2024年高考数学解答题专项训练六（100题）附答案解析

备战2024年高考数学解答题专项训练(100题)附答案解析

1.已知/(%)=ax-Inx.

(1)求函数r(x)的单调区间；

(2)若对任意工€[1,+8),都有%./-(%)>a,求实数a的取值范围.

2.已知函数/(%)为反比例函数，曲线g(x)=/(x)cosx4-b在x=*处的切线方程为y=-+

2.

(1)求g(x)的解析式；

(2)判断函数F(x)=g(%)+1一/在区间(0,2TT]内的零点的个数，并证明.

3.半圆O:x2+y2=l(y>0)的直径的两端点为力(一1,0),8(1,0)，点P在半圆。及直径AB上

运动，若将点尸的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程；

(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”.

4.己知函数/(x)=e*T+alr.x-1,aER.

(1)若x=l是r。)的极值点，求a的值及/(X)的单调区间；

(2)若对任意工€[1,+8),不等式/(X)>0成立，求a的取值范围.

5.已知函数/(x)=V3sinxcosx4-sin2x-.

(I)求/(%)的最小正周期和单调递增区间；

(2)在△48C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,M为8c边上一点，BM=3MC,

若/(力)=1,b=2,c=3,求AM.

6.已知函数/(%)=e"(x-2),g{x)=x-\nx.

(1)求函数y=/(%)+gQ)的最小值；

(2)设函数/i(x)=/(%)-ag(x)(aH0),讨论函数h(x)的零点个数.

7.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：

方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；

方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若

超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元.

(英数)

(I)设日收费为y元，每天软件服务的次数为x,试写出两种方案中y与％的函数关系

式；

(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计

数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说

明理由.

8.已知函数/(x)=|x-1|+|x+2|.

(1)求不等式/(%)<5的解集；

(2)若不等式/(r)>X2—ax+1的解集包含[-1,1],求实数a的取值范围.

9.己知函数/(x)=皿+x(aWR).

(1)若函数/(X)的图象在x=e2处的切线与y=x平行，求实数Q的值；

2

(2)设0<QW1，9(幻=#(%)-2x+(2a-l)x.求证：g(x)至多有一个零点.

10.已知/(%)=\x\+|x-2|.

(1)求/(x)的最小值；

(2)求不等式/(X)>1^1的解集.

11.某蔬菜批发商经销某种新鲜蔬菜(以下简称A蔬菜)，购入价为200元/袋，并以300元/袋的价

格售出，若前8小时内所购进的4蔬菜没有售完，则批发商将没售完的A蔬菜以150元/袋的价格

低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A蔬菜低价处理完，且当天不再购进).该蔬菜批发

商根据往年的销量，统计了100天4蔬菜在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形

图.

(1)若某天该蔬菜批发商共购入6袋4蔬菜，有4袋，1蔬菜在前8小时内分别被4名顾客购

买，剩下2袋在8小时后被另2名顾客购买.现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则至少选

'I'1人是以15()元/袋的价格购买的概率是多少？

(2)以上述样本数据作为决策的依据.

(i)若今年A蔬菜上市的100天内，该蔬菜批发商坚持每天购进6袋A蔬菜，试估计该蔬菜

批发商经销A蔬菜的总盈利值：

(ii)若明年该蔬菜批发商每天购进4蔬菜的袋数相同，试帮其设计明年的A蔬菜的进货方

案，使其所获取的平均利润最大.

12.已知函数/(x)=e2x-a,g(x)=ex-b,且/(%)与g(%)的图象有一个斜率为1的公切

线(e为自然对数的底数).

(I)求b-a；

(2)设函数h(x)=/(x)-g{x)+,讨论函数/i(x)的零点个数.

13.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和近重急性呼

吸综合征(SARS)等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未

在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气

促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.

某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有〃(/EN*)份血液样本，有以下两

种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验〃次.

