【高考数学 题型方法解密】专题07“四大妙法”剖析向量的秒杀体系 原卷及答案-高考数学常考点 重难点复习攻略（新高考专用）

专题07“UI大妙法”，剖析向量的秒杀体系

目录

一重难点题型方法.........................................................2

＜妙法一:奔驰定理与四心问题〉.............................................2

题型一：奔驰定理.........................................................2

题型二：重心问题.........................................................4

题型三：内心问题.........................................................5

题型四：外心问题.........................................................6

题型五：垂心问题.........................................................7

〈妙法二：极化恒等式》.....................................................8

题型六：极化恒等式的应用.................................................8

〈妙法三：隐圆〉...........................................................9

题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积（平方和）定值.....9

题型八：阿波罗尼斯圆....................................................10

〈妙法四：等和线〉........................................................11

题型九：等和线的应用....................................................11

二针对性巩固练习........................................................13

重难点题型方法

＜妙法一：奔驰定理与四心问题〉

题型一：奔驰定理

【典例分析】

典例1-1.（2023・全国•高三专题练习）“奔驰定理''是平面向量中一个非常优美的结论,

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地

称其为“奔驰定理奔驰定理：已知。是/3C内的一点，-BOCJOC/O8的面积

分别为S&,Sc，则有&•。4+5屋。8+5（7.0。=0.设。是锐角内的一点，

ZR4CZ48CZ4CB分别是/BC的三个内角，以下命题不正确的有（）

A.若OA+O8+OC=0,贝l」O为.人8c的重心

B.若OA+2O3+3OC=0,则SA：SB：SC=1：2:3

C.若向卜阿卜240B;期，2OA+3O8+4OC=（b则5枷《

D.若。为工8c的垂心，WOtanABACOA+tanZABC-OB+tan/ACB-OC=0

典例1-2.（2023・全国•高三专题练习）奔驰定理：已知。是.ABC内的一点，BOC,

AOCf的面积分别为S八，SB，SC，则枭OA+S^08+5。OC=（）“奔驰定理”

是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。

很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形ABC内一点，且满足：

s,

QA+2OB+30c=3AB+2BC+CA,则既侬=（）

ABC

A

D.

3

【方法技巧总结】

1.奔驰定理：SAOA-^SBO^+ScOC=则ZMOB、AAOC、ABOC的面积

之比等于4以：4

【变式训练】

1.（2023春・湖南常德・高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图.P为“8C内任意一

点，角A民。的对边分别为a,b,c,总有优美等式S取?A+Sp"P8+S%/C=。成立，

因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）

A.若，是一A8C的重心，则有尸4+P8+PC=0

B.若〃P4+HN+cPC=（）成立，则P是.."C的内心

C.若AP=g2AB+m1AC,则％8PsMc=2:5

D.若。是“8C的外心，A=：,PA=mPB+〃PC，则/〃+〃

2.（2023春・浙江嘉兴•高一校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美

的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mewedes尻〃z）的logo很相似，故形

象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是内的一点，BOC,SOC,

的面积分别为另，S&,Sc,则SA04+SBO8+SCOC=6.若。是锐角拉C内的一点,

A,B,C是ABC的三个内角，且点。满足。4.0/3=（用。。=。4.0。.则（）

C.|。眼。喇。q=cosA:cos8:cosCD.tanAOA+tan4cM+tanCOC=0

题型二：重心问题

【典例分析】

典例2-1.（四川省达州市2023届高三二模数学（理科））如图，在A8C中，河=3,

=BABC=\S,平面A8C内的点。、E在直线4B两侧，△A3。与q8CE都

4

是以8为直角顶点的等腰直角三角形，。口。2分别是△A8D、,8CE的重心.则。。广

（）

A.V26B.3GC.5D.6

典例2-2.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点

G作直线分别与A8,AC两边交于M,N两点，设.x"=4M，yAC=AN则：

•I.V

的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【方法技巧总结】

1.。是AA3c的重心：S^BOC:S^COA:SAA0S=1:1:1<=>OA-i-OB+OC=0.

