新高考数学一轮复习 函数专项重难点突破专题08 函数的周期性(解析版)

专题08函数的周期性真题再现一、单选题1．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1【解析】[方法一]：赋值加性质因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为偶函数，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，从而可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的一个周期为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以一个周期内的SKIPIF1<0．由于22除以6余4，所以SKIPIF1<0．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由SKIPIF1<0，联想到余弦函数和差化积公式SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，则由方法一中SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合条件，因此SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于22除以6余4，所以SKIPIF1<0．故选：A．2．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其它三个选项未知.故选：B.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】[方法一]：因为SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0①；因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0②．令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．思路一：从定义入手．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．[方法二]：因为SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0①；因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0②．令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故选：D．考点一周期函数的定义与求解一、单选题1．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（

）A．809 B．811 C．1011 D．1013【解析】由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0周期为5，所以一个周期的和为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：A.2．已知SKIPIF1<0在R上是奇函数，且满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．－2 B．2 C．－98 D．98【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以4为周期的周期函数，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在R上是奇函数，则SKIPIF1<0，又因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.3．设SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的奇函数，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数，SKIPIF1<0.故选：C.4．函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是（

）A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数【解析】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数.所以A选项正确.故选：A5．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，则下列结论一定正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的周期为3 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代换为SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代换为SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代换为SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为周期函数，周期为4，由SKIPIF1<0取SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B错误；SKIPIF1<0，C错误；SKIPIF1<0，D正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0不是周期为3的函数，A错误；故选：D.6．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．－3 B．3 C．－1 D．1【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，则SKIPIF1<0.故选：D.7．已知SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，且对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期函数，周期SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.二、多选题8．已知SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的周期为2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的值可能为2【解析】由题得SKIPIF1<0，所以函数的周期为4，A选项错误．SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B选项正确；SKIPIF1<0，C选项正确；SKIPIF1<0，D选项正确.故选：BCD9．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0中心对称，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0.则下列选项中说法正确的有（

）A．SKIPIF1<0为奇函数 B．SKIPIF1<0周期为2C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0是奇函数【解析】由于SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且关于SKIPIF1<0中心对称，可得SKIPIF1<0是奇函数，故A项正确；因为SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，故B项错误；SKIPIF1<0，故C项错误；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，故D项正确.故选：AD.三、填空题10．函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【解析】因为SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.11．已知定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为_____．【解析】由题得SKIPIF1<0-f(x),所以SKIPIF1<0，所以函数的周期为4，所以SKIPIF1<0因为定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0=-2+0=-2.故答案为-2四、解答题12．设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且对任意实数SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是周期函数；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的解析式；(3)计算SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且对任意实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数.（2）解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0.（3）解：因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.13．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是周期函数；(2)若SKIPIF1<0为奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的所有x的个数．【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是周期函数，4为函数SKIPIF1<0的一个周期．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0是以4为周期的周期函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0是以4为周期的周期函数，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0上共有SKIPIF1<0个SKIPIF1<0使SKIPIF1<0.考点二利用周期性求函数值(或解析式)一、单选题1．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．6 C．7 D．8【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期为12，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：D2．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2019 B．3 C．－3 D．0【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.故选：D.3．设定义在R上的函数f（x）满足SKIPIF1<0，若f（1）=2，则f（99）=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数，所以SKIPIF1<0.故选：D4．已知定义在SKIPIF1<0上的偶函数SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】依题意对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数，故SKIPIF1<0.故选：C5．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的图像关于y轴对称，且周期为3，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．2023 B．2022 C．SKIPIF1<0 D．1【解析】因为SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图像关于y轴对称所以SKIPIF1<0为偶函数，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D.6．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0是以4为周期的函数，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C正确；其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故ABD不一定成立.故选：C.7．已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，若SKIPIF1<0为偶函数且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．2 D．4【解析】因为SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D二、填空题8．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以2为周期的周期函数，所以SKIPIF1<09．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为SKIPIF1<0

，则SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝______.【解析】由题意得：SKIPIF1<0函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<010．已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的周期为SKIPIF1<0的奇函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为___________【解析】因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的周期为SKIPIF1<0的奇函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<011．设SKIPIF1<0是定义域为R的奇函数，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【解析】因为SKIPIF1<0是定义域为R的奇函数，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期为4的函数，则SKIPIF1<0.12．已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.【解析】由题意可知SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.13．已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0都满足SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【解析】根据题意，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的周期为6，所以SKIPIF1<0.14．设SKIPIF1<0是定义在R上以2为周期的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式SKIPIF1<0___________．【解析】因为函数SKIPIF1<0的周期为2，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0时函数图象上的任意一点，则点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时函数的图象上，而函数是R上的奇函数，则点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的图象上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式SKIPIF1<0.15．函数SKIPIF1<0满足是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为___________.【解析】由题设，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.三、解答题16．已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的周期函数，周期为5，函数SKIPIF1<0是奇函数，又知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是一次函数，在SKIPIF1<0上是二次函数，且在SKIPIF1<0时函数取得最小值SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的解析式；(3)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式，并求函数SKIPIF1<0的最大值与最小值．【解析】（1）函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的周期函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是二次函数，且在SKIPIF1<0时函数取得最小值SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）解：函数SKIPIF1<0是奇函数，又知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是一次函数，令SKIPIF1<0，由（2）得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.17．设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上以SKIPIF1<0为周期的周期函数，且SKIPIF1<0是偶函数，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的解析式．【解析】当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，于是当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.18．设SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是周期函数；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的解析式．【解析】（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0是周期为4的周期函数．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．19．设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且对任意实数SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的解析式；(2)计算SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是周期为4的周期函数.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0是奇函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是周期为4的周期函数，SKIPIF1<0，从而求得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是周期为4的周期函数，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.20．已知f(x)是定义在R上的函数，满足SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）证明：函数f(x)的周期是2；（3）当SKIPIF1<0时，f(x)＝2x，求f(x)在SKIPIF1<0时的解析式，并写出f(x)在SKIPIF1<0时的解析式．【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，令x取x＋1得，所以SKIPIF1<0，所以，2是函数f(x)的周期．（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为f(x)的周期为2，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0.考点三抽象函数周期性一、单选题1．定义在R上的连续函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为奇函数.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．0【解析】因为函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，即SKIPIF1<0①.又因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②.由①②知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为奇函数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.2．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的零点个数是（

）A．253 B．506 C．507 D．759【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以8为周期的周期函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有两个零点2和4，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0无解，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无零点，又SKIPIF1<0，因此在SKIPIF1<0上函数有SKIPIF1<0个零点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有两个零点2和4，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无零点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无零点，因此有SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个零点．故选：B．3．定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称，对任意的实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对函数SKIPIF1<0任意的实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的周期为3，则SKIPIF1<0定义在R上的函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：A二、多选题4．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0为奇函数 B．4为SKIPIF1<0的周期C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】对于A：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的对称中心为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，结合SKIPIF1<0的对称中心为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，即SKIPIF1<0为偶函数，故A错误；对于B：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的周期为4，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周期也为4，故B正确；对于C：由SKIPIF1<0对称中心为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称中心，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；对于D：由C得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0的周期为4，所以SKIPIF1<0，故D正确，故选：BD．5．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域均为R，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域均为R，∵SKIPIF1<0的图象关于直线x＝2对称，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为偶函数，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确，C错误；因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A正确；由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0是以4为周期的周期函数，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D正确．故选：ABD．6．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0中心对称，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，因为SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0中心对称，所以SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0成中心对称，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；由周期SKIPIF1<0