方式二：混合检验，将其中k(k€N”且k22)份血液样本分别取样混合在一起检验.

若检验结果为阴性，这人份的血液全为阴性，因而这女份血液样本只要检验一次就够了，如果检

验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这&份血

液的检验次数总共为k+1.

假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是

阳性结果的概率为〃(0<p<l).现取其中％(kWN*且kN2)份血液样本，记采用逐份检

验方式，样本需要检验的总次数为。，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为芍.

(1)若="(七)，试求〃关于々的函数关系式p=f(k)；

(2)若〃与干扰素计量孙相关，其中勺，外，…，4(n>2)是不同的正实数，

1v2_2

满足q=1且力i£N*(九二2)都有•之2=津r§Y成立.

(力求证：数列{》"等比数列；

(")当P=1-泰时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检

验的总次数的期望值更少，求a的最大值

14.已知函数/(x)=Inx-a(x—1).

(I)若函数/(r)的图象与x轴相切,求实数〃的值：

(2)讨论函数/(X)的零点个数.

15.已知函数/(%)=2x,g(x)=丁+2ax.

(1)当a=-1时，求函数y=f(g(x))(-24％43)的值域.

(2)设函数九，若ab>0,且h(x)的最小值为*,求实数Q的取值

范围.

22

16.已知函数/(x)=3+log2Af,x6[1,16],若函数^(x)=[/(x)]+2/(x).

(1)求函数g(x)的定义域；

(2)求函数9。)的最值.

17.已知函数g(<x)=ex-(a-l)^2-bx-l(a,bER),其中e为自然对数的底数.

(1)若函数/(x)=g'(x)在区间[0,1]上是单调函数，试求Q的取值范围；

(2)若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点，且g(l)=0,求a的取值范围.

18.已知集合A={x\y=1)，集合8={x|—14x+Q{2}.

(1)求集合A；

(2)若,求实数a的取值范围.

2

19.已知函数f(x)=a兴+inx(QWR)的导函数为rw.

乙

(1)若曲线y=/(%)在％=1处的切线与直线x+3y4-1=0垂直，求Q的值；

⑵若八X)的两个零点从小到大依次为X1,x2，证明：t\x2)>.

20.设椭圆常+4=l(Q>b>0)的右焦点为%,离心率为孝，过点尸】且与x轴垂直

的直线被椭圆截得的线段长为V2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若y2=4x上存在两点M,N，椭圆C上存在两个P.Q点满足：M,N,&三点共线，

P,Q,Fi三点共线，且PQ1MN,求四边形PMQN的面积的最小值.

21.已知函数fQ)=苧.

(I)若f(x)>a只有1个正整数解，求a的取值范围；

2x

(2)①求证：方程/(x)=-2xe有唯一实根x0,且2xo+lnx()=0；

②求g(x)=/(%)+^^一a?”的最大值.

22.已知函数/(x)=|%-2|+\2x+m\,(mER).

(1)若m=4时，解不等式f(x)<6；

(2)若关于x的不等式/(X)<|2x-5|在xG[0,2]上有解，求实数m的取值范围.

23.已知函数/(X)=21nx-.

(I)当m=1时，试判断/(x)零点的个数；

(II)若x>1时，/(%)W0,求m的取值范围.

24.已知困数

(I)若函数y=/(x)在x=x0(\n2<x0<ln3)处取得极值1,证明：2-焉VQ<3-焉

(2)若/(乃《第一去恒成立，求实数a的取值范围.

25.已知函数/(X)=/nx4-i+1.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)当函数tg(x)=(%+l)lnx-a(x-1)有两个极值点时，求实数a的取值范围.

26.已知函数/(%)=Inx-.

人IJL

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)若函数f(%)=mx-Q(昌)有三个零点，求实数a的取值范围.

人"lA

27.已知函数/(x)=—czlnx+x+42a.