【变式训练】

1.（2022春•浙江•高二统考学业考试）在^ABC中，设AO=204，BE=2EC,CT=2尸A,

其中％eR.若/>■和4ABe的重心重合，则4=（）

A.gB.1C.-D.2

22

2.（2022春•四川攀枝花•高一攀枝花七中校考阶段练习）已知的三个内角分别

为A氏C,。为平面内任意一点，动点P满足

/\

OP=OA+A।磐+|八。，北（0,y）则动点p的轨迹一定经过“BC的（）

^|i4B|sinB|.4C|sinC

A.重心B.垂心C.内心D.外心

题型三：内心问题

【典例分析】

典例3-1.（2003・江苏・高考真题）。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三

ARAC

个点，动点P满足OP=OA+4月+器；，2日0,3），则尸的轨迹一定通过_A8C

（|人8|MC|；

的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3

典例3-2.（2023・全国•高三专题练习）在△ABC中，cosA=-,。为AABC的内心，

4

若AO=xA8+），AC（.%），eR）,则x+y的最大值为（）

A2R6—\/6r7—y/1n8-25/2

3567

【方法技巧总结】

a

1.。是△48c的内心：S^D0C:^^COA'^^AOD='h:c<=>aOA+hOR+c.OC=0.

2.内心在向量信+前所在的直线上：同小+忸斗改+何.尸8=0oP为

△43C的内心.

【变式训练】

1.（2022•全国•高三专题练习）平面上有58C及其内一点O,构成如图所示图形，

若将QA3,AOBC,4矽的面积分别记作S。,Sb，则有关系式儿•函+Sy

OB-^-ScOC=0.因图形和奔驰车的，意。很相似，常把上述结论称为“奔驰定理"已

知A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足内。4+。。8+「。。=0,则

O为必的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

2.（2023・全国•高一专题练习）已知在“BC中，AB=HC=3,AC=4,设。是

的内心，AO=mAB+nAC>贝1J—=(

16

~9

题型四：外心问题

【典例分析】

典例4-1.（2023•全国•高一专题练习）已知O是平面上的一定点，AB,C是平面上

/\

不共线的三个点，动点「满足。？=竺产+4।+二C八,4c口+⑼，

2（JA^COSB\AC\COSC）

则动点尸的轨迹一定通过.AAC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

典例42（2023・重庆•统考二模）已知点。是“5c的外心，A3=6,BC=8,B卷,

若BO=xB4+.yBC,则3x+4），=（）

A.5B.6C.7D.8

【方法技巧总结】

1.。是△ABC的外心：

COA:S》OB=sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AoA+sin2BOB+sin2COC=0.

2.\PA\=\PB\=[PC\<=>P为24BC的外心.

【变式训练】

1.（2022・全国•高三专题练习）如图，/5C中，A3=2,AC=3,N8AC=g,。为“3C

外心，且4O=〃?48+〃4C,则加+〃的值为（）

c

/O\

力Z--------、B

A.1B.[C.1D.

318918

2.（2023•北京•北京市八一中学校考模拟预测）已知。是乂8C的外心，外接圆半径

为2,且满足2Ao=A8+AC，若BA在8C上的投影向量为:近，则AO-8C=（）

4

A.-4B.-2C.0D.2

题型五：垂心问题

【典例分析】

典例5-1.（2020春•天津和平•高一耀华中学校考阶段练习）已知点。为△ABC所在

平面内一点，KOA+BC2=OB2+CA2=OC2+Alf»则。一定为△ABC的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

典例5-2.（2023・全国•高三专题练习）设。是58C所在平面上一点，点，是的

垂心，满足OA+O8+OC=O”，且+则角A的大小是（）

3乃e乃「n、兀

A-TB.彳c.-D.彳

【方法技巧总结】

1.。是△ABC的垂心：

Sgoc：S“OA:S&OB=tanA:tanB:tanC=tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

=「为的垂心.

2.PAPB=PBPC=PCPA44867

【变式训练】

1.（2023春•重庆南岸•高一重庆市辅仁中学校校考阶段练习）已知O是平面上一定

ABAC

点，A、8、C是平面上不共线的三个点，动点。满足。P=OA+/l।

AB\COSHIACICOSC

则动点P的轨迹一定通过SBC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

i9

2.（2023・全国•高三专题练习）己知”为“8c的垂心，若A〃1/W+wAC,则

sinZBAC=（）

A.区B.叵C.亚D.®

5533

〈妙法二：极化恒等式〉

题型六：极化恒等式的应用

【典例分析】

典例6-1.（2023・全国•高三专题练习）已知正方形力8C。的边长为2,MN是它的外接

圆的一条弦，点，为正方形四条边上的动点，当弦“V的长度最大时，PM-PN的取

值范围是（）

A.[-L0]B.[0,&]C.[1,2]D.[-U]

