2024高考一轮考点突破 08 导数构造函数13种归类（解析版）

08导数构造函数十三种归类

目录

【题型一】利用x=(x)构造型.............................................................1

【题型二】利用f(x)/x”构造型.............................................................3

【题型三】利用enxf(x)构造型.............................................................5

【题型四】利用f(x)/e型构造型............................................................7

【题型五】利用sinx与f(x)构造型.........................................................9

【题型六】利用cosx与fG)构造型........................................................13

【题型七】复杂型：/与af(x)+bg(x)等构造型.............................................16

【题型八】复杂型：(kx+b)与f(x)型.....................................................17

【题型九】复杂型：与In(kx+b)结合型....................................................20

【题型十】复杂型：基础型添加因式型.......................................................23

【题型十一】复杂型：二次构造.............................................................24

【题型十二】综合构造.....................................................................28

【题型十三】技巧计算型构造...............................................................31

【题型一】利用/f(x)构造型

【典例分析】

函数/(幻是定义在区间(0.—)上的可导函数，其导函数为尸(x),且满足4'@)+2/(幻>。，则不等式

(»2。叱0+236)〈苦活解集为

5x+2016

A."㈤—2011}B.{x|x<-2011)

C.{x|-2011<x<0}D.{x|-2016<x<-2011}

【答案】D

【详解】

设式幻=//(幻，则g3=2¥a)+x73=W(x)+2f(x)],由已知当x>0时,g'(x)>0,g(x)是增函

数，不等式"+2⑴⑴〃"+2。1⑴<5./Q)等价于J+2()16//司+2016)<5?/(5),所以0vx+2016V5,

5x+2016

解得一2016cxv-2011.

点睛：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数g(x)=d/(x),从而可以利用已知的不等式关系判

断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：g(x)=V(x),g*)=3,

X

g(x)=exf(x),g(x)=”,构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式.

【提分秘籍】

基本规律

1.对于力'(无)4/(工)〉0(<0),构造g(x)=x*f(x),

2.对于M*〈x)+V(x)>0(<0),构造g(x)=xk*f(x)

【变式演练】

i.已知定义域为/?的奇函数，(K)的导函数为r(x),当.go时，尸(”+犯>0,若

A

=»则AWJ的大小关系正确的是

A.a<b<cB.h<c<aC.a<c<bt>-c<a<b

【答案】c

【解析】

分析：构造函数g(x)=4(x),利用」知条件确定g'(x)的正负，从而得其单调性.

详解；设£。)=必“)，则&。)=，(回+切•2.・・/33>0,即矿")+"幻=葭(幻>0,・.・当天<0

XXX

时,g3<0,当x>0时,g'a)>0,g(x)递增.又〃%)是奇函数，，g(x)=MW是偶函数，Jg(-2)=g⑵,

g(lng)=g(Tn2)=g(ln2)，：0<In2v2,；・g(g)<g(ln2)<g(2),即a<cy〃.

故选C.

2.已知/(x)的定义域为(0,+?),f'(x)为/⑸的导函数，且满足/(x)v-W'(x),则不等式

的解集是()

A.(0,1)B.(2,+?)C.(1,2)D.(1,+?)

【答案】B

【分析】

根据题意，构造函数)，=叶(外，结合函数的单调性解不等式，即可求解.

【详解】

根据题意，构造函数尸MXx),.re(0,+oo),则.v'=/(x)+矿(幻<0,

所以函数y=4(x)的图象在(。，+8)上单调递减.

又因为/’(%+1)>(l一1)/'，-1),所以(％+1)/@+1)>(炉-1)/(/一1),

所以0<x+l一1,解得x>2或为<一1(舍).

所以不等式/(x+l)>(x-l)/(/-l)的解集是(2,内).

故选：B.

3.设函数/(x)在R上可导，其导函数为且2八此+才。)>0.则下列不等式在R上恒成立的是()

A.fM>0B./U)<0C./(X)>xD./(X)<X

【答案】A

【分析】

根据给定不等式构造函数g*)=f/a)，利用导数探讨ga)的性质即可判断作答.