(1)当a二4时，求函数/(%)的单调区间；

x2

(2)设g(x)=e+mx—6,当Q=，+2时，对任意X\6[2,+oo),存在x2W

2

[1,+°°)，使得/(%1)+2e>g(x2)，求实数m的取值范围.

28.设函数/(%)=In(l+ax)+bx,g(x)=f(x)-bx2.

(1)若Q=1,b=-l,求函数r(x)的单调区间；

(2)若曲线y=g(x)在点(l,ln3)处的切线与直线llx-3y=0平行.

①求a,b的值；

②求实数k(k<3)的取值范围，使得g(x)>k(x2-x)对xE(0,+a))恒成立.

29.中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行.组委会为方便

游客游园，特推出“导引员''服务."导引员”的日工资方案如下：

4方案：由三部分组成

(表一)

底薪150元

工作时间6元/小时

行走路程11元/公里

B方案：由两部分组成：(1)根据工作时间20元/小时计费；(2)行走路程不超过4公里时，按

10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费.已知"导引员''每天上班8小时，由于

各种因素，"导引员''每天行走的路程是一个随机变量.试运行期间，组委会对某天100名“导引员'’的

行走路程述行了统计，为了计算方便对口行走路程进行取整处理.例如行走L8公里按1公里计算，

行走5.7公里按5公里计算.如表所示：

(表二)

行走路程

(0,4](4,8](8,12](12,16](16,20]

(公里)

人数510154525

(I)分别写出两种方案的日工资y(单位：元)与日行走路程x(单位：公里)(xWN)的

函数关系

(II)①现按照分层抽样的方工式从(4,8],(8,12]共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人

中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自(4,8]的概率；

②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张

选择使用哪种方案会使他的日工资更高？

30.已知函数/(x)=x\nx+az+2?在点(1,/(1))处的切线为3%—y—2=0.

(I)求函数f(x)的解析式；

(2)若k£Z,且存在x>0,使得左>”由成立，求k的最小值.

x

31.已知函数/(x)=|x-2|-x-1,函数g(x)=-\x-3|-x+m-l.

(1)当/(x)>0时，求实数x的取值范围；

(2)当y=g(x)与y=/(x)的图象有公共点，求实数m的取值范围.

32.若函数f(x)=ex-ae~x-mx(mGR)为奇函数，且x=&时f(x)有极小值/.

(1)求实数a的值；

(2)求实数m的取值范围；

(3)若f(x0)>--恒成立，求实数m的取值范围.

33.已知函数PO1.

(I)求函数f«)的单调区间：

(2)若/(%)40在xW(0,4-00)上恒成立，求实数m的取值范围；

(3)在(2)的条件下(提示：可以用第(2)问的结论)，任意的0<a<b,证明：<1_

b-aa

1.

34.如图，在AABC中，AB=x,BC=1,0是4c的中点，/B0C=45。，记点C至IJ

AB的距离为h(x).

⑴求h(x)的表达式；

(2)写出x的取值范围，并求/i(x)的最大值.

35.已知函数f(x)=a(|sinx+|cosx|)-sin2x-1,a£R.

(i)写出函数f(x)的最小正周期(不必写出过程)；

(2)求函数f(x)的最大值；

(3)当a=l时，若函数fix)在区间(()，k7i)(k£N*)上恰有2015个零点，求k的值.

36.已知函数/(%)=2cos5(V^cos5—sin*)•

(1)设。£[0,兀],且f(⑨=百+1,求0的值；

(2)在aABC中，AB=1,f(C)=V5+1,且4ABC的面积为卓，求sinA+sinB的值.

37.已知入，|4为常数，且为正整数，*1,无穷数列｛即｝的各项均为正整数，其前n项和为Sn,对

任意的正整数n,Sn=Xan-g.记数列｛an｝中任意两不同项的和构成的集合为A.

