广东省领航高中联盟2024-2025学年高一上学期第一次联合考试数学试卷

绝密★启用前领航高中联盟2024—2025学年上学期第一次联合考试高一数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．考查范围：必修第一册第一章至第四章第三节。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合中的元素个数为（）A．2 B．3 C．5 D．72．已知命题，则命题的否定为（）A． B．C． D．3．若，则（）A．2 B． C． D．4．若幂函数在上单调递减，则（）A．2 B． C． D．5．函数的图象大致为（）A． B．C． D．6．已知函数，则有（）A．最小值2 B．最小值 C．最大值2 D．最大值7．若，则（）A． B． C． D．8．若对任意，都至少存在三个互不相等的整数，使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，且，则（）A． B． C． D．10．下列幂值比大的是（）A． B． C． D．11．已知函数满足，且，则（）A． B．C．不可能是奇函数 D．在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若函数是偶函数，则______．13．已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现．若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时，______．14．已知函数若存在，使得，则的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）求的值；（2）若，用表示．16．（15分）已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．17．（15分）已知函数．（1）判断的单调性，并用定义法证明；（2）求关于的不等式的解集．18．（17分）已知函数．（1）若方程在上有解，求的取值范围；（2）求关于的不等式的解集；（3）若，求函数在区间上的最大值．19．（17分）若函数在区间上有意义，对于给定的，存在，使得，则称为上的“阶等值函数”．（1）判断是否是上的“阶等值函数”；（直接写出结论）（2）若二次函数满足，证明：是上的“阶等值函数”；（3）证明：是上的“阶等值函数”，并求的最大值．

领航高中联盟2024-2025学年上学期第一次联合考试高一数学参考答案及评分细则1．【答案】C【解析】，该集合中的元素有5个．故选C．2．【答案】C【解析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，可得命题的否定为．故选C．3．【答案】B【解析】因为，所以．故选B．4．【答案】C【解析】因为为幂函数，所以，解得，因为在上单调递减，所以．故选C．5．【答案】A【解析】的定义域为，且是奇函数，其图象关于原点对称，排除CD，当时，在上单调递增，排除B．故选A．6．【答案】A【解析】的定义域为的定义域为，所以的定义域为，当时单调递增，，当时，，所以有最小值2，没有最大值．故选A．7．【答案】D【解析】由，得，设，则单调递增，且，所以．故选D．8．【答案】C【解析】因为，所以，所以问题转化为不等式至少有3个整数解，因为的图象关于直线对称，所以是的3个整数解，所以．故选C．9．【答案】ABD（每选对1个得2分）【解析】由且得，所以，A正确；，所以，B正确；取，则，C错误；由得，所以，因为，所以，D正确．故选ABD．10．【答案】BC（每选对1个得3分）【解析】对于A，根据在上单调递增，可得；对于B，根据在上单调递减，可得；对于C，因为，所以；对于D，根据在上单调递增及在上单调递减，得．故选BC．11．【答案】AB（每选对1个得3分）【解析】对于A，中取，得，所以，A正确；对于B，中取得，又，所以，令，得，B正确；满足错误；取（表示不超过的最大整数），则，从而有，当时，D错误．故选AB．12．【答案】3【解析】因为是偶函数，所以，即，解得，当时，是偶函数，所以．13．【答案】【解析】当时，．14．【答案】（答案写成集合形式如不扣分）【解析】设，则直线与的图象有3个交点，因为，所以时直线与的图象有2个交点，且，当时，，所以当，即时存在，使得，所以的取值范围是．15．解：（1）．（2）因为，所以，所以．【评分细则】1．第（2）小题结果写成或都不扣分；2．如用其他解法，若正确，也给满分．16．解：（1），当时，，（4分）所以．（6分）（2）由（1）知，，，因为“”是“”的充分条件，所以，所以或，解得或，所以的取值范围是．【评分细则】1．第（1）小题结果写成不扣分，写成扣1分；2．第（2）小题结果写成及或均不扣分；3．如用其他解法，若正确，也给满分．17．解：（1）在上单调递增．（2分）证明如下：设，且，则，因为，所以，又，所以，即，所以在上单调递增。（2），所以是定义在上的奇函数．（9分）等价于，又在上单调递增，所以．所以不等式的解集为．【评分细则】1．第（1）小题用其他方法证明只给2分；2．第（2）小题结果写成集合形式也正确．18．解：（1）在上有解，即在上有解，因为，所以，因为，所以解得，所以的取值范围是．（2）因为，所以即，即，①当，即或时，的解集为；②当，即或时，的解集为；③当，即或时，的解集为．综上可得，或时原不等式的解集为或时原不等式的解集为或时原不等式的解集为．（3）由题意知，当时，，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，令，解得或，所以当时，，当时，，综上得【评分细则】1．第（1）小题结果写成或均不扣分；2．第（2）小题解集不用集合或区间表示酌情扣21～2分；3．如用其他解法，若正确，也给满分．19．（1）解：不是上的“阶等值函数”，是上的“阶等值函数”．（4分）（2）证明：因为是二次函数，，所以的对称轴为，若存在，使得，则，解得，所以是上的“阶等值函数”．（3）证明：因为，当时，，令，得，所以，所以是“阶等值函数”，的一个值为，下面证明的最大值为，假设存在，使得是上的“阶等值函数”，则存在，使得，因为在上单调递减，所以，因为，则，所以