【详解】

依题意，令函数g(x)=x2f(x),则短(x)=2xf(x)+x2f\x)=M2/(X)+矿(x)],

因2f(x)+H(x)>0,于是得x<0时g'(x)<0,x>0时g'(x)>0,

从而有g(x)在(，肛0)上单调递减，在(。，”)上单调递增，

因此得：VxeR,x2f(x)=>j>(0)=0,而/(0)>。，即人幻不恒为0,

所以/(x)20恒成立.故选：A

【题型二】利用f(x)/x”构造型

【典例分析】

函数/(“在定义域"+?)内恒满足：①②2/("<矿("<3/"),其中/(»)为/(X)的导函

数，则

1/(1)11

A丁<荷<5Bn.而<祠％c-丁荷5D-尸荷1

【答案】D

【详解】令g(x)=以xe(0,3),gM)=Xx)；2/(x),

XJC

VVxe(0,+co),2/(x)<xf'(x)<3/(x),/./(x)>0,g、x)>0,

・•・函数g(x)在xt(0,y)上单调递增，・・・g⑴vg(2),即4〃ljv/(2),嫖<；，

令人(x)="：),xe(o.+x>).//(r)

=~~~4~~~,

•XX

Vyxe(0,+co),2f(x)<xf1(x)<3/(x),/f(x)<0,

・•・函数〃(力在xw(0,y)上单调递减，・・・力(1)>〃(2),BP/(1)>Z12),g<儒，故选D.

【提分秘籍】

基本规律

g(x)在R上单调递增,可得g(l)=e,g(x)Ng⑴可得原不等式的解集.

【详解】

解：因为+所以/(x)+/'(x)+l>l,即f(x)+/'(x)>0.

令g(x)="・/(x),则g'")=e[/(x)+ra)]>0,所以函数g(x)在R上单调递增.又因为g(l)=e,不等

式/(力之3一，可变形为小/(力*，即g(x)Ng⑴，所以北1,即不等式/(力之*、的解集为[1,包).

故选：C.

【题型三】利用©nxf(x)构造型

【典例分析】

己知函数/(X)在R上可导，其导函数为若/⑺满足：当XH1时，(x-1)[/'(力+/(切>0,

22x

f(x)=e-f(2-x)t则下列判断一定正确的是

A./(l)</(O)B.^/(4)</(0)C.^(2)>/(0)D.^/(3)>/(0)

【答案】D

【分析】

构造函数g(x)=f(x)e，,结合导函数，判定g(x)的单调性，由g(2-x)=g(x),得g(x)的对称轴,对选项判断即

可.

【详解】

构造函数g(x)=f(x)ex,计算导函数得到且(司=叫/。)+/(切，由(x-l)[/'(x)+/(x)]>0,得当x>L

/'(x)+/(x)>。，当xvl时,r(x)+/(x)〈O.所以g(x)在(1,+8)单调递增，在(fj)单调递戒而

g(2-x)=f(2-x)e2-x=®-e2-x=f(x)ex=g(x),^flUg(x)^Tx=lXt^,Jfc

e'

g(3)=e3.3)=g(T)>g(0)=〃0),得到e3f(3)>f(0),故选:D.

【提分秘籍】

基本规律

1•对于/'(』)■叭x)>0(<0)，构造g(x)=ex.f(x),

2.对方'*)+旷*)>0(<0),构造g(x)=ekx.f(x)

【变式演练】

1.已知〃力是R上可导的图象不间断的偶函数，导函数为r(x),且当x>()时，满足r(工

则不等式>/(-X)的解集为()

A.*8

B.C.(Y0,。)D.(0,+oo)

【答案】R

【分析】构造函数g(x)=/f(%),根据尸(x)+R(x)>0,结合题意可知函数g(x)是偶函数,且在(0,+8)

上是增函数，由此根据结论，构造出X的不等式即可.

【详解】由题意:不等式可化为：/(x-l)>/(x)e2jt-1,

两边同乘以*“.得：e(x1'/(%-1)>exf(x)»令〃(x)=e'/(x),易知该函数为偶函数，

因为“(X)=ex'[f(x)+2M'(切，/'(工)+2#(A)>0,所以/f(x)>0,(x>0)

所以〃(x)在(0,+8)上是单调增函数，又因为〃(x)为偶函数，

故(工―解得：X</.故选：B.

2.设函数/(*)的定义域为R,是其导函数，若/(A-)+/(x)>-eVU)，/(0)=।，则不等式/。)>各

的解集是()

A.(0,+o))B.(1,-KX))C.(f，0)D.(0.1)

【答案】A

【分析】

构造函数以x)=(e'+l)/(x),通过求导判断函数g(x)的单调性，利用函数g("的单调性解不等式即可.

