11.2.2三角形的外角（解析版）

11.2.2三角形的外角一、单选题1．如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（）A．32° B．30° C．28° D．26°【答案】C【分析】根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可得解．【详解】解：如图，由翻折的性质得，∴，∴在△ADE中，，∵，∴，∴，∵，，∴．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键．2．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，∵点E在AC上的任意一点，∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．3．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．105° B．95° C．85° D．75°【答案】C【分析】根据角平分线的性质，求得∠ACD＝120°，利用三角形的外角性质求解即可.【详解】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝120°，∵∠ACD＝∠A+∠B，且∠B＝35°，∴∠A＝85°，故选C.【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练运用两条性质是解题的关键.4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若，则∠A的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵△CDB′是由△CDB翻折得到，∴∠CB′D＝∠B，∵∠CB′D＝∠A＋∠ADB′＝∠A＋20°，∴∠A＋∠A＋20°＝90°，解得∠A＝35°．故选：C．【点评】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，和相交于点，，则下列结论中不正确的是（）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.【详解】∵∠1=∠2，∠A=∠C，∠1=∠A+∠D，∠2=∠B+∠C，∴∠B=∠D，∴选项A、B正确；∵∠2=∠A+∠D，∴，∴选项C正确；没有条件说明故选：D.【点评】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键.6．已知，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用角平分线和三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质定理即可得出的大小．【详解】解：如下图所示，∵和的平分线交于点，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故选：C．【点评】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．7．下列命题是假命题的是（）A．三角形的内角和是180° B．两直线平行，内错角相等C．三角形的外角大于任何一个内角 D．同旁内角互补，两直线平行【答案】C【分析】根据三角形内角和定理、外角性质、平行线的性质与判定进行判断即可．【详解】解：A选项，三角形的内角和是180°，是真命题，不符合题意；B选项，两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；C选项，三角形的外角大于任何一个内角，是假命题，符合题意；D选项，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行的性质与判定，解题关键是熟练准确掌握基础知识．8．如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=，利用AD平分∠BAC及三角形的外角性质求出∠ADC=∠B+∠BAD=，再根据∠AED=求出答案．【详解】∵，，∴∠BAC=，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=，∴∠ADC=∠B+∠BAD=，∵AE⊥BC，∴∠AED=，∴∠DAE=-∠ADE=，故选：B．【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直的定义，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，这是三角形的基础题型．二、填空题9．已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点．若，则__________．【答案】90°或30°【分析】先由两直线平行，内错角相等得出∠EFC＝∠PEF．若设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2x，∠EQP＝x，再由EF⊥PQ，根据三角形内角和定理得到∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解方程求出x＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠AEQ的度数．【详解】解：①如图：∵AB∥CD，∴∠EFC＝∠PEF．设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2∠EFC＝2x，∠EQP＝∠EFC＝x．∵EF⊥PQ，∴∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解得x＝30°，∴∠EQP＝x＝30°，∠APQ＝2x＝60°，∴∠AEQ＝∠EQP＋∠APQ＝30°＋60°＝90°．②如图：易知∠EFC＝∠FEB＝∠HEA，∠APQ＝∠HPE，又∵∠PHE＝90°，故∠EFC＝30°，∠EQP＝30°，∠APQ＝60°；故∠AEQ＝∠APQ−∠EQP＝30°．综上所述：90°或30°．故答案是：90°或30°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角的性质，难度适中．设出适当的未知数，列出方程，是解题的关键．10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，则∠DCE的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．11．如图，，点，分别在射线，上，平分，的反向延长线与的平分线交于点，则的度数是_______．【答案】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出，再根据角平分线的定义求出和，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【详解】解：根据三角形的外角性质，可得，平分，平分，，，，，，，，，．故答案为：45°．【点评】本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12．已知，一个含角的直角三角板按如图所示放置，，则_____．【答案】75°．【分析】利用外角求∠5，再根据平行线的性质求∠1．【详解】解：由题意可知∠4=45°，∠2=∠3=30°，∠5=∠2+∠3=75°，∵，∴∠1=∠5=75°，故答案为：75°．【点评】本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算．三、解答题13．如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、．（1）若，则__________．（2）、、有什么数量关系？请说明理由．【答案】（1）；（2）∠F+∠FEC=2∠A，理由见解析【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理求得∠C的度数，再在△EFC中，利用三角形内角和定理即可求解；（2）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根据∠A=∠ABC，即可得出答案．