(I)证明：无穷数列｛a“为等比数列，并求兀的值；

(2)若2015GA,求N的值；

(3)对任意的nWN*,记集合Bn=｛x|3p・2n1VxV3R・2n,x£A｝中元素的个数为bn,求数列｛bn｝

的通项公式.

38.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为£=。叮，其中v为行进时相对于水的速度，

T为行进时的时间(单位：h),c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h,该生物探测器

在水中逆流行进200km.

(1)求T关于v的函数关系式；

(2)①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；

②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少.

39・数列｛/J中，Q】=l,，且驾•

11

")令/(n)=^；-(n-l)a/n6N^n-2)，将/⑺用几表示，并求｛即｝通项公式；

⑵令7〃=城+厩+…+成，求证：Tn<g.

40.已知函数/(x)=2%-i-31nx.

(I)求函数y=/(x)在x=1处的切线方程；

(2)若y=/(%)在%%,%2(/工工2)处导数相等，证明：/Qi)+/(应)231n2.

(3)若对于任意kE(-co,2),直线y=kx+b与函数y=/(%)图象都有唯一公共点，求实

数b的取值范围.

41.已知函数f(x)=2V3sin2^+2sinxcosx—V3»(xER).

(1)求f/)的值；

(2)求f(x)的单调递减区间及f(x)图象的对称轴方程.

42.已知函数/(x)=(x+l)lnx—ax,a是实数.

(I)当Q<2时，求证：/(%)在定义域内是增函数:

(2)讨论函数f(x)的零点个数.

43.设函数g(x)=Inx4-aex.h(x)=axex,0<a<-,

e

(1)求g(x)在x=l处的切线的一般式方程；

(2)请判断g(x)与/i(x)的图像有几个交点？

(3)设x0为函数g(x)-/i(x)的极值点，/为g(x')与h(x)的图像一个交点的横坐标，

且>项)，证明：3%0-x1>2.

44.设函数/(x)=ex-mx+n,曲线y=/(x)在点(ln2,/(ln2))处的切线方程为x-y-

21n2=0.

(I)求m,n的值；

(II)当x>0时，若k为整数，且无+1>(k-x)[/(x)+x+1],求k的最大值.

45.已知函数/(x)=\2x-2a\(aWR),对VxWR,f(x)满足/(x)=/(2-x).

(I)求。的值：

(II)若mx€R,使不等式i/(x)-/(x+2)>7n2+7n,求实数m的取值范围.

46.已知函数/(x)=\x-a\-2.

(I)若Q=1,解不等式f(x)+|2x-3|>0；

(2)关于x的不等式/-(xi>|x-3|有解，求实数Q的取值范围.

47.已知函数/(%)=ex+x2-x,g(x)=x2+ax+b,a,beR.

(I)当Q=1时，求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间；

(II)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线I与曲线y=g(x)切于点(l,c),求a,b,c的

值；

(HI)若/(%)2g(x)恒成立，求a+b的最大值.

48.已知函数/(X)的定义域为R且满足/(-x)+/(X)=%2,当xZO时，f(x)<x.

(1)判断/(%)在(-co,0]上的单调性并加以证明；

(2)若方程f(x)=x有实数根孙，则称%0为函数f。)的一个不动点，设正数x0为函数

=xex4-a(l-ex)+x+1的一个不动点，且/(&)之/(I一%)+x。，求Q的取值范

围.

49.已知函数/(x)=axe2~x-2(%-I)2,aER.

(1)当Q=—4时，讨论函数/(%)的单调性；

(2)当0<QV1时，求证：函数/(%)有两个不相等的零点Xi,不，且勺+力>2.

SO.函数f(x)=|x+a|4-|x—2|.

(I)当Q=1时，求不等式/(x)<5的解集；

(2)若f(x)34,求Q的取值范围.

51.已知函数/Q)=竽.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)证明对一切xG(0,4-00),都有mxv之一与成立.

ee入

52.已知函数/(X)满足：/(X)=//(x)ex-1-/(0)x+1x2.

