四川省成都市嘉祥教育集团2024−2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案

四川省成都市嘉祥教育集团2024−2025学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设，向量，，且，则等于（

）A．2 B．4 C． D．262．圆与圆公切线条数为（

）A．4 B．3 C．2 D．13．在一次歌唱比赛中，有5位评委给某选手打分（分数不全相同）．与原始分数相比，去掉一个最高分和一个最低分之后，一定发生改变的是（

）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差4．如图所示，在正四面体ABCD中，AC与BD所成的角为（

）A．30 B．45C．60 D．905．若直线l沿x轴向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为（

）A． B． C．-2 D．26．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．过点的直线与圆相交所形成的弦中，有9条弦的长度为整数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的有（

）A．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行B．若直线的方向向量与平面的法向量夹角为，则直线与平面所成角为C．若平面的法向量与平面的法向量垂直，则平面与平面垂直D．若平面的法向量与平面的法向量夹角为，则平面与平面的夹角为10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（

）A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件11．已知曲线，则（

）A．曲线M是轴对称图形B．若点为曲线M上的点，则的最大值为C．若圆C在曲线M的内部（含边界），则圆C面积的最大值为D．曲线M围成的图形的面积为三、填空题（本大题共3小题）12．若直线与直线平行，则与的距离为.13．在正方体的12条面对角线和4条体对角线中任取两条，共有120种组合．其中两条直线互相垂直的组合有组．14．在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆C：，点．点P在圆C上运动，B为线段AP的中点．(1)求点B的轨迹方程E，并说明其轨迹；(2)若过点的直线l被曲线E（点E为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线l的方程．16．某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）；(2)现采用分层抽样的方式从[50,60）和[70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率．17．已知空间四点．(1)求以OA，OB为邻边的平行四边形的面积；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．18．如图，在四面体中，平面，，是的中点，是的中点，点为线段上一点且满足，点为平面内一点．(1)求证：；(2)若．①求直线与平面所成角的正切值；②求直线与平面所成角的正弦值的最大值．19．彭塞列定理是解析几何中与曲线的切线有关的著名定理．当曲线是圆时，有如下结论：C1和C2是两个圆（C2内含于C1），过C1上一点P0作C2的切线，交C1于另一点P1，再过P1作C2的另一条切线，交C1于另一点P2；如此反复，得到C1上的一系列点Pi（i=0，1，2，…）．如果有自然数n≥3，使得Pn=P0，则对于C1上任一点Q0，按上述方式得到Q1，Q2，…，Qn，也有Qn=Q0．下面分别是n=3和n=4的图示．已知圆C1：x2+y2=4，C2：．解答下列问题：(1)在C1上取点作圆C2的两条切线，与C1分别交于A，B两点．判断直线AB与圆C2的位置关系并证明；(2)取C1上的点Q（x0，y0）作圆C2的两条切线，且两切线互相垂直．（i）求出满足条件的点Q的坐标；（ii）若两切线与圆C1分别交于点M，N，猜想直线MN与圆C2的位置关系，并运用彭塞列定理进行说明．