【详解】（1）在△ABC中，∠A=∠ABC，且∠A=70°，∴∠C=，∴∠F+∠FEC=；故答案为：；（2）∠F+∠FEC=2∠A，理由：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，∵∠ADE=∠BDF，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，∵∠A=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角的性质．14．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠1+∠2＝2∠B，理由见解析【分析】（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C即可得出∠B＝∠DFC，从而证出AB∥DF；（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．【详解】解：（1）AB与DF平行．理由如下：由翻折，得∠DFC＝∠C．又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DFC，∴AB∥DF．（2）连接GC，如图所示．由翻折，得∠DGE＝∠ACB．∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．∵∠B＝∠ACB，∴∠1+∠2＝2∠B．【点评】本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出∠B=∠DFC；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出∠1+∠2=2∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键.15．在中，与的平分线相交于点．（1）如图①，如果，求的度数；（2）如图②，作外角，的角平分线，且交于点，试探索，之间的数量关系；（3）如图③，在图②中延长线段，交于点若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．【答案】（1）；（2）；（3）的度数是90°或60°或120°【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q=90°∠A，求出∠E=∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）∵，∴，又∵点是和的平分线的交点，∴，∴；（2）∵外角，的角平分线交于点，∴，，∵，，∴，，∴，∴；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=∠A，∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．16．（1）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺的直角顶点放在直线上．①若三角尺与平行线的位置如图1所示，，求的度数；②若三角尺与平行线的位置如图2所示，且，则的度数又是多少？（2）已知直线，小亮把一块含角的直角三角尺按图3所示放置，若，求的度数．【答案】（1）①50°；②20°；（2）35°【分析】（1）①由直角三角板的性质可知∠3=180°-∠1-90°，再根据平行线的性质即可得出结论；②首先过点B作BD∥a，由直线a∥b，可得BD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数；（2）先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）①如图①∵∠1=40°，∴∠3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°，∵a∥b，∴∠2=∠3=50°；②如图②过点B作BD∥a，∵直线a∥b，∴BD∥a∥b，∴∠4=∠1=25°，∵∠ABC=45°，∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，∴∠2=∠3=20°；（2）如图3，∵∠3是△ADG的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵直线a∥b，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°-55°=35°，∴∠2=35°．【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．17．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；（2）如图2，∠B＜∠C，则DAE、∠B，∠C之间的数量关系为___________；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．【答案】（1）10°；（2）∠DAE＝(∠C−∠B)；（3）45°．【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）设∠ACB＝，根据角平分线的定义得∠CAG＝∠EAC＝（90°−）＝45°−，∠FCG＝∠BCF＝（180°−）＝90°−，再利用三角形外角的性质即可求得结果．【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°−60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＝180°−∠B−∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°−∠C，∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝∠BAC−（90°−∠C）＝（180°−∠B−∠C）−90°＋∠C＝∠C−∠B，即∠DAE＝(∠C−∠B)．故答案为：∠DAE＝(∠C−∠B)．（3）设∠ACB＝，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°−，∠BCF＝180°−，∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，∴∠CAG＝∠EAC＝（90°−）＝45°−，∠FCG＝∠BCF＝（180°−）＝90°−，∵∠FCG＝∠G＋∠CAG，∴∠G＝∠FCG−∠CAG＝90°−−（45°−）＝45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高及角平分线等知识，熟练掌握三角形内角和定理并能灵活运用三角形的高、角平分线这些知识解决问题是关键．18．如图，已知在中，是外角的平分线，是的平分线．（1）求证：．（2）若，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证；

（2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE得∠ABE=∠E，从而AB∥CE．【详解】证明：（1）∵是的一个外角，是的一个外角，∴，，∴，．∵是外角的平分线，是的平分线，∴，，∴．（2）由（1）可知．∵，，∴，即，∴．【点评】本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．19．已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合．（1）如图1，平分平分．若，则______．（2）如图2，平分交于点I，平分的反向延长线交的延长线于点D．①若，则_______．②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．（3）如图3，已知点E在的延长线上，的平分线的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．【答案】（1）135；（2）①45；②的大小不会发生变化，；（3）或．【分析】（1）先求出∠IBA、∠MAB，根据∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）求解即可；（2）①由∠CBA=∠D+∠BAD求出∠CBA、∠BAD即可解答；②由点A、B在运动的过程中，∠ADB=45°，可得∠D=∠CBA-∠BAD=∠MBA-∠BAO=（∠MBA-∠BAO）=∠AOB进行计算即可；（3）先证明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分①当时，②当∠DAF=3∠F时，③当时，④当时四种情况