2024-2025学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分.）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2分）下列解方程的步骤中，依据是“平方根的意义”的是A．第一步：两边都除以2，得 B．第二步：配方，得，即 C．第三步：开平方，得 D．第四步：移项，得，即，3．（2分）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是A．， B．， C．， D．，4．（2分）已知方程有两个不相等的实数根，，则下列方程中，两个根分别是，的是A． B． C． D．5．（2分）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是A．1.5 B．3 C．4 D．66．（2分）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷7．（2分）方程的根是．8．（2分）数据3，0，，，4的极差是．9．（2分）的半径是，同一平面内，若点到点的距离是，则点在（填“内”“外”或“上”10．（2分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩分727090将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是分．11．（2分）如图，，，是上的三个点，若为，，则的度数为．12．（2分）如图，，分别与相切，切点分别为，，点在上，过点的切线分别交，于点，．若，则△的周长为．13．（2分）如图，△是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为．14．（2分）如图，以正方形的顶点为圆心，长为半径画弧，再以边为直径画弧，则弧的长弧的长．（填“”“”或“”15．（2分）如图，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，是线段上一点，若△为直角三角形，则满足条件的点的个数是．16．（2分）已知代数式，是常数）中，与该代数式的部分对应值如下表：0.01420.0832根据表中数据，可知关于的方程的一个根约为，另一个根约为．（都精确到三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答17．（6分）解方程：．18．（6分）解方程．19．（8分）已知，，求当为何值时，与互为相反数．20．（8分）如图是南京市2023年2024年8月上旬日最高气温的折线统计图．阅读统计图并回答以下问题．（1）根据统计图中的信息，填写下表：南京市2023年、2024年8月上甸日最高气温的统计表年份平均数中位数众数方差202333.6341.44202439.1391.09（2）结合统计图、统计表中的信息，从两个不同的角度比较南京市2023年、2024年8月上旬的日最高气温．21．（8分）如图，在△中，，过点作，垂足为．已知，．设长为．（1）根据勾股定理，得，（都用含的代数式表示）（2）求的值．22．（8分）如图，△内接于，过点作射线，使．求证：与相切．23．（8分）如图，，是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点，且．（1）用直尺和圆规作出该圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证．24．（8分）某商店销售一批数学实验用具，零售价每件240元．如果一次购买超过10件，那么每多购1件，购买的所有实验用具的单价均降低6元，但单价不能低于150元．小明和几位同学购买这种实验用具支付了3600元，他们共买了多少件？25．（8分）某同学在证明命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”时，画出了图，并写出了如下证明过程：已知：如图，，是的两条弦，．求证．证明：如图，连接，，，，过点作，交于点，．，．，．，．同理，．，．同理，．．．（该同学画的图）（1）数学老师认为该证法有问题，请指出问题；（2）完善该命题的证明．26．（8分）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索““型的方程，都是只含的整式）的根的情况．（1）当，时，该类型方程的根的情况是．．有三个实数根，它们各不相等．有三个实数根，有且只有两个根相等．有三个实数根，它们都相等．没有实数，（2）下列““型的方程：①；②；③；④；⑤．至少有两个相等的实数根的方程是（填序号）．（3）当，是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的的取值范围．27．（12分）图（1）是一把“形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，．算一算将该尺摆放在．一些圆上，测量并计算圆的半径．（1）如图（3），点，，，恰好都在圆上，则．（2）如图（4），该尺的边与圆相切于点，且点在该尺上的读数为，点在圆上，则．（3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点，，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点在该尺上的读数为，求的值．想一想（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的的最小值和最大值．

参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是A． B． C． D．解：．方程是一元二次方程，选项符合题意；．方程未知数的最高次数为1，方程不是一元二次方程，选项不符合题意；．方程不是整式方程，方程不是一元二次方程，选项不符合题意；．方程含有2个未知数，方程不是一元二次方程，选项不符合题意．故选：．2．（2分）下列解方程的步骤中，依据是“平方根的意义”的是A．第一步：两边都除以2，得 B．第二步：配方，得，即 C．第三步：开平方，得 D．第四步：移项，得，即，解：根据“平方根的意义”的步骤是选项．故选：．3．（2分）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是A．， B．， C．， D．，解：，，，，，．故选：．4．（2分）已知方程有两个不相等的实数根，，则下列方程中，两个根分别是，的是A． B． C． D．解：方程有两个不相等的实数根，，，，，，方程两个根分别是，．故选：．5．（2分）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是A．1.5 B．3 C．4 D．6解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，，连接，，，，，，，，的半径为，，四边形的面积，解得：．故的半径为3．故选：．6．