新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第14题 数列的性质及应用（解析版）

数列的性质及应用核心考点考情统计考向预测备考策略等差数列2023·北京卷T14可以预测2024年新高考命题方向将继续以数列通项及求和等知识点命题．数列中填空题难度一般或较难，纵观近几年的新高考试题，分别考查等差、等比数列基本量运算，同时备考也需强化对数列通项公式和求和公式的应用，也是高考冲刺复习的重点复习内容。等比数列2022·北京卷T15数学文化2021·北京卷T61．（2023·北京卷T14）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列SKIPIF1<0，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；数列SKIPIF1<0所有项的和为．【答案】48384【解析】方法一：设前3项的公差为SKIPIF1<0，后7项公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，空1：可得SKIPIF1<0，空2：SKIPIF1<0方法二：空1：因为SKIPIF1<0为等比数列，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；空2：设后7项公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·北京卷T15）已知数列SKIPIF1<0各项均为正数，其前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．给出下列四个结论：①SKIPIF1<0的第2项小于3；

②SKIPIF1<0为等比数列；③SKIPIF1<0为递减数列；

④SKIPIF1<0中存在小于SKIPIF1<0的项．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【解析】由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式作差可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，①对；假设数列SKIPIF1<0为等比数列，设其公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不合乎题意，故数列SKIPIF1<0不是等比数列，②错；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0为递减数列，③对；假设对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，与假设矛盾，假设不成立，④对.3.（2021·北京卷T6）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长SKIPIF1<0(单位:cm)成等差数列，对应的宽为SKIPIF1<0(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【解析】由题意，五种规格党旗的长SKIPIF1<0(单位:cm)成等差数列，设公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由长与宽之比都相等，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.等差数列通项公式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0等差中项：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个数成等差数列，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中项若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0仍为等差数列等差数列前n项和公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0等差数列的前SKIPIF1<0项和中，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为奇数）等比数列通项公式：SKIPIF1<0等比中项：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个数成等比数列，则SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等比中项若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等比数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0仍为等比数列等比数列前SKIPIF1<0项和公式：SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系SKIPIF1<011.等差数列基本运算的常见类型及解题策略（1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想；（2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素；（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；（4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.12.等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解；（2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和SKIPIF1<01．已知等差数列SKIPIF1<0的公差为2，若SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C.2．二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是SKIPIF1<0万，则SKIPIF1<0（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】根据题意可知，列不等式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故选：B3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有SKIPIF1<0个球，第二层有SKIPIF1<0个球，第三层有SKIPIF1<0个球，第四层有SKIPIF1<0个球，SKIPIF1<0，设从上往下各层的球数构成数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）

A．380 B．399 C．400 D．400【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C4．《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有996斤棉花要给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则第2个孩子分得棉花的斤数为（

）A．48 B．65 C．82 D．99【答案】C【解析】由题意可知，每人分得的棉花数量构成公差为17的等差数列，设等差数列为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以第2个孩子分得棉花的斤数为82，故选：C5．已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.6．已知SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】D【解析】根据题意，设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：D．7．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（

）A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m【答案】C【解析】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：SKIPIF1<0，可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.由等差数列的求和公式得：SKIPIF1<0故选：C8．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（

）

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸B．秋分的晷长为75寸C．立秋的晷长比立春的晷长长D．立冬的晷长为一丈五寸【答案】C【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0寸，SKIPIF1<0寸，公差为SKIPIF1<0寸，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列SKIPIF1<0，首项SKIPIF1<0，末项SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0（单位都为寸）.故选项A正确；SKIPIF1<0春分的晷长为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0秋分的晷长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0立冬的晷长为SKIPIF1<0，即立冬的晷长为一丈五寸，SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0立春的晷长，立秋的晷长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故错SKIPIF1<0误.故选：C.9．某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在上一年的基础上增加SKIPIF1<0，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时间为（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．9年 B．10年 C．11年 D．12年【答案】A【解析】设该公司第SKIPIF1<0年用于该新项目的投入为SKIPIF1<0万元，则SKIPIF1<0是首项为10，公比为SKIPIF1<0的等比数列，从而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值是9.故选：A10．设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不满足上式,故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足.故SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.故选：C.11．已知SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D12．等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的两个根，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由等比数列的性质可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同号，所以SKIPIF1<0.13．已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是以1为公差的等差数列，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是以1为公差的等差数列，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14．已知各项均为正整数的递增数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0的值为.【答案】74【解析】因为数列SKIPIF1<0是各项均为正整数的递增数列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0取最大值时，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0均取到最小，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0的最大值为61，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0符合题意；若SKIPIF1<0的最大值为62，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不符合题意；综上当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0的值为74.15．在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，则SKIPIF1<0【答案】4【解析】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，由韦达定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0都是正数，在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0同号，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.16．已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则实数λ的值是．【答案】-2【解析】等比数列SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若公比SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则等比数列的前n项和SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），故令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，17．北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌SKIPIF1<0块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加SKIPIF1<0块，下一层的第一环比上一层的最后一环多SKIPIF1<0块，向外每环依次也增加SKIPIF1<0块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)SKIPIF1<0块，则上层有扇形石板块．【答案】SKIPIF1<0【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等差数列，且公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设每层有SKIPIF1<0环，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即上层有扇形石板SKIPIF1<0块.18．大