(I)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)=/(乃一,且当x>0时，(％-k)g，(x)+x+l>0,求整数k的最大值.

53.设函数/(x)=\x-a\-2\x+1|.

(1)当Q=1时，求不等式/(X)<0的解集；

(2)若/(X)的最大值为3,求a的值.

54.已知函数/(x)=ix3-^%2,g^=\-mx,m是实数.

(【)若f(x)在x=1处取得极值，求m的值；

(II)若f(x)在区间(2,+8)为增函数，求m的取值范围；

(III)在(II)的条件下，函数九。)=/(%)-9(%)有三个零点，求m的取值范围.

ss.设函数§.

(I)解不等式f(x)>0；

2

(2)若3x0eR,使得/(x0)+2m<4m,求实数m的取值范围.

56.已知函数/(x)=2^+p其中Q为实常数.

(I)若/(0)=7,解关于x的方程f(x)=5；

(2)判断函数/(X)的奇偶性，并说明理由.

57,设函数/(x)=2J

(1)当Q=-4时，解不笔式/(X)<5；

(2)若函数/(%)在区间［2,+oo)上是增函数，求实数Q的取值范围.

58.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平

行四边形0MPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别

在道路0A和道路0B上，且。4=60米，乙AOB=60。，设乙POB=8.

（1）求停车场面积s关于e的函数关系式，并指出e的取值范围；

（2）当0为何值时，停车场面积s最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.

59.一家污水处理厂有小B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传

统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%,B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污

物的19%.

（1）4池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）

（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池

同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）

60.已知函数/⑶=仅+枭+氏一名.

（I）求不等式/-（X）＜3的解集；

（2）若关于X的不等式/（X）＜枭1-°|的解集是空集，求实数Q的取值范围.

61.已知函数/（x）=-10V3sinxcosx+10cos2x.

（1）求函数/（X）的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数/（%）的图像向右平移I个单位长度，得到函数g（x）的图像，求使得＞0

的x的取值范围.

62.已知函数/。）=2"-黄（口£/?）将y=/（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=9（%）

的图象.

（1）求函数y=g。）的解析式；

（2）若方程在Xe[0,1]上有且仅有一个实根，求Q的取值范围.

63.为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取

了100万个样本，调杳了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A症状：入弗困难：

B症状；醒得太早；C症状；不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下:

数据1：出现4症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其

中含AB症状同时出现1.8万人，4c症状同时出现1万人，症状同时出现2万人，症

状同时出现0.5万人;

数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数

为73万人.

(I)依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？

(II)根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑

血管病存在“强关联”?

失眠不失眠合计

患心脑血管疾病

不患心脑血管疾病

合计

参考数据如下:

P(K2>k0)0.500.400.250.150.10

ko0.4550.7081.3232.0722.706

P(K2>ko)0.050.0250.0100.0050.001

ko3.8415.0246.6357.87910.828

2

参考公式.*2_"ad一―)

八一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

64.已知函数/(%)=(x+l)ln(x+1)-％(aCR).

(I)设/(x)为函数/-(%)的导函数，求函数/(X)的单调区间；

(II)若函数/(X)在(0,+8)上有最大值，求实数Q的取值范围.

65.已知函数/(X)=总.

(1)求fM的单调区间；

(2)若函数g(x)=/(x)-Q在恺』,'］上只有一个零点，求Q的取值范围.

66.已知函数/(x)=(x2-x4-a)lnx(aGR).

(1)当a>0时，讨论/(x)的零点情况;

(2)当a=1时，记尸(乃=f(%)—尹2—%在焉2)上的最小值为m,求证:5

2

1

~2'

67.已知函数/(x)=x2—a\nx—1,(aER).

