天津市南开中学2024−2025学年高二上学期阶段性质量监测（一）（11月）数学试题含答案

天津市南开中学2024−2025学年高二上学期阶段性质量监测（一）（11月）数学试题一、单选题（本大题共9小题）1．图中的直线的斜率分别为，则有（

）A． B．C． D．2．已知点，，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．过点与且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．C． D．5．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（

A．（） B．（）C．（） D．（）6．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．7．已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．8．已知点P在圆上，点则下列叙述错误的是（）A．当最小时 B．当最大时，C．点P到直线AB的距离小于7 D．点P到直线AB的距离大于19．已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共6小题）10．已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为．11．已知直线与平行，且l2过点，则l1与l2间的距离为.12．若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是.13．已知圆和圆相交于A，B两点，若AB弦长为则.14．如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为.15．已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是.三、解答题（本大题共3小题）16．已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点．

(1)求证：；(2)求证：为定值，并求出该定值；17．已知椭圆(a＞b＞0)，点P在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足AQ＝AO，求直线OQ的斜率的值．18．已知椭圆短轴长为2，左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，直线与直线MO交于点直线与直线NO交于点

(1)若的坐标为求椭圆C的方程；(2)在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；(3)若，求实数a的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】由图象可得，，故选：C2．【答案】C【详解】由题设，结合斜率和倾斜角的关系，可得直线的倾斜角为.故选：C.3．【答案】B【详解】若方程表示圆，则，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.4．【答案】B【解析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程.【详解】因为过点与，所以线段AB的中点坐标为，，所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆心为，所以圆的方程为.故选：B5．【答案】A【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选：A6．【答案】C【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.故选：C.7．【答案】D【详解】直线，即，令，可得直线经过定点，又，．直线与线段相交，由图可得，则直线的斜率取值范围是．故选：D．8．【答案】C【详解】由，，所以都在圆外，且,圆心为，半径为3，如图所示，若与圆分别相切于，显然直线，且时最小，结合图知，此时，A对；根据切线关于对称，时最大，此时也成立，B对；由题意，，则到直线AB的距离，所以点P到直线AB的距离的范围为，而，则C错，D对.

故选：C9．【答案】A【详解】由题意，和均关于原点对称，令，则，若，则，所以椭圆离心率.故选：A10．【答案】【分析】根据双曲线过点求出a，然后可得.【详解】因为双曲线经过点，所以，解得，又，所以渐近线方程为.故答案为：.11．【答案】【详解】显然，当时，两直线不平行，由，解得，则直线，代入点，则，解得，所以直线，所以当直线，即与直线平行时，此时直线与间的距离为．故答案为：．12．【答案】【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为，则,，，，，，过点的直线与直线的交点位于第一象限，直线斜率的取值范围是．故答案为：．13．【答案】1【详解】将已知两圆作差，得公共弦方程，由的圆心，半径为，所以到的距离，又，所以，可得.故答案为：114．【答案】【详解】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为，由于圆的半径为，则，且为的中位线，可得，又，所以，即有，在直角三角形中，因为，所以，则，可得，所以，由双曲线的定义可得，即，所以，由，则，所以双曲线C的离心率为.故答案为：．15．【答案】【详解】由椭圆的方程可知，，可得，易知圆的圆心，半径为1，

因为，所以，可知恰为椭圆的右焦点，所以，所以．故答案为：．16．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析，定值为1【详解】（1）联立与消y得：，由直线与椭圆有一个公共点可知：，化简得：；（2）由题意得：，因为，所以∥，故，其中，，所以，为定值，该定值为1.17．【答案】（1）（2）k＝±.【详解】解:(1)∵点P（a,a）在椭圆上,∴+=1整理得=.∴e======.(2)由题意可知,点A坐标为(-a,0),|AO|=a.设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q坐标为(x0,y0).则消去y0,整理得=①由|AQ|=|AO|得(x0+a)2+k2=a2.整理得(1+k22ax0=0.由于x0≠0,得x0=-.②把②代入①得=,整理得(1+k2)2=4k2·+4.由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,解得k2=5.∴直线OQ的斜率k=±.18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）依题意，，故椭圆;易知点为的重心，则，故，代入椭圆方程得所以椭圆的方程为;（2）由题可得，进而可得，.

设中点，由弦长公式，，，同理，代入可得，①当AB斜率存在时两式作差可得，，∴弦AD的中垂线方程为，当时，，即AD的中垂线的纵截距.在椭圆内，，得，且.②当AB斜率不存在时，此时.综上所述，即弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为.（3）解法一:易知点分别为的重心，