参考答案1．【答案】C【详解】由，可得：，即，所以，所以，故选：C2．【答案】B【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，，所以两圆外切，公切线有条.故选：B3．【答案】D【详解】对于A，若分数为时，则平均数为，去掉，则平均数为，故A错误；对于B，若分数为时，则众数为，去掉，则众数为，故B错误；对于C，若分数为时，则中位数为，去掉，则中位数为，故C错误；对于D，方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故D正确.故选：D.4．【答案】D【详解】设是的中点，连接，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以AC与BD所成的角为90.故选：D5．【答案】A【详解】设直线l上的点，由直线l沿沿x轴向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得点的对应点，因为直线被平移后又回到原来的位置，所以也在直线上，因此直线l的斜率.故选：A6．【答案】D【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．【详解】选项A；由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56％，故A正确；选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a，而90后总人数的20％为56％×20％a，故B正确；选项C：设整个互联网行业总人数为a，互联网行业中从事运营岗位的90后人数为56％a×17％=9.52％a，超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确；选项D：设整个互联网行业总人数为a，互联网行业中从事技术岗位的90后人数为56%a×39.6%=22.176%a，小于80后的人数38％a，但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故D错误．故选D．7．【答案】C【详解】由题意知：平面平面，，平面平面，平面，平面，又，则以为原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，则A1,0,0，，，，，，设，则，，，，，，则当或时，取得最大值.故选：C.8．【答案】A【详解】圆得：直径等于6，所以过点最长弦为6且仅有唯一一条；则由对称性可知长度为的弦各有两条，所以最短弦的范围为．当直线时，弦长最短（记点坐标为），且弦长为：.又因为，即，得：，解得a的取值范围为.故选：A．9．【答案】BC【详解】若直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线与平面平行或者在平面内，故A错误；若直线的方向向量与平面的法向量夹角为，则两向量所在直线夹角为，则直线与平面的夹角为，故B正确；若平面的法向量与平面的法向量垂直，则平面与平面垂直，选项C显然正确；若平面的法向量和平面的法向量夹角为，则平面和平面夹角为，故D错误.故选：BC.10．【答案】ACD【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，，故A正确.，，故B错误.而，故C正确.两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：ACD.11．【答案】AB【详解】对于A，任意取曲线上的一点，即其关于轴的对称点，则，显然方程成立，所以曲线关于轴对称，故A正确；对于B，当时，曲线方程为，则其圆心，半径为，与x轴正半轴交点，与y轴正半轴交点．，当共线时，等号成立，故B正确；对于C，由题意作图如下：当点与点重合时，以为半径的圆为符合题意的最大面积，此时面积为，故C错误；对于D，由题意作图如下：曲线所围成的图形在第一象限分为、与扇形，易知，扇形的面积小于圆的一半，由曲线，则曲线关于轴成轴对称，曲线围成的图形的面积小于，故D错误.故选：AB.12．【答案】【详解】，，解得：，，即，之间的距离.故答案为：.13．【答案】36【详解】如图，在正方体中，先研究面对角线，由正方体性质得，且面，面，，所以面，而面，面，面，所以，，，，所以与一条面对角线垂直的体对角线有2条，共有条，与一条面对角线垂直的面对角线有2条，共有条，而体对角线相互不垂直，所以两条直线互相垂直的组合有.故答案为：3614．【答案】【详解】（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁：①乙胜丙，且乙平或负丁，概率为；②乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为．因此，（1）概率为．（2）甲胜乙丁，平或负丙，同（1），概率为．（3）甲胜丙丁：①甲平乙，乙胜丙，且乙平或负丁，此时概率为；②甲平乙，乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为；③甲负乙，乙平或负丙、丁，此时概率为，因此，（3）概率为．综上：甲胜两场且乙胜一场的概率为．故答案为：15．【答案】(1)，轨迹为以为圆心，半径为的圆；(2)或.【详解】（1）圆C：的圆心，半径，取线段的中点，连接，则，，因此点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，轨迹方程为.（2）由（1）知，点到直线的距离，点到直线的距离为2，因此直线的方程可以为；当直线的斜率存在时，设其方程为，即，于是，解得，此时直线的方程为，所以直线的方程为或.16．【答案】(1)，平均数为72分，中位数为分(2)【详解】（1），解得，平均数为，中位数为分；（2）在[50，60）中抽取人，记为；在[70，80）中抽取人，记为.所有的取法为：共15种.，满足条件的有共8种.所求概率为.17．【答案】(1)(2)【详解】（1），，,.，得到.平行四边形面积.（2）先求平面的法向量，设，因为且，则，令，解得，，所以.再求平面的法向量，，，设，因为且，则，令，解得，，所以.，，，设与的夹角为，则.平面与平面夹角的余弦值为.18．【答案】(1)证明见解析(2)①；②【详解】（1）取的中点为，连接．在中，点分别为中点，所以．又因为不在平面内，平面，所以平面在中，，所以．又因为不在平面内，平面，所以平面因为为平面内两条相交直线，所以平面∥平面因为平面，所以平面，在平面，所以（2）①因为平面，所以直线与平面所成角为,在直角三角形中，，可得，②以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．则，设点．因为，所以有．所以，设平面法向量为m=x于是即令，则则，设直线与平面所成的角为，则有当时，则；当时，则，当，取得最大值为．综上，直线与平面所成角的正弦值的最大值为19．【答案】(1)直线AB与圆相切，证明见解析(2)（i）点Q坐标为（）；（ii）直线MN与圆C1相切，证明见解析【详解】（1）直线AB与圆C2相切，证明如下：易知PA斜率存在，设为k，则直线PA的方程为．因为直线PA与圆C2相切，所以有圆心C2到直线PA距离，即，解得，不妨取（负值为切线PB的斜率），联立，消去y可得一个解2为点P的横坐标，另一个解为点A的横坐标，则点A坐标为，易知点B与点A关于x轴对称，则点B的坐标为，则直线AB的方程为，C2到直线AB的距离为，所以直线AB与圆相切；（2）（i）显然两条