(I)若函数/(%)有且只有一个零点，求实数Q的取值范围；

(II)设g(x)=ex+x2-ex-f(x)-1,若g(x)>0,若函数对%e[1,+8)恒成立，求

实数Q的取值范围.(e是自然对数的底数，e=2.71828-)

68.已知函数f(x)=(堂Q+b)sinx+a—V3b)cosx»且/(。)=-1»f(1)二1•

(1)求/(x)的解析式；

(2)已知g(x)=%2-2%+血一3,若对任意的打E[0,同，总存在x26[-2,m],使得

fQi)=g(%2)成立，求小的取值范围•

69.已知函数/(x)=sin2x.

(1)求函数r(x)的最小正周期和最大值；

(2)若3满足度)=|，求/(♦+力的值

70.已知函数/(%)=sin(2x+5)+sin(2x-5)+2cos2x,xeR.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数f(x)在区间刍上的最大值和最小值.

71.已知等比数列｛an｝(其中nEN”),前n项和记为Sn,满足：S3=白，

log2an+i=-l+log2an.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)求数列｛an・log2an｝(n£ND的前n项和Tn.

72.已知a为常数，函数f(x)=x(Inx-ax)有两个极值点xi,X2(xi<X2).

(1)求a的取值范围；

(2)证明：.

73.已知函数/(x)=Inx-x2+ax.

(I)当a=l时，求函数/(x)的极值；

(2)若f(x)<0恒成立，求Q的取值范围；

(3)设函数f(x)的极值点为勺，当Q变化时，点(M，f(x0))构成曲线M.证明:任意过

原点的直线y=kx,与曲线M均仅有一个公共点.

74.已知函数/(X)=6R),g(x)=e2x-2.

X

(1)求/(%)的单调区间；

(2)若/(x)<^(x)在(0.+8)上成立，求a的取值范围.

75.已知函数/(x)=xlnx-ax+l(cz6R).

(i)讨论f(x)在(l,+8)上的零点个数；

(2)当Q>1时，若存在X€(L+8),使/-(x)<(e-l)(a-3)，求实数Q的取值范围.

(e为自然对数的底数，其值为2.71828……)

76.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)，再将所得的图象

向左平移I个单位长度后得到函数/(x)的图象.

(1)写出函数/(%)的解析式；

(2)若对任意xG［一看,金］，/2(x)-m/(x)-l<0恒成立，求实数m的取值范

围；

(3)求实数Q和正整数n,使得F(x)=/,(%)-a在［O,nn］上恰有2019个零点.

77.已知函数/(x)=Inx-a(x-l),,9(x)=ex,其中e为自然对数的底数.

(1)当Q=1时，求函数y=/(x)的单调区间：

(2)求函数y=/(x)在区间［l,e］上的值域；

(3)若Q>O,过原点分别作曲线y=f(%),y=g(x)的切线、办，且两切线的斜率互

为倒数，求证：［0,+8).

78.设n为正整数,集合A={T/T=(tltt2,...tn),tk6{04},k=1,2,.对于集合A中的任

意元素X=(xltx2f-,xn)和y=81，力，…，％)，记d(x,y)=|［(|%1+yil4-|Xi-yj)+

(kz+yzl+\x2-y2\)+…+(1%+%l+|xn-yn|)］.

(I)当n=3时，若X=(1,1,0),Y=(0,1,1),求d(X,X)和d(X,K)的值；

(H)当n=4时，设8是A的子集，且满足：对于B中的任意元素X,y,当x,v相同

时，d(x,y)是偶数；当X,y不同时，d(x,y)是奇数.求集合B中元素个数的最大值：

79.已知函数/(X)=(1+x/3tanx)cos2x.

(I)若a是第二象限角，且sina=，求/(«)的值；

(II)求函数f(x)的定义域和值域.

80.已知函数f(x)=ex~a-ln(x+a)(a>0).

(1)证明；函数/(x)在(0,+8)上存在唯一的零点；

(2)若函数f(x)在区间(0,+8)上的最小值为1,求Q的值.

81.已知函数f(x)=x\nx.