【详解】令g0)=(e'+l)/(x),贝iJg'")=e7Xr)+(e'+l)/'(x),

因为/a)+/(x)>—e-"'(x),所以/(x)+(l+eT)f(x)>0,化简可得廿八外+(1+1)/(幻>0,

即g'(x)>0,所以困数g(x)在R上单调递增，因为/(工)〉321•，化简得(中+1)/。)>2,

因为g(O)=2,f(O)=2,g(x)=("+1)/(x),所以g(x)>g(0),解得x>0,

2

所以不等式.7•(%)>—的解集是(。，+8).故选：A

3.已知定义在R上的函数/(x)的导函数为了'(X),若/(1)=1,m[〃x)+T(x)+l]>0,则不等式

的解集为()

A.(-oo,l]B.(F,e]C,[1,-KC)D.[^,+co)

【答案】C

【分析】

由】n[/(x)+r(x)+i]>(),可得/(力+/'(工)>0,令人力="/(力，对其求导可得/(力>。，可得函数

g(x)在H上单调递增,可得g⑴=e,g(»Ng(l)可得原不等式的解集.

【详解】

解:因为in[/(x)+r(x)+i]>。，所以/(x)+r(x)+i>i,即/a)+r")>o.

令履x)=，・/(x),则g'(x)=e[/(x)+r(x)]>0,所以函数g(x)在R上单调递增.又因为g(l)=e,不等

式可变形为夕•/(同次，即g(x)Ng⑴，所以X8，即不等式/(力之*、的解集为[1,m).

故选:C.

【题型四】用f(x)/px构造型

【典例分析】

已知函数/(X)是定义在R上的可导函数，且对于VxeR,均有/(x)>/'(x),则有

A.e2O,7(-2017)(/(0),y(2017)je2O,7(0)

B.e刈7(-2017)<f(0))(2017)<^,7/(0)

C.e20l7(-2017)>/(0),/(2017)>e2°，7(0)

D.e2O,7(-2017)>/(0),/(2017)<e20,7/(0)

【答案】D

【分析】

通过构造函数g(x)=牛，研究以外=绰函数的单调性进而判断出大小关系.

ee

exf\x^\ex\f(x)

【详解】因为/(x)>/'(x)。所以/(x)—)(x)<0,即-----尸，——<0

构造函数煎=,所以夕(行<0,即g(x)=〃2在R上为单调递减函数

ee

所以里嘉豆>华，化简得冷》(一2017)>/(0)。同理7)〈平,化简得了(2017)<**八0)

e'ee'e

所以选D

【提分秘籍】

基本规律

f(X)

1•对于/'(x)/(x)>0(<0),构造g(x)=-----，

ex

f(X)

2.对于>0(<0),构造g(x)=­r—

e

【变式演练】

L已知/("是定义在R上的偶函数，当”之()时，2f\x)-f(x)<0(其中为的导函数)，若

〃2)=e,贝!的解集为()

A.(-2,2)B.1因)C.卜利。.(别

【答案】A

【分析】

由［京利=扁,结合已知条件有偶函数;苏在［0,48)上单调减，(Y,0)上单调增，再由

得>1=湍即可求解鬼

【详解】由［r=2/*)/。),而2/'(x)-/(x)<o知：在。+8)上单调减，

而f(2)=e,即§=1,又知：^,

，在。+8)上有0Wxv2,又/(力是定义在R上的偶函数，则比京在R上为偶函数,

..而?在(TO,。)上单调增，即两^,砺7,可得—2<x<0,

综上，有-2c工<2,故选：A

2.已知函数/(x)是定义在R上的可导函数，且对于VxeR,均有则有

A.e2o,7(-2O17)(/(O),/(2O17)}e2°，7(O)

B.e20,7f(-2017)<f(0),f(2017)<e20,7f(0)

C.e刈7/(—2017)>〃0)J(2017)>/”/(())

D.e2O,7(-20l7)>/(0),/(2017)<e2O,7/(0)

【答案】D

【分析】

通过构造函数前幻二旦°,研究晨工)二旦2函数的单调性进而判断出大小关系.

ee

exf\x^\ex\fM

【详解】因为"x)>/'(x)“所以/'(工)一丁(工)<0,即一一广J—<0

(明

构造函数ga)=4。，所以短(力<0,即且。)二华在R上为单调递减函数

ee

所以华，化简得£刈7/(_2017)>〃())。同理与祖<华，化简得八2017)<*7/(0)

所以选D

3.已知定义在R上的可导函数"r）满足：/V）+/（x）＜0,则与/⑴的大小关系是

A.也”2>/⑴B.巫02</⑴c./（打一机2）

>/(1)0.不确定

【答案】A

【详解】

令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f\x)+/(A)]<0,所以函数g(x)在R上单调递减.

