新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第21题 数列压轴解答题 （解析版）

数列压轴解答题核心考点考情统计考向预测备考策略新定义数列2023·北京卷T21预测2024年新高考命题方向将继续新定义数列为背景开命题．所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.新定义数列2022·北京卷T21新定义数列2021·北京卷T211.（2023·北京卷T21）已知SKIPIF1<0为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的SKIPIF1<0，在Q中存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称Q为SKIPIF1<0连续可表数列．(1)判断SKIPIF1<0是否为SKIPIF1<0连续可表数列？是否为SKIPIF1<0连续可表数列？说明理由；(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0连续可表数列，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0连续可表数列；易知，不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0连续可表数列．（2）若SKIPIF1<0,设为SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则至多SKIPIF1<0，6个数字，没有SKIPIF1<0个，矛盾；当SKIPIF1<0时,数列SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0最多有SKIPIF1<0种，若SKIPIF1<0，最多有SKIPIF1<0种，所以最多有SKIPIF1<0种，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0至多可表SKIPIF1<0个数，矛盾,从而若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0至多可表SKIPIF1<0个数，而SKIPIF1<0，所以其中有负的，从而SKIPIF1<0可表1~20及那个负数（恰21个），这表明SKIPIF1<0中仅一个负的，没有0，且这个负的在SKIPIF1<0中绝对值最小，同时SKIPIF1<0中没有两数相同,设那个负数为SKIPIF1<0，则所有数之和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足SKIPIF1<0个，SKIPIF1<0（仅一种方式），SKIPIF1<0与2相邻，若SKIPIF1<0不在两端,则SKIPIF1<0形式，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（有2种结果相同，方式矛盾），SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在一端，不妨为SKIPIF1<0形式，若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（有2种结果相同，矛盾），SKIPIF1<0同理不行，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（有2种结果相同，矛盾），从而SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能SKIPIF1<0，①或SKIPIF1<0，②这2种情形，对①：SKIPIF1<0，矛盾，对②：SKIPIF1<0，也矛盾，综上SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0满足题意，SKIPIF1<0．2.（2022·北京卷T21）已知数列SKIPIF1<0的项数均为mSKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前n项和分别为SKIPIF1<0，并规定SKIPIF1<0．对于SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0表示数集M中最大的数.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)证明：存在SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．【解】（1）由题意可知：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由题意可知：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，反证：假设满足SKIPIF1<0的最小正整数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，假设不成立，故SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是以首项为1，公差为1的等差数列，所以SKIPIF1<0.（3）因为SKIPIF1<0均为正整数，则SKIPIF1<0均为递增数列，（ⅰ）若SKIPIF1<0，则可取SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；（ⅱ）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，构建SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为整数，反证，假设存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0相矛盾，故对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0.①若存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；②若不存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以必存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（ⅲ）若SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，构建SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为整数，反证，假设存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0相矛盾，故对任意SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0.①若存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，即满足SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；②若不存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以必存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.综上所述：存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．3.（2021·北京卷T21）设p为实数.若无穷数列SKIPIF1<0满足如下三个性质，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列：①SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如果数列SKIPIF1<0的前4项为2，-2，-2，-1，那么SKIPIF1<0是否可能为SKIPIF1<0数列？说明理由；（2）若数列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0数列，求SKIPIF1<0；（3）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.是否存在SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．【解】(1)因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0，不可能是SKIPIF1<0数列.(2)性质①SKIPIF1<0，由性质③SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，由性质②可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，矛盾；若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，矛盾.因此只能是SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，舍去.当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0前四项为:0，0，0，1，下面用数学归纳法证明SKIPIF1<0：当SKIPIF1<0时，经验证命题成立，假设当SKIPIF1<0时命题成立，当SKIPIF1<0时：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用性质③：SKIPIF1<0，此时可得：SKIPIF1<0；否则，若SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，而由性质②可得：SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾.同理可得：SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0即当SKIPIF1<0时命题成立，证毕.综上可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(3)令SKIPIF1<0，由性质③可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列.由（2）可知:若SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足题意.1、代数型新定义问题的常见考查形式（1）概念中的新定义；（2）运算中的新定义；（3）规则的新定义等．2、解决“新定义”问题的方法在实际解决“新定义”问题时,关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息,确定新定义的名称或符号、概念、法则等,并进行信息再加工,寻求相近知识点,明确它们的共同点和不同点,探求解决方法,在此基础上进行知识转换,有效输出,合理归纳,结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！1．已知无穷数列SKIPIF1<0是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合SKIPIF1<0．若对于集合A中的元素k，数列SKIPIF1<0中存在不相同的项SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，记集合SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0．