科学计算语言Julia及MWORKS实践 课件 27- 插值与拟合

目录1、初等数学与线性函数2、插值与拟合3、概率统计分布计算14、优化问题多项式拟合2在许多实验中，我们都经常要对一些实验数据（离散的点）进行多项式的拟合，其目的是用一个较简单的函数去逼近一个复杂的或末知的函数，即用一条曲线（多项式）尽可能地靠近离散的点，使其在某种意义下达到最优．而Syslab曲线拟合的一般方法为最小二乘法，以保证误差最小．在采用最小二乘法求曲线拟合时，实际上是求一个多项式的系数向量.其命令形式如下：fitobject=fit(fitType,x,y) 运用最小二乘法，求由给定向量x和y对应的数据点的fitType拟合模型，fitobject为所求的拟合结果。H=plotfit(fun,x,y)把fun和预测数据x、响应数据y画在一起。

多项式拟合3例：现有一组实验数据：x的取值是从1到2之间的数，间隔为0.1，y的取值为2.1，3.2，2.1，2.5，3.2，3.5，3.4，4.1，4.7，5.0，4.8.要求分别用二次、三次和七次拟合曲线来拟合这组数据，观察这三组拟合曲线哪个效果更好？解：建立jl文件如下：x=1:0.1:2y=[2.1,3.2,2.1,2.5,3.2,3.5,3.4,4.1,4.7,5.0,4.8]p2=fit("poly2",x,y)#多项式拟合，阶数是2p3=fit("poly3",x,y)p7=fit("poly7",x,y)plotfit(p2,"r-",x,y,"m*")hold("on")plotfit(p3,"g--")plotfit(p7,"b-.")xlim([1,2])ylim([2,5.5])hold("off")println("2次多项式拟合系数\n",p2.params)

#打印拟合多项式系数println("3次多项式拟合系数\n",p3.params)println("7次多项式拟合系数\n",p7.params)多项式拟合4运行得到的结果如下：2次多项式拟合系数[1.3869463869463816,-1.260839160839144,2.141025641025629]3次多项式拟合系数[-5.167055167054664,24.638694638692357,-35.21872571872237,18.200233100231507]7次多项式拟合系数[2865.3127929679335,-30694.44445812015,139660-349771.65050565667,520586.1274204989,-460331.9374781027,223861.60190864195,-46173.03758649385]各次拟合曲线比较图：多项式拟合5除此之外，还可以点击查看拟合后得到的相关信息，具体如下：域值method迭代方法iparams迭代初值params迭代结果time迭代时间converged1因xtol收敛2因gtol收敛3因ptol收敛0达到最大迭代次数，未收敛s_dataR2相关系数R方sse残差平方和dfe自由度aR2调整R方rmse均方根误差多项式拟合6除此之外，Syslab提供了丰富的拟合模型，具体如下：内置模型名称描述"poly1"线性多项式曲线"poly11"线性多项式曲面"poly2"二次多项式曲线"linearinterp"分段线性插值"cubicinterp"分段三次插值"smoothingspline"平滑样条（曲线）"lowess"局部线性回归（曲面）多项式插值7在实际中通常得到的数据是离散的，如果想得到这些点之外其他点的数据，就要根据这些已知的数据进行估算，即插值．插值的任务是根据已知点的信息构造一个近似的函数．最简单的插值法是多项式插值．插值和拟合有相同的地方，都是要寻找一条“光滑”的曲线将已知的数据点连贯起来，其不同之处是：拟合点曲线不要求一定通过数据点，而插值的曲线要求必须通过数据点。Syslab中常用的插值函数如表所示.函数名简介函数名简介interp1一维插值LagrangeInterp拉格朗日插值interp2二维插值NewtonInterp牛顿插值interp3三维插值ConstantInterpolation最邻近插值interpnn维插值LinearInterpolation线性插值griddedInterpolant网格插值CubicSplineInterpolation三次样条插值interpolate插值sinc_interpolate一维插值（FFT方法）extrapolate外插mkpp生成分段多项式多项式插值8在实际中通常得到的数据是离散的，如果想得到这些点之外其他点的数据，就要根据这些已知的数据进行估算，即插值．插值的任务是根据已知点的信息构造一个近似的函数．最简单的插值法是多项式插值．插值和拟合有相同的地方，都是要寻找一条“光滑”的曲线将已知的数据点连贯起来，其不同之处是：拟合点曲线不要求一定通过数据点，而插值的曲线要求必须通过数据点。Syslab中常用的插值函数如表所示.vq=interp1(x,v,xq,method)

使用线性插值返回一维函数在特定查询点的插入值。向量x包含样本点，v包含对应值v(x)。向量xq包含查询点的坐标。method为指定备选插值方法,默认方法为‘linear’(线性插值)。其中method的常用方法有：nearest:最近点插值，通过四舍五入取与已知数据点最近的值。linear：线性插值，用直线连接数据点，插值点的值取对应直线上的值。spline：样条插值，用三次样条曲线通过数据点，插值点的值取对应曲线上的值。cubic：立方插值，用三次曲线拟合并通过数据点。多项式插值9例：用以上4种插值方法对y=cos(x)在[0,6]上的一维插值效果进行比较。解：建立jl文件如下：x=0:6y=cos.(x)xi=0:0.25:6#在两个数据点之间插入3个点yi1=interp1(x,y,xi,"nearest")yi2=interp1(x,y,xi,"linear")yi3=interp1(x,y,xi,"spline")yi4=interp1(x,y,xi,"cubic")plot(x,y,"ro",xi,yi1,"b:.",xi,yi2,"g--",xi,yi3,"c-",xi,yi4,"m-.")legend("原始数据","最近点插值","线性插值","样条插值","立方插值")多项式插值10运行以上程序得到图形如图所示。从图可以看出，在本例中，样条插值效果最好，之后是立方插值、线性插值，效果最差的是最近点插值。多项式插值11

解：建立jl文件如下：x=-2:4/(11-1):2y=1./(2.+x.^2)x1=-2:0.1:2y1=interp1(x,y,x1,"nearest")y2=interp1(x,y,x1,"linear")y3=interp1(x,y,x1,"spline")y4=interp1(x,y,x1,"cubic")subplot(2,2,1)plot(x,y,"rp",x1,y1),title("nearest")subplot(2,2,2)plot(x,y,"rp",x1,y2),title("linear")subplot(2,2,3