因为m2一〃?+1>0,所以〃?一〃/(1n)}g⑴ne,n~m'f[m-nr)>//⑴n>/⑴，选A.

-nt八

点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研窕对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助

函数常根据导数法则进行：如/'&）＜/a）构造前幻二华，八幻+/（幻＜。构造g*）=e，/*）,

e

爪©＜/U）构造g）=9’爪）+/⑶＜°构造小）=”造

【题型五】利用sinx与f（x）构造型

【典例分析】

已知定义在（（）4）上的函数，f（.x）为其导函数，且工也恒成立，则

2sinxcosx

A./A>2/AB.局中＞0吗）

2o

7F

c・后耻崎…⑴yi

【答案】C

【详解】令g(x)=%，则g'(x)=f'(x)sinx-/(x)cosx＞0,所以g（x）在（（），］）上单调递增，因此

sinxsin2x

/吟)/令/（1）/吟）广兀厂兀

6<J=＞物耻吗）,g（；）

.n.it兀兀43

sin-sin-sin—sin—

6343

聘)

1r/(7)

<-

.n

sin—sin—

62

,说)

舄=2而"6＜/⑴,所以选C.

<g⑴n—

.7T

sm

6

【提分秘籍】

基本规律

1.对于$由*・/'(%)+8$*・/(%)>0(<0),构造g(x)=f(x)«sinx,

f(x)

2.对于sinx・/'(x)-cosx・/(x)>0(<0),构造g(x)=-----

sinx

3.对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

【变式演练】

1.己知奇函数“X)的导函数为门㈤，且“X)在(0微)上恒有.fa)cos_r-/S)sinx<()成立，则下列不等

式成立的()

【答案】B

【分析】

构造函数?。)=黑，由已知可得出外力在(()仁)上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出产(%)为

偶函数，由此逐一判断选项可得答案.

【详解】构造函数尸(处=票，由””在(0，、)上恒有:(x)sinx-f(x)cosx>0,

••・小)=_W吧>0，.仆)在(。马上为增函数，

又由尸(T)=』^=S^=F(X),”(可为偶函数，./信］〈尸佰)，...d<乂工

sin(-x)-sinx64\6JI4J.4.乃

sin—sin—

64

故A错误.7偶函数F(x)在(0马上为增函数，"(x)在［宗。)上为减函数,

兀

，故B正确;

3>13”卜外后Cl

兀

_同(_讣_拉/(-司

c错误;

(分同图故D错误.

34

故选:B.

2.已知偶函数/3)是定义在上的可导函数，当xF-1,0)时，/V)cosA+/(A)sin.r>0,若

cos-«+1)/(«)f(a+l)costz,则实数〃的取值范围为()

B.[-1,--]C.D.[-i+co)

A.［-2,-1］

J乙乙

【答案】C

【分析】

构造函数尸(x)=3,可得尸")是偶函数,求导可得出尸(X)在［TO)上单调递增,在(0函上单调递减，由

COSX

COSS+1)/3)>f(a+l)cosa可得F(|a|)>F(|a+11),列出不等式即可求解.

【详解】

令/(x)=3,则当一IKKWI时，F(-x)=-^^-=^=F(x),

COSXCOS(-X)ccs.v

所以函数F(x)是定义在［-1,1］卜的偶函数.

当xc［—l,0)时，…”小巾>0,

cos'X

所以函数尸(X)在［-1，0)上单调递增，在(0,1］上单调递减.

又cos(a+l)>。，cos«>(),

可得幽之31

所以由COS(A+1)/3)之j\a+1)cos«,

cost/cos(t/+1)

]〃闫〃+1]

艮PF(a)之尸(a+1),所以「(|a|)N*a+l|),所以,解得」WaKO,

2

-l<a+l<l

所以实数，的取值范围为弓。］，故选：C.