典例6-2.（2023春・江苏南京•高一校考期中）如图所示，矩形4BCZ）的边AA=2,4）=1,

以点C为圆心，为半径的圆与C7）交于点E,若点P是圆弧幼（含端点8、E）上的

一点，则的取值范围是（）

A.[0,V2-l]B.[l-V2,0]C.[0,2-2>/2]D.[2-2夜,()]

【方法技巧总结】

1.极化恒等式：i[（a+S）2-（a-S）2]

①平行四边形模式：a力=；[|ACfTQ同广

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边平行四边形的“和对角线”与“差对角

线'‘平方差的

4

②三角形模式：入〃=河2T网2（M为80的中点）

【变式训练】

1.（2021春•广东东莞•高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）半径为2的圆

。上有三点A、8、C满足OA+AB+AC=0，点P足圆内一点，则尸4PO+PBPC的

取值范围为（）

A.[-4J4）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

2.（2023•山东潍坊•校考模拟预测）如图所示，AABC是边长为8的等边三角形，P

为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半经的圆的直径，则。£。户的取值

范围是（）

A

B.[32,58]C.[39,55]D.[42,60]

＜妙法三：隐圆）

题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积（平方和）

定值

【典例分析】

典例7-1.（2018秋・江西•高一统考期末）已知向量。/满足k|=3叫=2,曰/1晨

若向量〃;满足卜八中2,则帆的取值范围是

A.[713-2,713+3]B.[713-2,713+2]

C.[2,713+3]D.[2,Vi3+2]

典例7-2.（2020春•四川成都・高三石室中学校考阶段练习）已知单位向量入〃满足

|2a-Z?|=2,若存在向量c,使得（。-24）.卜-0）=0,则卜|的取值范围是（）

A.惨,豹]B.悸T图C.悸一译+l]D・

【方法技巧总结】

1.若问题中给出两个运动着向量的夹角为定值，或者间接给出夹角为定值，或某两

个向量的和（或差）的模为定值等条件，求有关向量模或夹角的范围等问题可以试

着通过寻找向量终点所在的“隐藏圆”来解决问题。通常需建立直角坐标系，利用

轨迹法来求解方程。

【变式训练】

1.（2023・全国•高三专题练习）已知单位向量〃与向量匕=（0,2）垂直，若向量°满足

|a+〃+d=l,则同的取值范围为（）

A.B.[券，"]C.[V5-1,V5+1]D.[亨』

2.（2020秋・浙江温州・高三温州中学校考阶段练习）如图，在等腰梯形A8CO中，

A4=2,CD=4,BC=。，点E,产分别为A。，8C的中点.如果对于常数义，在等

腰梯形A8C。的四条边上，有且只有8个不同的点P使得PEP尸=4成立，那么久的

取值范围是（）

题型八：阿波罗尼斯圆

【典例分析】

典例8-1.（2022・全国•高一专题）在“8c中，BC=2,若AB=6AC,则朋的

取值范围是（）

A.（6-4V2,6+4>/2）B.[6-4应,6+4忘]

C.（8-4&,8十4夜）D.[8-4衣,8+4&]

【方法技巧总结】

1.建立直角坐标系，利用轨迹法来求解方程。

【变式训练】

1.（2022・全国•高三专题练习）已知ABCQ是矩形，且满足AB=3.8C=4.其所在平面

内点M，N满足：3BM=MC,BN=2NC,则人日痴的取值范围是（）

A.B.1.40c.[田可D.[^0,40]

<妙法四：等和线）

题型九：等和线的应用

【典例分析】

典例9-1.（2022春・浙江台州•高二校联考期末）已知点P为.工8。的外接圆圆。上一

点（不与4、C重合），且线段的与边8C相交于一点，若AP=x48+），AC,则x+y的

取值范围为（）

A.弓,2B.（1,-KC）C.（2,+cc）D.—J

典例9-2.（2018春・安徽芜湖・高一芜湖一中校考阶段练习）已知A,B,C是圆。上

的三点，CO的延长线与线段3A的延长线交于圆。外的点。，若OC=〃?O4+“O8,

则〃?+〃的取值范围是（）

A.（0J）B.（1,甸C.S，-1）D.（-1,0）

【方法技巧总结】

1.平面内一组基底0A08及任一向量OP,OP=2OA+若点夕在直线

上或者在平行于的直线上，贝IJ4+〃=A（定值），反之也成立，我们把直线

以及与直线AB平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线相时，k=\;

②当等和线在。点和直线A/M之间时，ke（OA）;

③当直线AB在点。和等和线之间时，&£（l,+oo）;

④当等和线过。点时，k=0;

⑤若两等和线关于。点对称，则定值k互为相反数;

