14.3.1提公因式法（解析版）

14.3.1提公因式法一、单选题1．在中，若有一个因式为，则k的值为（）A．2 B． C．6 D．【答案】A【分析】根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．【详解】设，∵，∴，，，解得，，．故选：A．【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．2．下列各式由左边到右边是因式分解且分解结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的意义求解即可．【详解】A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、，原式分解不正确，故B不符合题意；C、，分解正确，故C符合题意；D、，原式分解不正确，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．3．下列从左到右是因式分解的是（）．A．（a＋b）（a－b）＝a2－b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2C．（x＋2）（x－5）＝x2－3x＋10 D．x2＋2x－15＝（x－3）（x＋5）【答案】D【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A、是整式的乘法，故A错误；B、是整式的乘法，故B错误；C、是整式的乘法，故C错误；D、符合因式分解，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．4．下列等式中，从左到右的变形正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别对各选项进行变形，然后对照进行判断即可得到答案．【详解】A、，原选项变形错误，故不符合题意；B、，原选项变形错误，故不符合题意；C、，原选项变形正确，故符合题意；D、，原选项变形错误，故不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了整式的乘法和因式分解，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．5．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解【答案】D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】①，从左到右的变形是整式的乘法；②，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D．【点评】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．6．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．【详解】A、，不是分解因式；B、，不是分解因式；C、，是分解因式；D、，不是分解因式；故选：C．【点评】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键．7．下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（）A．a（m+n）＝am+anB．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）C．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6xD．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2【答案】B【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．【详解】A．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；B．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；C．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了因式分解的定义.掌握其定义是解答此题的关键.8．（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（）A．﹣22019 B．﹣22020 C．22019 D．﹣2【答案】C【分析】直接提取公因式（−2）2019，进而计算得出答案．【详解】（−2）2019＋（−2）2020＝（−2）2019×（1−2）＝22019．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．二、填空题9．多项式，与的公因式为______．【答案】【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【详解】因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故答案：．【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．10．已知，则的值为______．【答案】【分析】由可得可得：即再把分解因式，再整体代入求值即可．【详解】，故答案为：【点评】本题考查的是整式的乘法，多项式的恒等，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键．11．多项式因式分解后有一个因式是，则_______．【答案】【分析】由于x的多项式y2+2y+m分解因式后有一个因式是(y-1)，所以当y=1时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．【详解】∵多项式y2+2y+m因式分解后有一个因式为（y-1），

∵当y=1时多项式的值为0，

即1+2+m=0，

解得m=-3．

故答案为：-3．【点评】本题考查了因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．12．已知x2－3x－1＝0，则2x3－3x2－11x＋1＝________．【答案】4【分析】根据x2－3x－1＝0可得x2－3x＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．【详解】∵x2－3x－1＝0，∴x2－3x＝1，∴==将x2－3x＝1代入原式==将x2－3x＝1代入原式=，故答案为：4．【点评】本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想．三、解答题13．仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．则＝＋（n＋2）x＋2n，∴n＋2＝5，m＝2n，解得n＝3，m＝6，∴另一个因式为x＋3，m的值为6依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝；（2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝；（3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为＋x＋3，k的值为5．【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可；（2）仿照题干中给出的方法计算即可；（3）设出另一个因式为（），对比两边三次项系数可得a＝1，再参照题干给出的方法计算即可．【详解】（1）∵＝＝．∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，解得：a＝﹣4.（2）∵＝．＝．∴b＝﹣1．（3）设另一个因式为（），得．对比左右两边三次项系数可得：a＝1．于是．则．∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．解得：c＝3，b＝1，k＝5．故另一个因式为，k的值为5．【点评】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．14．解答下列各题：（1）计算：（2）分解因式：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式分别计算前后两部分，然后进行加减运算即可；（2）先提取公因式5m，再利用平方差公式计算．【详解】（1）原式（2）原式【点评】本题考查整式的混合运算和因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式的法则．15．将下列各式因式分解：（1）；（2）（x﹣y）+6xy（y﹣x）+9（x﹣y）．【答案】（1）x（x+2y）（x-2y）；（2）（x﹣y）．【分析】（1）先提取公因式x，后变形成为，用平方差公式分解即可；（2）先将6xy（y﹣x）变形为－6xy（ｘ﹣ｙ），后提取公因式，再用完全平方公式分解即可．【详解】（1）===x（x+2y）（x-2y）；（2）（x﹣y）+6xy（y﹣x）+9（x﹣y）=（x﹣y）－6xy（x﹣y）+9（x﹣y）=（x﹣y）（－6xy+9）=（x﹣y）．【点评】本题考查了提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法分解因式，熟练掌握先提后套用公式分解因式是解题的关键．16．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：（1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．（5）已知，，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5）【分析】（1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为从而可得答案；（2）由利用长方体的体积公式直接可得答案；（3）提取公因式，即可得到答案；（4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案；（5）利用先求解再利用，再整体代入求值即可得到答案．【详解】（1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为所以截去后得到的几何体的体积为：故答案为：（2）由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为，所以长方体③的体积为故答案为：，（3）由题意得：故答案为：（4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：故答案为：（5），，，【点评】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键．17．已知（1）求的值（2）求的值【答案】（1）84；（2）25．【分析】（1）先提取公因式将所求式子因式分解为，再将已知式子的值代入即可得；（2）利用完全平方公式进行变形求值即可得．【详解】（1），，，；（2），，，，．【点评】本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键．18．设，，且．求的值．【答案】1．【分析】由，可得，令，由变形得可得因式分解，由，，可得．【详解】∵，∴，或一正，两负，说明x，y，z同号，∴，令，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴．【点评】本题考查立方根条件求值问题，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题关键．19．已知，，求下列各式的值．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）68【分析】（1）根据完全平方公式的变形公式（x﹣y）2=(x+y)2﹣4xy进行求解即可；（2）利用完全平方公式求解x2+y2，再将所求代数式因式分解，进而代入数值即可求解．【详解】（1）∵，，∴（x﹣y）2=(x+y)2﹣4xy=52﹣4×4=9，∴x﹣y=±3；（2）∵（x+y）2=x2+y2+2xy，∴x2+y2=52﹣2×4=17，∴=xy(x2+y2)=4×17=68．【点评】本题考查代数式求值、完全平方公式、平方根、因式分解、有理数的混合运算，熟记完全平方公式，灵活运用公式是解答的关键．20．仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为，得，则，，，解得，，∴另一个因式为，m的值为6．依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式可分解为，则________；（2）若二次三项式可分解为，则________；（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，k的值为5．【分析】（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n和k的值及另一个因式．【详