3.设小)是定义在卜奈0卜(0,9上的奇函数，其导函数为/'(X),当代传)时，尸⑴-/㈤第<0,

则不等式/（x）＜sinx的解集为（)

【答案】B

【分析】

令卜织，易得，?"）=铝是定义在卜奈°）=（°最）上的偶函数，因为/"W-/W黑＜o,可知

”（H）在（°段）上单调递减，在（-去。）上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.

【详解】

令'（"）=密，：/（x）是定义在卜三，0）=（。，5）I:的奇函数，

••"（力=这是定义在（-9。14°3上的偶函数.

sinxI2/l

/\

当xe0,£时，sinx＞0,由，得/（x＞sinx-f（x）.cosxv0,

I2）sinx

・•・l（x）=，（[＞皿小）＜2＜0,则g）在伍小上单调宛减.

sinxk2）

将”f（x）〈苧/闺sinx化为鉴＜4^,即Mx）＜〃图，则,唠

sin

3

又力（6=这是定义在Jg,o]u[o,f]上的偶函数.

sinxI2/12/

・・・力（力在1]。）上单调递增，且力（。卜力卜。.

当[J-Ro）时，sinx＜0,将巳]sinx化为红»〉二^

3

⑺加sin£

3

即力（外＞/（彳）="（-彳），则-]＜4＜0.综上，所求不等式的解集为，£o）u（gA）・故选：B

\37\5）5\37\5L）

【题型六】利用COSX与f（X）构造型

【典例分析】

已知函数/("的定义域为|、-会句，其导函数是/'").有r*)8sx+/(x)sinx<0,则关于x的不等式

6f(x)<2/(£|cosx的解集为()

B.D.

【答案】B

【分析】

令F(X)=/H,根据题设条件，求得F(x)<0,得到函数小3=犯在［-需］内的单调递减函数，再

COSXCOSXV2

把不等式化为小“吆X)<—⑷,结合单调性和定义域，即可求解.

M喏

【详解】由题意，函数/("满足/'(x)cosx+/a)sinx<0,

令*x)=/kl,则尸⑴=在也翌但竺<0

cosxcosX

函数网上鉴是定义域(一资)内的单调递减函数，由于8Q。，关于，的不等式

、

Gf(x)<2dg]cosx可化为<启〕7TLLt、l穴7tL71Arl/tJ九

-A1Z,即尸(力〈/，所以一彳且%>大，解得—>A->—,

16/cos.v6/22626

cos—

6

不等式扃*)<2/图8sx的解集为信胃故选：B

【提分秘籍】

基本规律

1.对1cosx・/'(x)-sinx・f(x)>0(<0),构造g(x)=f(x)-cosx>

f(X)

2.对于cosx・/'(x)+sinx・/(x)>0(<0),构造g(x)=-----

cosx

3.对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

【变式演练】

1.已知偶函数/⑸的定义域为送马，其导函数为了'(X),当。时，有r(x)cosx+/(x)sinx<0成立,

则关于x的不等式/(x)<&/(?)cosx的解集为()

《冗式

J,2B.

【答案】B

【分析】由题意，设g*)=42,利用导数求得g(x)在上单调递减，且为偶函数，再把不等式

cosx12J

/(x)<V2/|^jjcosx,转化为g(x)<g(?),结合单调性，即可求解.

［详解］由题意，设g(x)=3,则g，(x)=r(x)8s.t/(x)sinx,

cosxcosX

/\

当0<x<T时，因为r(x)cosx+/(x)sinx<0,则有g'(x)<0,所以g(x)在0彳上单调递减，

又因为/(幻在上是偶函数，可得以70=与工=/也=8(幻，所以g(X)是偶函数，

V22Jcos(-x)cos%

/(兀)

由/0)<&/(g］cosx,可得卫2<&/(£),即&<」-,即以x)vg(f)

k47cosx4cosx£4

4

又由g(幻为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有1幻>£,

I2Jk22J4

解得-3<x<-g或9cx<3,即不等式的解集为故选：B-

2442124，乙)

2.已知函数/⑴的定义域为［4国，其导函数为八r).若八x)=tan.「"(.r)+.r］,且/(0)=0,则下列结论

正确的是

A../V)是增函数B./(0是减函数C./(幻有极大值D./*)有极小值

【答案】A

【分析】对r(x)=ianx・［/(x)+x］化简可得/⑴=如"⑷+而，即为

cosX

/(x)cosX-sinAf(x)=x•sinx,设函数g(x)=/(x)•cosx,研究函数y=g(幻的性质，从而得到

)，=/*)的单调性与极值，从而得到答案.