【变式训练】

1.（2023•全国•高一专题练习）如图，点。在半径为2的相上运动，=?若

OC=m（）A+n（）I3f则〃的最大值为（）

273

A.1B.V2krx■-----D.5/3

3

__2__

2.（2021秋•江西•高二校联考阶段练习）在_"。中，点M是A8的中点，AN=-ACf

线段CM与BN交于点0,动点/，在H9c内部活动（不含边界），且AP=4A4+〃AN,

其中4、〃eR,则％+4的取值范围是（）

针对性巩练习

练习一：奔驰定理

1.（2022・高一单元测试）如图，尸为，.ABC内任意一点，角ARC的对边分别为“，仇c,

则总有优美等式S△./A+SNkPB+SjMPCi）成立,此结论称为三角形中的奔驰

定理.由此判断以下命题中，正确的有（）

A.若，是一ABC的重心，则有尸4+P8+PC=0

B.若a.PA+6P8+c-PC=0,则P是-ABC的内心

12

C.若4P=gA8+TC,则S咏：S%”S%8=2:2:1

D.若。是..ABC的外心，且A=（，则PA+sin/4PCP3+sine-/APc}pC=0

2.（2022春・江苏淮安・高一金湖中学校联考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非

常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”矫车（Mercedesbenz）的心”很

相似，故形象地称其为“奔驰定理''.奔驰定理：己知。是“18C内的一点，质?C、JOC、

的面积分别为臬、S八S一则S/OA+S8・O5+SLOC=0.若。是锐角一/BC内

的一点，/BAC、/ABC、-AC8是.vABC的二个内角，且点O满足

OAOB=OBOC=OCOA，则（）

A

A.O为的垂心B./ACR=TT-/ACR

C.|同:|08Hoe卜sinN84C:sinZABC:sinZACB

D.tanZ.BACOA+tanZ.ABCOB+tanZ.ACBOC=0

练习二：重心问题

3.（2023・全国•高一专题练习）已知A,B,C是不在同一直线上的三个点，。是平

面A8C内一动点，若"—O4=2（A3+g4C）,Ae[0,-Ko）,则点尸的轨迹一定过/BC

的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

4.（2022秋•江苏南通・高二江苏省如皋中学统考开学考试）如图，。是aABC的重

心,D是边BC上一点,且8。=3。。，OO=/M8+“AC,则'=（）

练习三：内心问题

5.（2023・全国•高三专题练习）平面内”8c及一点。满足

AO-ABAO-ACCOCACOCB

百二W下厂可,则点。是"8C的（）

A.重心B.内心C.外心D.垂心

6.（2022•全国•高三专题练习）等边一相。的面积为96,且.."C的内心为M,若平

面内的点N满足=则NA.N3的最小值为（）

A.-5-2x/3B.-5-4>/3C.-6-2石D.-6-4百

练习四：外心问题

7.（2022春・安徽芜湖・高一芜湖一中校考期中）如织，O为.工8C的外心，AB=4,

AC=2,N8AC为钝角，M是边BC的中点，则福.前=（）

2

8.（2023・全国•高三专题练习）在/8C中,AB=^,ZAC4=45。。是,A8C的外心，则

AC3C+OCAB的最大值为（）

37

A.iB.C.3D.-

22

练习五：垂心问题

9.（2022・全国•高三专题练习）奔驰定理：已知点。是内的一点，若

BOC,.AOC,AOB的面积分别记为S应凡,则5O/l+S?・04+$3・OC=0.“奔驰定理”

是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo

很相似，故形象地称其为“奔驰定理如图，已知。是的垂心，且

OA+2O8+3OC=0，则cosC=()

一

D-T

10.（2022♦全国.高三专题练习）在中，。为边BC上的一点，H为的垂

心，4小4。=2021,则（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

练习六：极化恒等式的应用

11.（2022•海南省直辖县级单位.校联考一模）圆是中华民族传统文化的形态象征，

象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，是圆。

的一条直径，且|明=4.C,。是圆0上的任意两点，|。。=2,点P在线段CO上,

则以PA的取值范围是（）

C.[3,4]D.[1,2]

12.（2023春•福建福州,高一福建省福州格致中学校考期中）平行四功形人5C。中,

48=4,A£>=2,ABAD=4>/2t点P在边CD上,则P4PB的取值范围是（）

A.[-1,8]B.[-1,4+72]C.[-2,4+4无]D.[-2,0]

练习七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积（平方和）

定值

13.（2023・全国•高三专题练习）已知向量〃为满足,卜1,恸=2,a.b=o,若向

量c满足k+2+1,则用的取值范围是（）

>/3—1乖t+1

A.[1,75-1]B.