(1)已知函数/(x)在点(&,/(勺))处的切线与x轴平行，求切点的纵坐标.

(2)求函数f(x)在区间(0,|］上的最小值；

(3)证明：VtG(~1,0),3xE(0,1),使得/(x)=t.

82.已知函数f(x)=(m+l)x+Inx(mER).

(1)当m=l时，求曲线y=/(x)在(1J(1))处的切线方程；

(2)求函数r(x)的单调区间；

2

(3)若函数^(%)=ix+i-/(x)在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求?n的取值范围.

83.对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S(A)=(a+b|aeA,beA),记集合S(A)的元

索个数为d(S(A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T(A)=AUS(A).

(I)若A=｛0,I,2),求S(A),T(A)；

(2)若集合A有n个元素，证明："d(S(A))=2n-l”的充要条件是“集合A中的所有元素能组

成公差不为0的等差数列”；

(3)若A£｛1,2,3,4,5,6,7,8｝且｛1,2,3,…，25,26)ST(T(A)),求元素个数最少

的集合A.

84.对于集合4=册｝，B=｛匕］/2,…,8血｝,n6N\meA/*,A+B=［x+y\xE

AtyeB｝.集合A中的元素个数记为|川.规定：若集合A满足|4+*=吗由，则称集合4

具有性质T.

(1)已知集合=(iJg^-1^>2，B=｛另捐｝，写出I—川，旧+印的

值；

(II)已知集合A=｛alfa2t-fan］,｛an］为等比数列，an>0,且公比为1,证明：A具

有性质T；

(III)已知A,B均有性质T,且九=机，求|4+8|的最小值.

85.已知函数/(x)=x2-(cz-2)x-alnx.

(1)求函数的单调区间；

(2)若方程/(x)=c有两个不相等的实数根%i，x2,求证：f(土磔2)>o.

86.已知函数f(x)=cosx(sinx4-cosx)—4.

(I)求函数/(x)的单调增区间；

(II)若f(a)=够，Q€(.第，求cos2a的值.

87.已知函数f(x)=1-kx,且f(1)=3,

(1)求k的值；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)判断函数f(x)在(1,+8)上是增函数还是减函数?并证明你的结论。

88.设a,bER，已知函数f(K)=a\nx+x2+bx存在极大值.

(I)若Q=1,求b的取值范围；

(II)求Q的最大值，使得对于b的一切可能值，/(x)的极大值恒小于0.

89.己知函数f(x)=logaX(a>0,且a#l),且f(2)=1

(I)求a的值，并与出函数f(x)的定义域；

(2)设g(x)=f(2-x)-f(2+x),判断g(x)的奇偶性，并说明理由：

(3)若不等式f(19DNf(3x-i)对任意x£[l,2]恒成立，求实数t的取值范围。

90.已知抛物线C:x2=^y的焦点为F,直线y=kx+>0)与抛物线C交于不同的两点

M,N.

(1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值；

(2)若m=2,求|MF|・|NF|的最小值.

91.己知函数/(%)=|2x-1|-a.

(1)当Q=1时，解不等式/(x)>x+l：

(2)若存在实数x,使得f(x)<|/(x+1)成立，求实数a的取值范围.

92.

(1)已知函数;'(%)-普是(1,+8)上的增函数，求实数a的取值范围；

(2)试比较两数起与薨的大小，并证明你得出的结论.

ZV2323

IT

93.设函数/(x)=sincox+sin((ox—，xER.

(I)若3=2，求f(x)的最大值及相应的X的集合；

(H).若x=工是f(x)的一个零点，且0V3V10,求/(X)的单调递增区间.

94.已知函数/(x)=ax+\nx(aGR).

(I)求f(x)的单调区间；

(II)当a=-2时，若mNf(x)恒成立，求m的取值范围.

95.已知/ICR,函数/(X)=Aex-xlnx(e=2.71828-是自然对数的底数).

