新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第13题 填空题中的开放题 （解析版）

填空题中的开放题核心考点考情统计考向预测备考策略三角函数2023·北京卷T13可以预测2024年新高考命题方向将继续以基础知识为载体的开放题为背景展开命题．开放类试题是一类具有开放性和发散性的问题，此类问题一般条件或结论不完备，没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要考生自己去探索，结合已知条件进行分析、比较和概括，因此是考查创新能力、数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型.位置关系2019·北京卷T13函数性质2018·北京卷T131．（2023·北京卷T13）已知命题SKIPIF1<0若SKIPIF1<0为第一象限角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．能说明p为假命题的一组SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.不妨取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0满足题意.2.（2019·北京卷T13）已知l，m是平面SKIPIF1<0外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥SKIPIF1<0；③l⊥SKIPIF1<0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.3.（2018·北京卷T13）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是．【答案】y=sinx（答案不唯一）【解析】令SKIPIF1<0，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.1.求解条件开放型问题的一般思路：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，这是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆行追索，由果寻因.

2.求解结论开放型问题的一般思路：要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归类、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象.然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维方式.它要求解题者要依据条件进行大胆合理的猜想，发现规律得出结论.1.已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则试写出从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一个函数SKIPIF1<0_____________.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足题意，故答案为：SKIPIF1<0.2．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，写出一个非零向量SKIPIF1<0的坐标：．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0.3．写出一个同时满足①②的复数SKIPIF1<0.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)【解析】因为SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，4．在三棱锥SKIPIF1<0中，当三条侧棱SKIPIF1<0之间满足条件时，有SKIPIF1<0．【答案】VC⊥VA且VC⊥VB或SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

符合题意的条件为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0或SKIPIF1<0等等．5．在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是为棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在四边形SKIPIF1<0上及其内部运动，则SKIPIF1<0满足条件时，有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．【答案】点M在线段FH上【解析】如图所示：取SKIPIF1<0中点Q，连接QN，QF，连接FH，由已知得QN，FH与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都平行且相等，因此FH与QN平行且相等，从而SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此只要SKIPIF1<0，就有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．6．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的始边为SKIPIF1<0轴的非负半轴，终边与单位圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不在坐标轴上）．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0．若记SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0的最大值为，此时SKIPIF1<0的一个取值为.【答案】SKIPIF1<0/0.5SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.7．已知SKIPIF1<0．使SKIPIF1<0成立的一组SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】取SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，符合要求.8．请写出一个函数SKIPIF1<0使之同时具有如下性质：（1）函数SKIPIF1<0为偶函数；（2）SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）．【解析】根据题意，要求函数函数SKIPIF1<0为偶函数，则函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，而SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以为二次函数，如SKIPIF1<0，9．请写出满足：直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距相等且与圆SKIPIF1<0相切的一条直线的方程为．（写出一条即可）【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】圆SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，当直线过原点时斜率存在，设方程为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，∴所求直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当直线不过原点时，设直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍)或SKIPIF1<0，∴所求直线的方程为SKIPIF1<0.综上，满足题意的直线有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,10．若直线SKIPIF1<0与单位圆和曲线SKIPIF1<0均相切，则直线SKIPIF1<0的方程可以是.（写出符合条件的一个方程即可）【答案】SKIPIF1<0（写出符合条件的一个方程即可）【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去y得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线方程为：SKIPIF1<0，11．已知圆C满足以下两个条件：①圆C的半径为SKIPIF1<0；②直线SKIPIF1<0被圆C所截得的弦长为2．写出一个符合以上条件的圆C的标准方程为．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】设圆C的圆心坐标为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0被圆C所截得的弦长为2，圆的半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．可取SKIPIF1<0，此时圆SKIPIF1<0．12．已知M，N为抛物线C：SKIPIF1<0上不关于x轴对称的两点，线段SKIPIF1<0的中点到C的准线的距离为3，则直线SKIPIF1<0的方程可能是.（写出满足条件的一个方程即可）【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0的中点到C的准线的距离为3，抛物线的准线为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程可能是SKIPIF1<0.

13．写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为．①中心在原点，焦点在y轴上；②离心率为SKIPIF1<0；③焦距大于8．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，符合题意即可）【解析】由题意可知：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为中心在原点，焦点在y轴上，可得椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.14．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是递增数列，试写出一个满足条件的实数SKIPIF1<0的值．【答案】1（SKIPIF1<0取满足SKIPIF1<0的任何一个实数值）【解析】因为数列SKIPIF1<0是递增数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.15．已知数列SKIPIF1<0是公比不为1的等比数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（写出满足上述条件的一个值即可）【答案】7（或12，或15，或16中任一个均可）【解析】在等比数列SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的不同取值有SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的所有取值为SKIPIF1<0.16．写出一个同时满足下列三个性质的函数：SKIPIF1<0.①SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0轴的右侧；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的导函数）.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】结合①③不妨设SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0，其图象在SKIPIF1<0轴的右侧，且SKIPIF1<0，所以满足条件①③；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0（答案不唯一）.17．函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若函数是单调函数，则SKIPIF1<0的一个取值为，若函数存在极值，则SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】2（满足SKIPIF1<0均可）SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若函数是单调函数，结合二次函数可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，例如SKIPIF1<0；可知SKIPIF1<0为连续不断函数，若函数存在极值，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不单调，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.18．在SKIPIF1<0中，角A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若角A为锐角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长可能为．（写出一个符合题意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，SKIPIF1<0内的任何一个值均可）【解析】由余弦定理可得SKIPIF1<0，因为角A为锐角，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<