河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷含答案及解析

2024~2025学年上学期高二年级9月月考数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂，黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择必修第一册第一章~第二章2.4.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆的圆心与半径分别为（）A.， B.，C.， D.，2.两平行直线和之间的距离为（）A. B.2 C. D.33.已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（）A. B.C. D.4.经过直线和交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（）A. B. C. D.5.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（）A或 B.或1 C.或2 D.6.直线关于直线对称的直线方程为（）A B. C. D.7.在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（）A B. C. D.8.如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知向量，则下列向量中与共面的向量是（）A. B. C. D.10.已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（）A. B. C. D.11.如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（）A. B.三棱锥的外接球的半径为C.当异面直线和所成的角为时， D.点F到平面与到平面的距离相等三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且在两坐标轴上截距相等直线方程是_______________13.已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______．14.如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知三个顶点的坐标分别是.（1）求的面积（2）求外接圆的方程16.在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为．（1）求直线的方程；（2）若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．17.如图，在长方体中，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点．（1）求的最小值；（2）求的最小值．19.如图，在四棱锥中，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．

2024~2025学年上学期高二年级9月月考数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂，黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择必修第一册第一章~第二章2.4.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆的圆心与半径分别为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据圆的一般方程求得圆心和半径.【详解】圆心为，即，半径为.故选：C2.两平行直线和之间的距离为（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用平行线间距离公式计算即得.【详解】平行直线和之间的距离.故选：A3.已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和空间向量的相等向量的计算即可求解.【详解】设设点D的坐标为，由题意得，因为四边形是平行四边形，所以，所以，解得，故选：A4.经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解.【详解】由，解得，即所求方程的直线过点，令直线的倾斜角为，则，显然是锐角，因此所求方程的直线斜率，所以所求的直线方程为，即.故选：C5.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（）A.或 B.或1 C.或2 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可【详解】因为所以，因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，所以，化简得，解得或1．故选：B6.直线关于直线对称的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解.【详解】由，解得，则直线与直线交于点，在直线上取点，设点关于直线的对称点，依题意，，整理得，解得，即点，直线的方程为，即，所以直线关于直线对称的直线方程为.故选：D7.在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可.【详解】，，.故选：A.8.如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得.【详解】如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则有,依题意，，,于，.又因平面，平面,则,又,平面，故平面,故平面的法向量可取为，因平面，故，即.则，因，故当时，.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知向量，则下列向量中与共面的向量是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据共面向量定理，设出表达式，由方程组的解的情况确定是否与共面即得.【详解】对于A，设，则得，解得，即，故A正确；对于B，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故B错误；对于C，设，则得，解得，即，故C正确；对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误.故选：AC.10.已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】设出动点Ax1,y【详解】令Ax1,y1、Bx2,y设AB的中点M的坐标为，则有：，两式相加得：，所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能.故选：CD11.如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（）A. B.三棱锥的外接球的半径为C.当异面直线和所成的角为时， D.点F到平面与到平面的距离相等【答案】ACD【解析】【分析】在菱形中，过点作直线，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间向量求出线线角判断AC；求出点到平面距离判断D；分析棱锥外接球球心并求出球半径判断B.【详解】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，则，由，得，则，对于A，，，则，于是，A正确；对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为，则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上，因此，三棱锥的外接球，B错误；对于C，，由异面直线和所成的角为，得，整理得，而，解得，C正确；对于D，，设平面与平面的法向量分别为，，令，得，，令，得，而，则点F到平面的距离，点F到平面的距离，显然，D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_______________【答案】或.【解析】【分析】分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为,则,故,化简得.当截距不为0时,设直线方程为,则.故,化简可得.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了根据直线的截距关系式求解直线方程的问题,需要注意分截距为0与不为0两种情况进行求解.属于基础题.13.已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______．【答案】①.②.【解析】【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围.【详解】如图所示：由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为，由直线与线段相交，可得的范围是；由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角故答案为：；.14.如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则_______．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量的基底表示，然后利用向量数量积的运算律求解即得.【详解】在三棱柱中，连接，由分别为的中点，得，且，则，，，而，所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知三个顶点的坐标分别是.（1）求的面积（2）求外接圆的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用斜率可得，则，由已知数据求解即可；（2）由，外接圆是以线段AB为直径的圆，求出圆心和半径即可得外接圆的方程.【小问1详解】三个顶点的坐标分别是，直线的斜率，直线的斜率，则，即.，，.【小问2详解】由，外接圆是以线段AB为直径的圆，线段的中点为，半径，所以外接圆的方程是.16.在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为．（1）求直线的方程；（2）若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出直线方程，与直线方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，由的中点在直线上，求出点的坐标，然后求出直线方程.（2）按直线过的中点及与平行求出方程即得.【小问1详解】由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即，而边中线所在的直线方程为，由，解得，则，设点，则点，于是，解得，即点，直线的斜率，所以直线的方程为，即.【小问2详解】由（1）知，，，由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或，当直线过时，直线的斜率为，方程为，即，当直线时，直线的斜率为，方程为，即，所以直线l的方程为或.17.如图，在长方体中，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.【小问1详解】在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，有，，，，，，，则，，，，，因此，，又，，平面，所以平面.【小问2详解】设平面的法向量为，由，，有，取，得，设直线与平面所成的角为，而则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点．（1）求的最小值；（2）求的最小值．【答案】（1）12（2）【解析】【分析】（1）先判断直线经过定点，设直线的截距式方程，代入得，利用基本不等式即可求得；（2）利用（1）的结论，借助于常值代换法和基本不等式即可求得【小问1详解】由整理得，，令，解得，即直线经过定点.不妨设直线的方程为，则有（*）由（*）和基本不等式可得，，解得，当且仅当时，即时，等号成立，故当时，的最小值为12；【小问2详解】因，由（1）得，，则，当且仅当时，等号成立，故当时，取得最小值.19.如图，在四棱锥中，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过计算得出,取线段的三等分点（靠近点）证明平面平面即得；（2）依题建系，设与轴成角，分别求得点坐标和两平面法向量，计算它们夹角的余弦值的表达式，求其值域即得.【小问1详解】如图，连接，两线交于点，因则，，在中，设，由余弦定理，，解得，则,由题意知：共线且，取线段的三等分点（靠近点），连接，则点是的中点，因为的中点，故有,又平面，平面，故得，平面①因且，易知为菱形，故得，又平面