福建省厦门市同安区2022-2023学年八下期中质量检测数学试题（解析版）

福建省厦门市同安区2022-2023学年第二学期八年级期中质量检测数学注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．3．可以直接使用2B铅笔作图．一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求）1.使二次根式有意义的x的取值范围是（）A.x≠1 B.x≥0 C.x≥1 D.x＜1【答案】C【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．【详解】解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义，二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．2.以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是（）A.1，2，3 B.3，4，5 C.4，5，6 D.5，6，7【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形就是直角三角形，逐一判断即可．详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；B、，能构成直角三角形，故选项符合题意；C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，已知三边的长，只需要利用逆定理判断即可．3.下列式子中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式满足的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐项判断即可．【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、是最简二次根式，故本选项符合题意；C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式加、减、乘、除运算法则进行判断即可．【详解】A.与不是同类二次根式，无法相加，故A错误；B.，故B错误；C.，故C正确；D.，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式加、减、乘、除运算法则，是解题的关键．5.如图，在中，，，的平分线交于点，则的长是（）A.7 B.4 C. D.3【答案】D【解析】【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案．【详解】解：四边形是平行四边形，，，又平分，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般．6.如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质进行逐一判断即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴A、B、C说法正确，不符合题意，根据现有条件无法证明，∴D说法错误，故选D．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．7.下列各命题的逆命题成立的是（

）A.全等三角形的对应角相等 B.两直线平行，同位角相等C.对顶角相等 D.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等【答案】B【解析】【分析】先分别写出四个命题的逆命题，根据三角形全等的判定方法对A的逆命题进行判断；根据平行线的判定定理可对B的逆命题进行判断；根据两个角相等，这两个角可为任意相等度数的角对C的逆命题进行判断；根据一对相反数的绝对值相等对D的逆命题进行判断．【详解】解：A、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；B、“两条直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题，所以B选项正确；C、“对顶角相等”的逆命题为“若两个角相等，那么这两个角是对顶角”，此逆命题为假命题，所以C选项错误D、“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题为“如果两个数的绝对值相等，那么它们相等”，此逆命题为假命题，所以D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．8.如图，在菱形中，周长为16，，则的长等于（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质得出，，判定出是等边三角形，根据菱形的周长求出的长度，即可得解．【详解】解：在菱形中，，，∴是等边三角形，∵菱形的周长为16，∴，∴故选B．【点睛】此题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．9.如图，在中，D，E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，且．若，则的长度是（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】A【解析】【分析】先由三角形中位线定理得到，再由，求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到．【详解】解：∵D、E分别是的中点，∴是的中位线，∴，∵，∴，∴，∵，点E是的中点，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，正确求出是解题的关键．10.如图，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，，则长为（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据作图过程可得是的平分线，然后证明，再利用勾股定理即可求出的长．【详解】解：如图，连接，根据作图过程可知：是的平分线，，在和中，，，，在中，，，，，在中，，，，，解得．故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，作图基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．二、填空题（本大题共6小题，11题每空2分，其余每小题4分，共28分）11.（1）＝_____________；（2）＝___________；（3）＝____________；（4）＝___________．【答案】①.3②.③.④.##【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1），（2），（3），（4），故答案为：3，，，．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题，难度不大，注意细心运算．12.如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E是的中点．若，则的长为_______．【答案】2【解析】【分析】证明是的中位线，即可得到．【详解】解：∵在平行四边形中，对角线交于点O，∴点O是的中点，∵点E是的中点，∴是的中位线，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了平行四边的性质，三角形中位线性质定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且其长度等于第三边的一半是解题的关键．13.如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出的长度，根据弧的半径相等得到的长度，从而求出a.【详解】解：如图：由勾股定理得：，∴，，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出的长度是解题的关键．14.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________．【答案】x2＋62＝(10－x)2【解析】【分析】根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程.【详解】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2，故答案为x2+62=(10﹣x)2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键.15.如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，则点A的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】过点作轴于，过点作轴于，根据点的坐标求出、，再利用角角边证明和全等，根据全等三角形的性质可得，，然后写出点的坐标即可．【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，点坐标为，，，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，点；故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．16.如图，菱形的边长为4，，M为的中点，点N在上．若N是上动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】首先根据菱形的性质得出是等边三角形以及连接后与的交点即为点，进而利用勾股定理求出的长即可得出答案．【详解】解：菱形的边长为4，，，，是等边三角形，点关于的对称点为点，连接交于点，如图，∴此时最小，∵为的中点，，，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用菱形性质是解题关键．三、解答题（本大题有9小题，共82分）17.计算（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简，计算乘法，再合并同类二次根式即可；（2）先将括号展开，计算乘法，最后合并同类二次根式即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．18.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，再判断四边形BEDF是平行四边形，即可得结论．【详解】证明：如图连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF．【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．19.已知，，求代数式的值．【答案】【解析】【分析】先代入分别求出、的值，将代数式利用平方差公式因式分解，代入求出即可．【详解】解：∵，，∴，，∴．【点睛】本题考查了因式分解、二次根式的混合运算的应用，能否选择恰当、简便的方法计算是关键．20.如图，货船和轮船从码头A同时出发，其中，货船沿着北偏西方向以5海里/小时速度匀速航行，轮船沿着北偏东方向以12海里/小时的速度航行，1小时后，两船分别到达B，C点．求B，C两点之间的距离．【答案】13海里【解析】【分析】根据方向角的意义得到，然后利用勾股定理计算即可．【详解】解：根据题意得，在中，，，（海里）．答：、两点之间的距离为13海里．【点睛】本题考查了勾股定理的应用方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，然后通过解直角三角形解决问题．21.如图，为的对角线，点E在边上．（1）尺规作图：求作点E，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接，若，，，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）作出BD的垂直平分线，交AD于点E即可；（2）先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再利用等角的余角相等得出，然后由“等角对等边”即可证明．【小问1详解】解：如图，点E为所求：【小问2详解】∵在中，，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的做法与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、余角的性质以及等腰三角形的判定等知识，解决本题的关键是掌握垂直平分线的作法．22.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由E是AD中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；

（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【详解】（1）证明：如图，∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

∴AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝DC＝BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：连接DF，

∵AF∥BC，AF＝BD，

∴四边形ABDF平行四边形，

∴DF＝AB＝5，

∵四边形ADCF是菱形，

∴S＝AC•DF＝10．【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．23.（1）填空：（只填写符号：＞，＜，＝，≥或≤）①当，时，；②当，时，；③当，时，；④当，时，．（2）观察以上式子，猜想与（，）的数量关系，并证明；（提示：）（3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为9的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？【答案】（1），，，；（2），证明见解析；（3）12米【解析】【分析】（1）把各组、的值分别代入和中计算可判断它们的大小公式；（2）由于，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到；（3）设长方形的长宽分别为米，米，则，利用（2）中的结论得到，则，然后可确定花坛周长的最小值．【详解】解：（1）①当，时，，，；②当，时，，，；③当，时，，，；④当，时，，，．故答案为：，，，；（2），理由如下：，，；（3）设矩形的长为米，宽是米，则，，，，即花坛周长的最小值为12米．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．24.如图1，正方形中，点E，G，H分别在、、上，且，垂足为点O．（1）求证：；（2）平移图1中线段，使点G与点D重合，点H在延长线上，连接，取中点P，连接．如图2，试探究线段CP与BE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析