2024-2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.3直线的一般式方程学案含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE1-2.2.3直线的一般式方程学习目标核心素养1.驾驭直线的一般式方程．(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.初中我们学习过二元一次方程，它的详细形式是Ax＋By＋C＝0，前面我们又学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，斜截式：y＝kx＋b，两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)和截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.它们都可以化成为二元一次方程的这种形式，同时在肯定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)叫做直线的一般式，下面进入今日的学习．直线的一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．(3)系数的几何意义：①当B≠0时，则－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y轴上的截距)；②当B＝0，A≠0时，则－eq\f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．思索：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？[提示](1)若A＝0，则y＝－eq\f(C,B)，表示与y轴垂直的一条直线．(2)若B＝0，则x＝－eq\f(C,A)，表示与x轴垂直的一条直线．(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的一般式方程可以表示平面内随意一条直线． ()(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式． ()(3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)肯定表示直线． ()[提示](1)√(2)√(3)√2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满意的条件为()A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0D[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.故选D.]3．已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为()A．－1,2 B．－2,2C．2，－2 D．－2，－2A[y＝0时，x＝－eq\f(b,2)＝－1，解得b＝2，当x＝0时，y＝－eq\f(b,a)＝－eq\f(2,a)＝2，解得a＝－1.]4．直线3x－eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角为________．60°[把3x－eq\r(3)y＋1＝0化成斜截式得y＝eq\r(3)x＋eq\f(\r(3),3)，∴k＝eq\r(3)，倾斜角为60°.]5．直线eq\f(x,2)－eq\f(y,3)＝1的一般式方程是________．3x－2y－6＝0[由eq\f(x,2)－eq\f(y,3)＝1得3x－2y－6＝0.]直线的一般式方程与其他形式的互化【例1】(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．(2)依据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．①斜率是－eq\f(1,2)，经过点A(8，－2)；②经过点B(4,2)，平行于x轴；③在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)，－3；④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．[解](1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝eq\f(2,3)x＋2.截距式方程为：eq\f(x,－3)＋eq\f(y,2)＝1.由此可知，直线的斜率为eq\f(2,3)，在x轴、y轴上的截距分别为－3,2.(2)①由点斜式得y－(－2)＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0.②由斜截式得y＝2，即y－2＝0.③由截距式得eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0.④由两点式得eq\f(y－－2,－4－－2)＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0.1．求直线一般式方程的方法2．由直线方程的一般式转化为四种特别形式时，肯定要留意其运用的前提条件．[跟进训练]1．依据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是eq\r(3)且经过点A(5,3)；(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.[解](1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝eq\r(3)(x－5)，化为一般式方程为eq\r(3)x－y＋3－5eq\r(3)＝0.(2)由两点式方程可知，所求直线方程为eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1)，化为一般式方程为2x＋y－3＝0.(3)由截距式方程可得，所求直线方程eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.直线的平行与垂直【例2】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0相互垂直．[思路探究]利用两直线平行与垂直的条件，但要留意斜率的存在与否．[解]法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，明显l1与l2不平行．②当m≠0时，要使l1∥l2，需eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2).解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0明显垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－eq\f(3,2)时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq\f(a＋2,1－a)，k2＝－eq\f(a－1,2a＋3).当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,1－a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a－1,2a＋3)))＝－1，∴a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，明显l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，明显l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满意题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.[跟进训练]2．已知直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.求m的值，使得l1和l2：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.[解](1)由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.两直线明显不重合，即l1∥l2.当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.两直线重合．故l1∥l2时，m的值为－1.(2)由1×(m－2)＋m×3＝0得m＝eq\f(1,2)，故l1⊥l2时m的值为eq\f(1,2).含参数的直线一般式方程问题[探究问题]1．直线kx－y＋1－3k＝0是否过定点？若过定点，求出定点坐标．[提示]kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3,1)．2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，k，b应满意什么条件？[提示]若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，则应满意k>0且b≥0.【例3】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过其次象限，求a的取值范围．[思路探究](1)当直线恒过第一象限内的肯定点时，必定可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过其次象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.[解](1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－eq\f(3,5)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))，∴直线l的斜率为a，且过定点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，而点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式对随意的a总成立，必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－1＝0，,5y－3＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5).))即l过定点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))).以下同法一．(2)直线OA的斜率为k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3.如图所示，要使l不经过其次象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.1．本例中若直线在y轴的截距为2，求字母a的值，这时直线的一般式方程是什么？[解]把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋eq\f(3－a,5).由条件可知eq\f(3－a,5)＝2解得a＝－7，这时直线方程的一般式为：7x＋y－2＝0.2．本例中，a为何值时，已知直线与2x－y＋3＝0平行？垂直？[解]若两直线平行时，则eq\f(5a,2)＝eq\f(－5,－1)≠eq\f(－a＋3,3)解得a＝2，若两直线垂直时，则5a×2＋(－5)×(－1)＝0，解得a＝－eq\f(1,2)，故a＝2时，两直线平行；a＝－eq\f(1,2)时两直线垂直．3．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过其次象限，则a的取值范围又是什么？[解](1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过其次象限，满意要求．(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝eq\f(1,a－1)x－eq\f(a＋2,a－1)，因为直线不过其次象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)≥0，,\f(a＋2,a－1)≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1,a≤－2或a＞1))，所以a>1.综上可知a≥1.直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；(2)将方程变形，把x,y看作参数的系数，因为此式子对于随意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x,y的值，即为直线过的定点．1．直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化一般式斜截式截距式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)(B≠0)eq\f(x,－\f(C,A))＋eq\f(y,－\f(C,B))＝1(A、B、C≠0)2.两个重要结论结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)来表示．结论2：任何关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线．3．依据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0,A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0))(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.1．假如ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满意条件()A．bc＝0 B．a≠0C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0D[y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满意条件为b＝c＝0，a≠0.]2．直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为()A．eq\f(1,4)B．2C．1D．eq\f(1,2)D