(1)若数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0写出集合A与集合B；(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解】（1）定义SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为2只能写成SKIPIF1<0，不合题意，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，符合题意，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，符合题意，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，符合题意，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，符合题意，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，符合题意，即SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，由题意可知：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即存在不相同的项SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内均不存在元素，此时我们认为集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同；（i）若集合A是空集，则B是空集，满足SKIPIF1<0；（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知SKIPIF1<0，由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且SKIPIF1<0，设存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，可知集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同,可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同，可知集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同，现证对任意SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同，当SKIPIF1<0，可知集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同，成立；假设SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同，可知集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同；对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，可以认为集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在元素SKIPIF1<0不属于集合C，则元素SKIPIF1<0属于集合A，且SKIPIF1<0，可知元素SKIPIF1<0属于集合B，即数列SKIPIF1<0中存在不相同的项SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同；综上所述：对任意SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同，所以集合SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的元素相同，结合n的任意性，可知SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0.2．已知：SKIPIF1<0为有穷正整数数列，其最大项的值为SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，均有SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0表示数集M中最小的数.(1)若SKIPIF1<0，写出SKIPIF1<0的值；(2)若存在SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；(3)当SKIPIF1<0时，证明：对所有SKIPIF1<0.【解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）由题意可知，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0总有一个大于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0总有一个大于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，取数列SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，符合要求，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；（3）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，(i)若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，至少以下情况之一成立：①SKIPIF1<0，这样的SKIPIF1<0至少有SKIPIF1<0个，②存在SKIPIF1<0，这样的SKIPIF1<0至多有SKIPIF1<0个，所以小于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0至多有SKIPIF1<0个，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，(ii)对SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，至少以下情况之一成立：①SKIPIF1<0，这样的SKIPIF1<0至多有SKIPIF1<0个；②存在SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，这样的SKIPIF1<0至多有SKIPIF1<0个，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不大于SKIPIF1<0的最大整数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；综上所述，定义SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，依次可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3．已知数列SKIPIF1<0，记集合SKIPIF1<0.(1)若数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，写出集合SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出一组符合条件的SKIPIF1<0；若不存在，说明理由；(3)若SKIPIF1<0，把集合SKIPIF1<0中的元素从小到大排列，得到的新数列为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解】（1）由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）假设存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的奇偶性相同，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0奇偶性不同，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中必有大于等于SKIPIF1<0的奇数因子，这与SKIPIF1<0无SKIPIF1<0以外的奇数因子矛盾，故不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.（3）首先证明SKIPIF1<0时，对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均大于SKIPIF1<0且奇偶性不同，所以SKIPIF1<0为奇数，对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，其次证明除SKIPIF1<0形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，若正整数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，由等差数列的性质可得：SKIPIF1<0，此时结论成立，当SKIPIF1<0时，由等差数列的性质可得：SKIPIF1<0，此时结论成立，对于数列SKIPIF1<0，此问题等价于数列SKIPIF1<0其相应集合SKIPIF1<0中满足SKIPIF1<0有多少项，由前面证明可知正整数SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0中的项，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.4．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，记集合SKIPIF1<0.(1)若a1=6，写出集合M的所有元素；(2)如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；(3)求集合M的元素个数的最大值.【解】（1）若SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，具有周期性，故集合M的所有元素为6，12，24；（2）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设SKIPIF1<0是3的倍数，由SKIPIF1<0，可归纳证明对任意SKIPIF1<0SKIPIF1<0是3的倍数.如果SKIPIF1<0，M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1，因为SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是3的倍数；于是SKIPIF1<0是3的倍数；类似可得，SKIPIF1<0都是3的倍数，由上可知，M的所有元素都是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数.（3）对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可归纳证明对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当a1=1时，SKIPIF1<0，有8个元素.因为a1是正整数，SKIPIF1<0，所以a2是2的倍数.从而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是2的倍数.如果a1是3的倍数，由（2）可知，对所有正整数n，an是3的倍数，则SKIPIF1<0的可能值有6,12,18,24,30,36，由（1）知，当SKIPIF1<0的值为6,12,24时，M有4个元素.若SKIPIF1<0，由递推公式可得集合M中含有元素18,36，此时集合M最多3个元素.由此可知SKIPIF1<0时，集合M最多3个元素.若SKIPIF1<0，由递推公式可得集合M中含有元素30,24，12，此时集合M最多4个元素.综上，当a1是3的倍数时，M的元素个数不超过4.如果a1不是3的倍数，由（2）知，对所有正整数n，an不是3的倍数.则SKIPIF1<0的可能值有2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34，若SKIPIF1<0，由递推公式可得集合M中含有元素2,4,8,16,32,28,20，此时M的元素个数不超过8；同理可推出SKIPIF1<0时，M的元素个数不超过8，若SKIPIF1<0，由递推公式可得集合M中含有元素10,20,4,8,16,32,28,此时M的元素个数不超过8.若SKIPIF1<0，由递推公式可得集合M中含有元素14,28,20,4,8,16,32,此时M的元素个数不超过8.若SKIPIF1<0，由递推公式可得集合M中含有元素22,8,16,32,28,20,此时M的元素个数不超过7.若SKIPIF1<0，由递推公式可得集合M中含有元素26,16,32,28,20,此时M的元素个数不超过6.若SKIPIF1<0，由递推公式可得集合M中含有元素34,32,28,20,此时M的元素个数不超过5.