第五章 二次函数 小结与思考 课件

第5章

二次函数九年级(下册)苏科版小结与思考1.复习巩固二次函数的图像和性质，熟练运用二次函数的有关性质解决问题；2.进一步感知数量变化与位置变化的关系，领会“数形结合”“无限逼近”等数学思想方法.学习目标概念二次函数一般地，形如y=ax2+bx+c(a、

b

、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.表达式图像和性质平移规律一般式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)顶点式：y＝a(x+h)2＋k(a、h、k为常数，a≠0)，顶点坐标是(-h，k)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0见下表见下表应用二次函数与一元二次方程b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；b2－4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．二次函数的实际应用用二次函数表示实际应用题中变量之间的关系．用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最值问题．知识框架二次函数y=a(x＋h)2＋k（a≠0）的性质：y＝a(x＋h)2＋ka>0a<0开口方向顶点坐标对称轴最值增减性位置(－h，k)(－h，k)直线x＝－h直线x＝－h向上向下当x=－h时，y最小值=k当x=－h时，y最大值=k当x＜－h时，y随x的增大而减小；x＞－h时，y随x的增大而增大.当x＞－h时，y随x的增大而减小；x＜－h时，y随x的增大而增大.由h和k的符号共同确定知识框架二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与a、b、c的关系：字母符号图像的特征a＞0开口__________a＜0开口__________b=0对称轴为_____轴a、b同号对称轴在y轴的____侧a、b异号对称轴在y轴的____侧c=0经过原点c＞0与y轴交于_____半轴c＜0与y轴交于_____半轴向上向下y左右正负

知识框架抛物线的平移1.将抛物线表达式化成顶点式y＝a(x+h)2＋k，顶点坐标为(－h，k)．2.保持y＝ax2的形状不变，将其顶点平移到(－h，k)处，具体平移方法如下：y=ax2y=ax2+k

y=a(x+h)2y=a(x+h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律：上加下减；

左加右减.知识框架考点一二次函数的概念

解：(1)由题意得：解得：m＝－3．(1)当m为何值时，这个函数是二次函数？(2)当m为何值时，这个函数为一次函数？

考点例析

B2.若y＝(m－2)x2＋(m－1)x是关于x的二次函数，则m的取值范围是(

)

A.m≠2

B.m≠1

C.m≠2且m≠1

D.全体实数A巩固练习

1时，它是二次函数.巩固练习考点二二次函数的图像和性质例1

如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图像的对称轴是直线x＝1.下列结论，正确的是(

)A．b2<4ac

B．ac>0C．2a－b＝0

D．a－b＋c＝0D(3，0)x＝1(-1，0)OyxA考点例析例2

二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：x-5-4-3-2-10y40-2-204

Oyx1-1-2-3-4-52123-1-2-34

D考点例析1.关于二次函数y＝－2(x＋1)2－4，下列说法正确的是(

)A.开口向下 B.对称轴为直线x＝1C.顶点坐标为(1，4) D.当x＜－1时，y随x的增大而减小A2.已知点A(3，y1)，B(4，y2)，C(－3，y3)均在抛物线y＝2x2－4x＋m上，则y1，y2，y3的大小关系是(

)A.y3＜y2＜y1 B.y2＜y1＜y3C.y3＜y1＜y2D.y1＜y2＜y3D巩固练习3.如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像的一部分．已知抛物线的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点是(－1，0)．有下列结论：①abc＞0；②4a－2b＋c＜0；③4a＋b＝0；④抛物线与x轴的另一个交点是(5，0)；⑤点(－3，y1)，(6，y2)都在抛物线上，则有y1＜y2.其中正确的是()A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤Oyx-12C巩固练习考点三用待定系数法求二次函数的表达式例1

已知抛物线的顶点坐标是(1，－4)，且经过点(0，－3)，求该抛物线相应的函数表达式．解：设抛物线相应的函数表达式为y＝a(x－1)2－4.把(0，－3)代入，得－3＝(0－1)2a－4，解得a＝1，所以该抛物线相应的函数表达式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.考点例析1.一条抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的函数表达式为()A．y＝－2(x－1)2＋3B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3D．y＝－(2x－1)2＋3B2.若抛物线经过(0，1），(－1，0），(1，0)三点，则此抛物线的函数表达式为()A．y＝x2＋1B．y＝x2－1C．y＝－x2＋1D．y＝－x2－1C巩固练习3.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为 (

)A.5 B.-3C.-13 D.-27x-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353D巩固练习4.(1)已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过(1，1)与(2，3)两点，求这个二次函数的表达式；

所以二次函数的表达式为y=x2-x+1.巩固练习(2)请更换(1)中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数表达式与(1)相同.