解：设函数g(x)=/(x)•cosX因为/'(x)=taw[/(x)+x]化简可得r(x)=空三[/⑴+x],

cosx

即为了'(x)cosx-sin.J(x)=x•sinx,故g'(x)=x•sinx,因为xe(-三，一巳)

所以如“…i…。恒成忆所以尸心)在、e(咤’咤)上单调递增'又因为/3=。,

所以g(o)=/(O)•COS0=0,所以当X£(_?,o)时，g(x)<0,

J

当工€(0二)时，gCr)>0,/，(x)=[©]，=gQ)・d-)sin\

2cosxcos'x

当xw(-].。)时，g(%)<0,g'(x)>0,cosx>0.sinx<0,

故f，(x)=[W]，=g®cos1如)sinX>0恒成立；

cosXCOS'X

当与e(0,X)时，g(x)>0,，(x)>0,cosx>(),sinx>().

2

故「a)=[圆2]，=g'(x)・cos-x)sinx>。恒成立；

COSXCOSX

所以y，=广⑺>o在xe(一£,一马上恒成立，

22

故？=/(幻在xw(-1-1)上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减。所以选A.

22

3.

【题型七】复杂型：e”与af(x)+bg(x)等构造型

【典例分析】

设定义在R上的函数“X)的导函数为尸(“，若〃”+1(x)v2,/(())=2021,则不等式

，/(x)>2/+2019(其中。为自然对数的底数)的解集为()

A.(0,4-co)B.(2019,4-oo)

C.(-oo,0)D.(-oo,0)J(2019,+a>)

【答案】C

【分析】根据条件构造函数g(x)=e[/(x)-2],分析g(x)的单调性并计算g(0)的值，将e"(x)>2e'+2019

转化为g(x)>2019,由此求解出不等式的解集.

【详解】设&(大)=炉[/(力—2],所以解l)=e[/(x)十人(引一2],

因为)。)+/(")<2,所以g'(x)=，[/(x)+r(M-2]<0,

所以g(x)在及上单调递减，且g(0)=lx(/(0)-2)=2019,

又因为e"(x)>2e'+2019等价于g(x)>2019,所以解集为(9,0),故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

对(<0),构置(x)=e[/(x)-k]

【变式演练】

1.函数/*)是定义在(。,+8)上的可导函数，/'")为其导函数，若矿(％)+/*)=，(％-2)且/(3)=0,则不

等式fM<0的解集为.

【答案】(。,3)

【分析】

构造函数^x)=xf(x),由题知—2)得至IJ〃'(工)在(0,+8)的最小值为0,得到尸(x)=MR在(0,+8)单

增，在(0,+8)上，/(幻<0等价于皿幻<(),利用尸")=叶。)单调性可解.

【详解】

构造函数内(劝=4(%),在(0,2)上，f(x)〈0等价于尸(上=男。)<0,・,•矿(x)+“r)=<(x-2),

.•'(x)=e*(x-2)尸a)=e*(x-2)>0得％>2,产(幻在(2,e)上单增,在(0,2)上单减，

在(0,2]上，尸(幻<尸(0)=0恒成立，又/(3)=0,则产(3)=0

又在(2,+oo)上,/(劝<0等价于尸@)=皿%)<0,即尸(。<网3),则2Vx<3

■.不等式/*)<。的解集为(。，3)放答案为：(0,3)

2.函数“V)是定义在(0,+8)上的可导函数，/'(幻为其导函数，若矿*)+/*)=且/(2)=0,则

〃上)>0的解集为()

A.50,?B.(0,2)C.(L2)D.(1,4)

【答案】B

【分析】设g(x)=#(x)+(x-2)F,则g，(*)=0,g(2)=0,故g(x)=0,即/⑺=。t)J解不等式

得到答案.