(I)若/(I)=0,证明：曲线y=f(x)没有经过点的切线；

(II)若函数f(x)在其定义域上不单调，求A的取值范围；

96.e是自然对数的底数，Q〉0,已知函数f(x)=x+^»xER.

(i)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围；

711

(2)对于g(x)=靖，证明:当Q之?时，/(%)>号不之训鬲•

97.设函数/(x)=|x+l|-2\x-1|.

(1)画出y=/(%)的图象；

(2)当xG(-oo,0］时，/(X)<ax+b，求a—b的最大值.

98.e是自然对数的底数，已知函数/(x)=x(x-2)ex,xER.

(I)求函数y=/(幻的最小值；

(2)函数g(x)=f(x)-f(-a)在R上能否恰有两个零点?证明你的结论.

99.某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维

修，因为考虑到人力、成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的条件：

在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元；在仪器使用期间，如果维修服务次

数不够再次购买，则需要每次1500元..现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜

集并整理了50()台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：

维修次数56789

频数(台)50100150100100

记X表示一台仪器使用期内维修的次数，y表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，n表

示购买仪器的同时购买的维修服务的次数.

(1)若几=6,求y与x的函数关系式；

(2)以这500台仪器使用斯内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求64式48

的概率.

(3)假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分

别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断购买7次还是8

次维修服务？

100.已知函数/(x)=(1—a)(x—1)—Inx+1,g(x)=xe1-x.

(1)求g(x)在区间(0,e］上的值域；

(2)是否存在实数a,对任意给定的xoe(O,e］,在［l,e］存在两个不同的=1,2)使得

〃9)=9(%)，若存在，求出Q的范围，若不存在，说出理由・

答案解析

1.【答案】(1)解：函数/(%)=ax-Inx的定义域为(0,+8),/'(%)=0_义=与1.

①当QW0时，对任意的x>0,/(x)<o，此时，函数y=/Q)的单调递减区间为

(0,4-GO)；

②当Q>0时，令/(%)<0，得Ovx<(；令/(%)>0，得x>1.

此时，函数y=/(X)的单调递减区间为(0,6,单调递增区间为©,+8)

(2)解：vx-/(X)>a,即a/一/nxZa，得ax2-a-xlnx>0,

Xx>1,不等式两边同时除以x,得ax-^—lnxN0,即。(工一3一InxZO.

易知g(l)=0,由题意可知9。)>g(l)对任意的x>1恒成立，g'(x)=葭+。.

X乙

①若a<0,则当x>1时，x-->0,lnx>0,此时g'(x)<0,

X

此忖，函数y=g。)在口,+8)上单调递减，则g(x)Wg(l)，不合乎题意；

②若a>0,对于方程Q/一%+。=o.

⑴当d=1一4a24o时，即Q之，g\x)>0恒成立，

此时，函数y-tg(x)在［1,+8)上单调递增，则有Q(X)>€g(l),合乎题意；

(ii)当d=1—4a2>o时，即0<Qv：时，

设方程ax2—x4-a=0的两个不等实根分别为勺、犯，且犯V肛，

则xtx2=1,不+%2=：>0，所以，x2>xt>0,1=xxx2<%2»*,■x2>1.

当1VxV必时，9(X)<0；当%>不时，g(X)>。，•••g(、2)V9(1)，不合乎题意.

综上所述，实数a的取值范围是g+8)

【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性

【辞析】【分析】(1)求出函数y=f(x)的定义域和导数，对Q分QWO和a>0两种情况，分

析/«在(0,+8)上的符号，可得出函数y=f(x)的单调区间；(2)由x-/(X)>a,转化为

a(x一1)一Inx>0,构造函数g(x)=a(x--Inx,且有g(l)=0,问题转化为g(x)>

g(l),对函数y=g(x)求导，分析函数y=g(x)的单调性，结合不等式g(x)2g(l)求出实数

Q的取值范围.

2.【答案】(