 三角恒等变换（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题5.5三角恒等变换TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】 1【考点2：二倍角公式】 4【考点3：三角函数式的化简求值】 8【考点4：三角恒等变换的综合问题】 12【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】【知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βS(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βS(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βT(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)1．（山西省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知sinα−π4=2A．−34 B．34 C．−【答案】A【分析】根据正弦的和差角公式可得sinα−cosα=【详解】由sinα−π4=2所以sinα−cosα故sinα故选：A.2．（2023·高一课时练习）若sinα−β⋅cosα−cosα−β⋅A．1−m2 C．1+m2 【答案】B【分析】根据两角差的正弦公式可得sin−β=m，进而得【详解】由sinα−β⋅cos所以sin−β=m，即sinβ=−m，由于β为第三象限角，所以cos故选：B3．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）sin40°【答案】6【分析】根据诱导公式，逆用、正用两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】sin故答案为：64．（2022春·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）已知α为第二象限角，tanα=−43【答案】7【分析】由题知sinα=【详解】解：因为α为第二象限角，tan所以，sinα=所以，sin故答案为：75．（2023·高一课时练习）若tanα=−43，sinβ=3【答案】−【分析】利用两角差的正弦公式求解.【详解】解：因为tanα=−43，sin所以cosα=−35所以sinα−β=4=−7故答案为：−6．（2023·高一课时练习）已知cosx+cosy=12【答案】−【分析】将两式平方相加，由同角平方和关系以及余弦的和角公式即可求解.【详解】将cosx+cosy=同理将sinx−siny=①②两式相加得2+2cos故：cos7．（2023·高一课时练习）若m∈R，点Atanα,0，Btanβ,0【答案】−3【分析】先利用韦达定理与和角的正切公式求出tanα+β=3【详解】解：由题得m≠0，tanα+tanβ=−∴tanα+β由m≠0Δ≥0⇒m≤∴当m=94时，函数y=tan8．（2022春·河南·高一河南省实验中学阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．(1)如果A，B两点的纵坐标分别为45,1213，求(2)在（1）的条件下，求cos(β−a)【答案】(1)cosα=3(2)33【分析】（1）根据正弦和余弦函数的定义即可求得sinα和sinβ，进而求得（2）结合（1）的结论由两角差的余弦公式计算即可．【详解】（1）解：∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为45，12∴sinα=45又∵α为锐角，∴cosα＝1−sin2（2）解：∵β为钝角，∴由（1）知cosβ=−1−sin∴cos(β−a)=【考点2：二倍角公式】【知识点：二倍角公式】S2αsin2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)1．（2022·四川资阳·统考二模）已知sinα+π6=1A．−79 B．−429 【答案】D【分析】以α+π【详解】∵sin2α+故选：D.2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知3sin2θ+5sinθ−2=0A．79 B．89 C．23【答案】A【分析】解方程得到sinθ=【详解】3sin2θ+5sinθ−2=故3sinθ−1=0，sin故选：A3．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知22sinβ2−A．−33 B．−79 C．【答案】D【分析】对原式两边平方，再结合同角的三角函数的平方关系和二倍角公式，即可求解.【详解】由22sinβ即sin2β2所以sinβ=−故选：D.4．（2023·高一课时练习）若sin2xcosx=【答案】0【分析】根据二倍角公式即可化简得sinx=0【详解】由sin2xcosx=sinxcos2x得2sinx故答案为：05．（2023届普通高中毕业生十二月全国大联考数学试题）已知cos2α+3cosα=1【答案】±2【分析】根据条件，运用余弦倍角公式求出cosα，确定α【详解】由题意：cos2α+3cosα=1∵cosα≤1，∴如果α在第一象限，则有sinα=∴tan如果α在第四象限，则有tanα=−故答案为：±236．（2022春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知α∈π2,π，【答案】−【分析】根据同角三角函数的关系可得cosα=−【详解】因为α∈π2,π，sinα=故答案为：−7．（2022·上海金山·统考一模）函数y=3sin【答案】1,4【分析】由三角恒等变换得fx【详解】y=3=3因为x∈0,π2所以sin2x−π6所以函数y=3sin2x+2故答案为：1,48．（2022春·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知cos(α−π6【答案】1【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得sin(2α+π6)=【详解】由cos(α−π6)=3再由cos(α−π6)=3∴sin故答案为：1.9．