【详解】设屋力=4(力+(X一2)/,则夕(力=/(力+4'("—(1一幻"=0，

/(2)=0,故g(2)=0,故g(x)=0,即〃力=(2-；“二

即(2T).>0,八工(0,母)，故O〈x<2.故选：B.

x

3.设定义在R上的函数/")的导函数为/。)，若〃x)+r(x)>2,/(0)=2020,则不等式

e'/(x)>2Z+2018(其中。为自然对数的底数)的解集为

A.（0,+x-）B.（2018,-KO）

C.（2020,”）D.（^o,0）（2018,-w）

【答案】A

【分析】

构造函数g(x)=e"(x)-2e)则可判断g")>0,故g(x)是R上的增函数,结合g(0)=2018即可得出答

案.

解:设履x)=e"(x)—2e",则8。)=打(力+"(力-3=叩(力+尸(同-2],

・・・〃力+7(力>2,->0,・・.g")=e[/a)+/O)—2]>0.・・・g(x)是R上的增函数,

又g(O)=/(O)-2=2O18,，g(jr)>2018的解集为(0,y),

即不等式e"(">2/+2018的解集为(0,+功.故选A.

【题型八】复杂型：(kx+b)与f(x)型

【典例分析】

已知函数/(x)的定义域为R,其图象关于点(-M))中心对称，其导函数/彳工)，当xv-I时，

(x+l)[/(x)+(x+1)r(x)]<0,则不等式^(工一1)>〃0)的解集为

A.(1,+?)B.Si)C.(-U)1).(TO,-

【答案】C

【详解】由题意设g(x)=(x+1)/(6,则g'(x)=/(x)+(x+l)/'(x),・,♦当xv-1时,

(x+l)[/(x)+(x+l)/O)]v(),当xv—l时，/(x)+(x+l)/'(x)>0,则g(x)在(F,-l)上涕增，.函数

/(A-)的定义域为R,其图象关于点(-1,0)中心对称，.•・函数/(X-1)的图象关于点(0.0)中心对称，则函数

/6-1)是奇函数,令人(力=8(1-1)=二(%-),，〃(力是区上的偶函数,且在(・？，0)递增,由偶函数的性

质得；函数《V)在(0，+?)上递减，如)=/(()),.••不等式犷(1一1)47(0)化为:/<v)>/2(1),即凶V1,

解得-.••不等式解集是故选C.

【提分秘籍】

基本规律

授课时，可以让学生写出尸kx+b与尸f(x)的加、减、乘、除各种

【变式演练】

1.设函数/(力在R上存在导函数7''("，对任意实数L都有〃工)=/(-x)+2x,当x<0时，rq)<2x+l,

若f(2-〃)</(-〃)-4a+6,则实数”的最小值是()

A.1B.—1C.gD.-g

【答案】A

【分析】

构造函数g(x)=〃x)—x,根据等式〃x)=/(-x)+2x可得出函数y=g(x)为偶函数，利用导数得知函

数)，=且。)在(-8，。)上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在(()，+8)上单调递增，由

42—〃)《/(—a)-4a+2,得出g(2-a)Kg(-〃)，利用函数)，=g(x)的单调性和偶函数的性质解出该不等

式即可.

【详解】

构造函数g(x)=/(x)-f-x,对任意实数x,都有/(x)=/(r)+2x,

则月("=/(力47=/(-力-/+2-=/(-力+(-f-(-”=晨一)，

所以，函数y=g(x)为偶函数，•,g(x)=g(W).

当H<0时，g'(x)=r(x)—2x—1<0,则函数尸g(x)在(F。上单调递减，

由偶函数的性质得出函数y=g("在(0,+8)上单调递增，

J'(2-a)<f^-a)-4a+6,BPf(2-a)-(2-a)2-(2-a)<f(-a)-(-a)2-，

即g(2—a)«g(-a),则有g(|2-4)«月(同),

由于函数)，=8(力在(0,+e)上单调递增，.小一4区同，即(2—a)Z/,解得〃之1,

因此，实数，的最小值为1，故选A.

2.已知定义域为R的函数仆)满足J'(x)-4x>0,其中/'(x)为〃力的导函数，则当闫0,2句

时，不等式/(cosx)-8s2x20的解集为()

【答案】D

【分析】

构造函数双力=/("-2/,由已知/(力>。，所以g(“在R上单调递增，利用二倍角余弦公式化简变形

(1\

/(cosx)-cos2x>0,/(cos.r)-2cos2x>-\,即g(cosx),利用单调性即可求解.

解：令g(x)=/(x)—2%2,因为r(x)-4x>。，所以<(x)=r(x)-4x>0,所以g(x)在R上单调递增,

因为