所以二次函数的表达式为y=x2−x+1.(设计题目不唯一)巩固练习5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.解：

抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同，

a=1或－1又

顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,

顶点为(1,5)或(1,－5)所以其表达式为:(1)y=(x－1)2+5(2)y=(x－1)2－5(3)y=－(x－1)2+5(4)y=－(x－1)2－5巩固练习考点四二次函数图像的平移例

如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)．(1)求该二次函数的表达式；(2)将该二次函数的图像向右平移几个单位长度，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标．解：(1)设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4.∵二次函数的图像过点B(3，0)，∴0＝4a－4，解得a＝1，∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4.ABxyO1-4(2)令y＝0，得(x－1)2－4＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴二次函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，∴将该二次函数的图像向右平移1个单位长度后，可使平移后所得图像经过坐标原点，平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标为(4，0)．考点例析1.将抛物线y＝－2x2＋1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为(

)A．y＝－2(x＋1)2－1B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋1D．y＝－2(x－1)2＋3D2.将抛物线y＝2x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝2(x＋3)2＋4(

)A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度A巩固练习3.二次函数y=x2-2x-5的图像是由y=x2的图像先向____平移___个单位，再向____平移____个单位得到的.右1下64．把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为(－1，0)，则b＋c的值为___．0解：∵平移后抛物线的顶点坐标为(－1，0)，∴平移后抛物线的函数表达式为y＝(x＋1)2，把它向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，可得y＝(x－1)2＋1，即平移前的抛物线的函数表达式为y＝x2－2x＋2，∴b＝－2，c＝2，∴b＋c＝0.巩固练习

巩固练习考点五二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系例

自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2－4x＞0.解：设x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，则抛物线y＝x2－4x与x轴的交点坐标为(0，0)和(4，0)．画出二次函数y＝x2－4x的大致图像(如图所示)，由图像可知：当x＜0或x＞4时，函数图像位于x轴上方，此时y＞0，即x2－4x＞0，所以一元二次不等式x2－4x＞0的解集为x＜0，或x＞4.y=x2－4x4xyO考点例析通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_____和____．(只填序号)①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．(2)一元二次不等式x2－4x＜0的解集为___________．③①0＜x＜4y=x2－4x4xyO考点例析(3)用类似的方法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0.y=x2－2x－33xyO-1-3解：(3)设x2－2x－3＝0.解得x1＝3，x2＝－1，∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为(3，0)和(－1，0)．画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图像(如图所示)．由图像可知：当x＜－1或x＞3时，函数图像位于x轴上方，此时y＞0，即x2－2x－3＞0，∴一元二次不等式x2－2x－3＞0的解集为x＜－1或x＞3.考点例析1.若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图像经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A．x1＝－3，x2＝－1B．x1＝1，x2＝3C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－3，x2＝1C巩固练习2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图像，由图像可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是_________________.5xyO2x＜－1或x＞5巩固练习3.如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为_______________.x＜1或x＞3OyxAB巩固练习4.已知二次函数y＝x2－6x＋(2m＋1)的图像与x轴有交点．(1)求m的取值范围；解：(1)∵二次函数y＝x2－6x＋(2m＋1)与x轴有交点，∴b2－4ac≥0，∴(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4.巩固练习(2)如果该二次函数的图像与x轴的交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．解：(2)∵二次函数y＝x2－6x＋(2m＋1)的图像与x轴的交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，∴x1，x2是方程x2－6x＋(2m＋1)＝0的两个根，∴x1＋x2＝6，x1·x2＝2m＋1.∵2x1x2＋x1＋x2≥20，∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3，由(1)知m≤4，∴m的取值范围是3≤m≤4.巩固练习考点六用二次函数模型解决实际问题例

某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；若每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元．设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元．解：(1)由题意，得y＝(30－20＋x)(180－10x)＝－10x2＋80x＋1800（0≤x≤5，且x为整数）．(1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；考点例析(2)当每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大销售利润？最大销售利润是多少？解：(2)∵y＝－10x2＋80x＋1800＝－10(x－4)2＋1960，∴当x＝4时，y取得最大值．即当每件商品的售价为34元时，每个月可获得最大销售利润，最大销售利润为1960元．考点例析(3)当每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？解：(3)由题意，得1920＝－10x2＋80x＋1800，即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6.∵0≤x≤5，∴x＝2.即当每件商品的售价为32元时，每个月的利润恰好为1920元．考点例析

C巩固练习2.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为______m.

巩固练习3.如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙足够长)，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场的一边长为xm，当x＝______m时，养鸡场的面积最大．30巩固练习4.某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查发现，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：每千克售价x(元)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式；

巩固练习(2)设销售该种商品每天获得的利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；解：(2)根据题意，得W＝y·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x2＋280x－8000(40≤x≤80)．巩固练习(3)试说明(2)中利润W随每千克售价x的变化情况，并指出当每千克售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少．解：(3)由(2)可知：W＝－2(x－70)2＋1800，∴当每千克售价x在满足40≤x≤70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当每千克售价x在满足70<x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减小．当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1800.故当每千克售价为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为1800元．巩固练习5.某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数表达式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件.(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数表达式；解：根据题意，得w＝(x－8)(24－x)－60＝－x2＋32x－252.(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价；答：该产品第一年的售价是16元/件.解：∵该产品第一年利润为4万元，∴4＝－x2＋32x－252，解得x＝16.巩固练习②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？解：∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，设第二年的利润是w′万元，根据题意，得w′＝(x－6)(24－x)－4＝－x2＋30x－148.∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15，又11≤x≤16，∴x＝11时，w′有最小值，最小值为(11－6)×(24－11)－4＝61(万元).答：第二年的利润最少为61万元.

巩固练习考点七