（2020春·上海普陀·高二曹杨二中校考开学考试）已知cosx−(1)sinx−(2)cos2x【答案】(1)7(2)−【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式求解；（2）首先利用角的变换求sinx，再利用二倍角公式求cos【详解】（1）因为x∈π2,3π（2）sincos【考点3：三角函数式的化简求值】【知识点：三角函数式的化简求值】1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则1．（2022春·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）化简cos40°1+3A．1 B．32 C．2 D．【答案】A【分析】先利用“切化弦”思想，进行通分运算，根据辅助角公式结合二倍角公式化简即可得结果.【详解】cos====sin故选：A.2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知3sin2θ+5sinθ−2=0A．79 B．89 C．23【答案】A【分析】解方程得到sinθ=【详解】3sin2θ+5sinθ−2=故3sinθ−1=0，sin故选：A3．（2022春·江苏南京·高三期末）若sinα=2sinβ,sinα+βA．2 B．32 C．1 D．【答案】A【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可【详解】因为cosα+β所以sinα所以sinα+β又sinα+β所以sinα+β⋅sin所以12所以121−2sin又sinα=2所以4sin所以4sin所以sin2所以12sinα又易知cosα所以sinαsinβ故选：A4．（2022·广东广州·统考一模）若α,β∈π2,π，且1−A．2α+β=5π2 C．α+β=7π4 【答案】A【分析】由α∈π2,π及二倍角的余弦公式可得sinα1+【详解】∵α,β∈π2,π由1−cos2α1+即sinα∴sin∴cos∵α,β∈π2,π，∴π<α+β<2π根据函数y=cosx易知：α+β=π故选：A5．（2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知θ∈0,π2，tan【答案】−【分析】利用和差公式计算得到tanθ=3，再化简得到原式为tan【详解】θ∈0,π2，tan所以2tan2θ−5tanθ−3=0所以sin=sin故答案为：−6．（2022春·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知cos(α−π6【答案】1【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得sin(2α+π6)=【详解】由cos(α−π6)=3再由cos(α−π6)=3∴sin故答案为：1.7．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）设函数fx=sinx+3cosx+1，若实数a,b,c【答案】−1【分析】整理得，fx则afx2a+2bcos2a+2bcos【详解】解：∵fx∴afx即2asin即2asin化为：2a+2bcos依题意，2a+2bcoscsin∴2a+2b由2a+2bcosc=0得：故答案为：−18．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）（1）求4cos（2）已知2tanθ=−3tan【答案】（1）1；（2）−2【分析】（1）切化弦，通分后利用二倍角正弦公式可得2sin80∘（2）利用两角和差正切公式可化简已知等式求得tanθ；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可化简所求式子为正余弦齐次式的形式，代入tan【详解】（1）4cos40∘−3tan50（2）∵2tan∴2tanθ−2tan解得：tanθ=−12cos2θ−π4当tanθ=−12当tanθ=3时，cos综上所述：cos2θ−【考点4：三角恒等变换的综合问题】【知识点：三角恒等变换的综合问题】[方法技巧]三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；②利用公式T＝eq\f(2π,ω)(ω>0)求周期；③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．1．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）已知函数fx(1)求函数fx(2)若α∈0,π，且fα【答案】(1)k(2)2−【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f(x)=22sin(2)结合（1）的结论，将fα4−π8=2【详解】（1）因为f=1令4x+π4=k所以函数的对称中心为kπ（2）fα所以sinα−π4=1，又则tanα+2．（2022春·河南郑州·高一校考期末）已知函数f(x)=2cos2ωx+23sin(1)ω和a的值；(2)当x∈−π2【答案】(1)ω=1,a=−2(2)−【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出ω和a的值；（2）由题意可知，利用整体代入即可得出正弦函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间.【详解】（1）由f(x)=2cosf(x)=1+所以，函数f(x)的最大值为1+a+2=1，得a=−2；即函数f(x)=2sin又因为f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为12所以，ω=1，即f(x)=2sin（2）对于函数f(x)=2sin令2kπ得kπ可得函数f(x)的增区间为kπ故当x∈−π23．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知函数fx=sin(1)求fx(2)若x∈0,π2【答案】(1)T=π(2)fxmin【分析】（1）将函数化为y=Asin（2）先求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即可求解.【详解】（1）f所以最小正周期T=2π（2）由0≤x≤π2，则所以sin2x−π当2x−π6=π2当2x−π6=−π64．（2022春·广东深圳·高一统考期末）已知函数f(x)=sin(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若不等式f(x)−m<2在x∈0,π【答案】(1)[π6+k(2)(−【分析】