（2分）如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：作正八边形的外接圆，，且，，，，，四边形是平行四边形，，点与点关于点对称，为正八边形的中心，即正八边形的外接圆的圆心，、都是的直径，，，，，，故①正确；在上截取，连接，则，，，，，，，，，故②错误；，，故③正确；连接，作于点，则，，，，，，设，则，，，，，，，同理，四边形是矩形，，，，故④正确，故选：．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷7．（2分）方程的根是．解：8．（2分）数据3，0，，，4的极差是6．解：数据3，0，，，4的最大数据是4，最小数据是，则极差为：，故答案为：6．9．（2分）的半径是，同一平面内，若点到点的距离是，则点在外（填“内”“外”或“上”【解答】解的半径为，，点在外．故答案为：外．10．（2分）超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩分727090将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是75分．解：该应聘者的总成绩是：（分．故答案为：75．11．（2分）如图，，，是上的三个点，若为，，则的度数为40．解：如图，连接．设，则，，，，，，为，，，，．故答案为：40．12．（2分）如图，，分别与相切，切点分别为，，点在上，过点的切线分别交，于点，．若，则△的周长为20．解：、是的切线，切点分别为、，，过点的切线分别交、于点、，，，△的周长．故答案为：20．13．（2分）如图，△是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为216．解：由题意得：圆锥的底面直径为6，则圆锥的底面周长为，根据底面周长等于扇形的弧长可得：，解得：，故答案为：216．14．（2分）如图，以正方形的顶点为圆心，长为半径画弧，再以边为直径画弧，则弧的长弧的长．（填“”“”或“”解：四边形是正方形，，，设，，为直径，，弧的长弧的长，故答案为：．15．（2分）如图，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，是线段上一点，若△为直角三角形，则满足条件的点的个数是2．解：①当时，设两个矩形的长是，宽是．连接，如图在△中，根据勾股定理可得：，过的中点作于点．则是梯形的中位线，则；以为直径的圆，半径是，，而只有是等号才成立，因而，即圆与直线相交，则直角顶点的位置有两个．故答案为：2．16．（2分）已知代数式，是常数）中，与该代数式的部分对应值如下表：0.01420.0832根据表中数据，可知关于的方程的一个根约为，另一个根约为．（都精确到解：设方程的两个根、，，由表格可知的值在之间，代数式的值由负到正，关于的方程的一个根约为，另一个根约为0.7．故答案为：，0.7．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答17．（6分）解方程：．解：，配方得：，，开方得：，解得：，．18．（6分）解方程．解：．，，或，，．19．（8分）已知，，求当为何值时，与互为相反数．解：与互为相反数，，，，整理得，，解得，，即当为2或时，与互为相反数．20．（8分）如图是南京市2023年2024年8月上旬日最高气温的折线统计图．阅读统计图并回答以下问题．（1）根据统计图中的信息，填写下表：南京市2023年、2024年8月上甸日最高气温的统计表年份平均数中位数众数方差202333.63432或34或351.44202439.1391.09（2）结合统计图、统计表中的信息，从两个不同的角度比较南京市2023年、2024年8月上旬的日最高气温．解：（1）2023年8月上旬日最高气温出现次数最多的是32，34，35，故众数为32或34或35；2024年8月上旬日最高气温从小到大排列，排在中间的两个数分别是39和39，故中位数为；故答案为：32或34或35，39；（2）从平均数来看，2024年8月上旬日最高气温的平均值更高，从方差来看，2024年8月上旬日最高气温方差小，温度变化较稳定．（答案不唯一）．21．（8分）如图，在△中，，过点作，垂足为．已知，．设长为．（1）根据勾股定理，得，（都用含的代数式表示）（2）求的值．解：（1）根据勾股定理，得，，故答案为：，；（2），，，解得（负值舍去）．22．（8分）如图，△内接于，过点作射线，使．求证：与相切．【解答】证明：如图，作直径，连接，，，，，，，，，，即，，是的半径，与相切．23．（8分）如图，，是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点，且．（1）用直尺和圆规作出该圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证．【解答】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求．（2）证明：由图可得，，．，，△△，．24．（8分）某商店销售一批数学实验用具，零售价每件240元．如果一次购买超过10件，那么每多购1件，购买的所有实验用具的单价均降低6元，但单价不能低于150元．小明和几位同学购买这种实验用具支付了3600元，他们共买了多少件？解：设小明和几位同学共买了件，（元，，，根据题意得：，整理得：，解得：，，当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．答：他们共买了20件．25．（8分）某同学在证明命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”时，画出了图，并写出了如下证明过程：已知：如图，，是的两条弦，．求证．证明：如图，连接，，，，过点作，交于点，．，．，．，．同理，．，．同理，．．．（该同学画的图）（1）数学老师认为该证法有问题，请指出问题；（2）完善该命题的证明．解：（1）这道题应分两种情况证明；（2）分两种情况：①如图1，当、在圆心的同一侧时，过点作于点，交于点，交于点，，，，，，，；②如图2，当、在圆心的两侧时，过点作于点，交于点，交于点、，则是的直径，，，，，，，，，综上所述，．26．（8分）一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根以及没有实数根．基于上述认识，我们继续探索““型的方程，都是只含的整式）的根的情况．（1）当，时，该类型方程的根的情况是．．有三个实数根，它们各不相等．有三个实数根，有且只有两个根相等．有三个实数根，它们都相等．没有实数，（2）下列““型的方程：①；②；③；④；⑤．至少有两个相等的实数根的方程是（填序号）．（3）当，是常数）时，请写出该类型方程的根的情况及对应的的取值范围．解：（1），，根据得：，，，，该类型方程的根的情况是：有三个实数根，有且只有两个根相等，故答案为：；（2）①，，；②，，，；③，，，，；④，，，，，；⑤，，，，至少有两个相等的实数根的方程是①②③⑤；故答案为：①②③⑤；（3），，是常数），，或，△，当△，，即时，该类型方程有4个实数根，它们各不相等；当△，，即时，该类型方程有4个实数根，有两对相等的实根；当△，，即时，该类型方程没有实数根．27．（12分）图（1）是一把“形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，．算一算将该尺摆放在．一些圆上，测量并计算圆的半径．（1）如图（3），点，，，恰好都在圆上，则