综上，当SKIPIF1<0的值为2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34，M的元素个数不超过8.综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.5．已知：正整数列SKIPIF1<0各项均不相同，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，写出一个满足题意的正整数列SKIPIF1<0的前5项：(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式；(3)证明若SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，是否存在不同的正整数SKIPIF1<0，j，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为大于1的整数，其中SKIPIF1<0.【解】（1）取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，符合题设要求.（2）设SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为常数列，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，设存在不同的正整数SKIPIF1<0，j，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为大于1的整数.设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为正整数数列且各不相同，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0为大于1的整数，所以SKIPIF1<0的可能取值为2，同理SKIPIF1<0的可能取值为2.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不成立，故不存在不同的正整数i，j，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为大于1的整数.6．若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列.记SKIPIF1<0.(1)写出一个满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的SKIPIF1<0数列；(2)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是递增数列的充要条件是SKIPIF1<0；(3)对任意给定的整数SKIPIF1<0，是否存在首项为1的SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？如果存在，写出一个满足条件的SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0；如果不存在，说明理由.【解】（1）SKIPIF1<0.（答案不唯一SKIPIF1<0.）（2）必要性：因为SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是递增数列，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.所以SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公差为SKIPIF1<0的等差数列.所以SKIPIF1<0.充分性：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.即SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是递增数列.综上，结论得证.（3）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶数SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0为偶数.所以要使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，必须使SKIPIF1<0为偶数.即SKIPIF1<0整除SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的项满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的项满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不能被SKIPIF1<0整除，此时不存在SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.7．已知无穷数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示x，y中最大的数，SKIPIF1<0表示x，y中最小的数.(1)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，写出SKIPIF1<0的所有可能值；(2)若数列SKIPIF1<0中的项存在最大值，证明：0为数列SKIPIF1<0中的项；(3)若SKIPIF1<0，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有SKIPIF1<0？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.【解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（舍）；综上，SKIPIF1<0的所有可能值为SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0中的项存在最大值，故存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，所以0为数列SKIPIF1<0中的项；（3）不存在正实数SKIPIF1<0，使得对任意的正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.理由如下.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.设集合SKIPIF1<0.①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.对任意SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数)，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.②若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为有限集，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.对任意SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0(其中[x]表示不超过SKIPIF1<0的最大整数)，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为无限集，设SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，矛盾.所以SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.对任意SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0(其中[x]表示不超过SKIPIF1<0的最大整数)，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上，不存在正实数SKIPIF1<0，使得对任意的正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.8．已知等比数列SKIPIF1<0的公比为q（SKIPIF1<0），其所有项构成集合A，等差数列SKIPIF1<0的公差为d（SKIPIF1<0），其所有项构成集合B．令SKIPIF1<0，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列SKIPIF1<0．(1)若集合SKIPIF1<0，写出一组符合题意的数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为无穷数列，SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前5项成公比为p的等比数列．当SKIPIF1<0时，求p的值；(3)若数列SKIPIF1<0是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0”的充要条件是“d是正有理数”．【解】（1）取SKIPIF1<0为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等比数列.而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等差数列，故此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0符合题意.（2）因为集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0中各项均为正数，所以SKIPIF1<0中的各项均为正数，而SKIPIF1<0为无穷等差数列，故SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0的前5项为：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时必有SKIPIF1<0，事实上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的前5项即是SKIPIF1<0的前5项，与SKIPIF1<0矛盾．所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的前5项为1，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，4，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合题意；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0①SKIPIF1<0时，有p，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾；②SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的前5项为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0为等差数列矛盾．所以SKIPIF1<0不可能．综上，p的值为SKIPIF1<0．（3）因为数列SKIPIF1<0是首项为1的无穷数列，由（2）知，数列SKIPIF1<0是递增的数列；对于公比不为1的无穷数列SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．否则，若q为负，则SKIPIF1<0相邻两项必有一项为负，这与SKIPIF1<0中的最小项为SKIPIF1<0矛盾；若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0中的最小项为SKIPIF1<0矛盾．先证明充分性：当d是正有理数时，因为数列SKIPIF1<0是递增的等差数列，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（s，SKIPIF1<0，s，t互质），则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0的第n项是数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项，所以数列SKIPI