2'2

75+15

C.D.

2'5

14.（2023•全国•高一专题练习）己知〃了=、，,+〃|=2，向量：满足｛〉•=（）,

则口的取值范围是（）

■iQ-

A.[U]B.C.[1,3]D.[0,1]

练习八：阿波罗尼斯圆

15.（2023・全国•高三专题练习）若ABC三点不共线，bB|=2,|。卜3|3，则c4cB

取值范围是（）

A.件3）B.（*）C.停3）D.信,3）

练习九：等和线的应用

16.（2020秋・山东•高三校联考阶段练习）正三角形48c的内切圆圆心为Q,点尸为

圆。上任意一点.若QP=〃?QC+〃Q4,则〃?+〃的取值范围（）

A.[-1,1]B.C.-岑岑D.[一夜,&]

17.（2017•浙江•模拟预测）已知Rt；.A8C中，44=3,AC=4,4C=5,/是"的内

心，P是;./BC内部（不含边界）的动点，若AP=2AB+〃AC（4〃wR）,则义+〃的取

值范围是（）

专题07“UI大妙法”，剖析向量的秒杀体系

目录

一重难点题型方法.....................................................1

〈妙法一：奔驰定理与四心问题〉.............................................1

题型一：奔驰定理.........................................................1

题型二：重心问题.........................................................8

题型三：内心问题........................................................12

题型四：外心问题........................................................15

题型五：垂心问题........................................................19

〈妙法二：极化恒等式》....................................................22

题型六：极化恒等式的应用................................................22

〈妙法三：隐圆＞..........................................................26

题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积（平方和）定值....26

题型八：阿波罗尼斯圆....................................................31

〈妙法四：等和线〉........................................................33

题型九：等和线的应用....................................................33

二针对性巩固练习....................................................37

重难点题型方法

〈妙法一：奔驰定理与四心问题＞

题型一：奔驰定理

【典例分析】

典例1-1.（2023・全国•高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地

称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是.A6C内的一点，一石0。,_4。。,/。5的面积

分别为工,5外S,，则有.之.。4+58。8+工。。=0.设。是锐角工BC内的一点，

ZR4C,〃8C,4C8分别是A3C的三个内角，以下命题不正确的有（）

A.若。A+O4+OC=0，则。为48c的重心

B.若OA+2OB+3OC=0,则臬：品：S（：=1:2:3

C.若|0A卜阿卜240B=票，204+308+400=0，则i祐

D.若。为aABC的垂心，则tanNB4CQ4+lanNABCO8+ianN4CBOC=（）

【答案】C

【分析】对于A,假设D为钻的中点，连接0。，由己知得O在中线8上，同理可

得。在其它中线上，即可判断；对于选项B,利用奔驰定理可直接得出B正确；对

于C,根据奔驰定理可得SA：SB：SC=2:3:4,再利用三角形面积公式可求得Sc=1,

o

即可计算出及的=；,可得C错误；选项D,由垂心的性质、向量数量积的运算律

OB-AC=OB>OC-OB»OA=0,得到国：倒：区卜cosABAC:cosZABC:cosZ.BCA,结

合三角形面积公式及角的互补关系得结论.

【详解】对于A：如下图所示,

假设。为AB的中点，连接。。，则04+08=200=00,故CO,。共线，即。在中线CO

上，

同理可得O在另外两边BC,4c的中线上，故。为的重心，即A正确；

对于B：

山奔驰定理O是一ABC内的一点，-BOC,5OC,508的面积分别为名国,Sc,

则有5•OA+S8-O8+ScOC=0可知，

若。4+203+300=0,可得L：SB：SC=1：2:3,即B正确；

对于C：

由|OAHO8|=2,4OB=2lE可知，Sc=-x2x2xsin—=1,

626

又20A+308+40C=0,所以臬：：S。=2:3:4

13

由7=1可得，5八=；,丛=全；

139

ABC=SA+SB+Sc=-+-+\=-t即C错误；

对于D：由四边形内加和可知，NBOC+NBAC=n,贝lj

OB-OC=|0用℃|cosZBOC=一卜)训。4cosNZMC,

同理，OB-OA=\o^O^cosZB()A=-\oB^O^cosZBCA,

因为。为ABC的垂心，则O8・4C=OB・(OC-OA)=O4・OC-OA・OA=0,

所以|oc|cosN84c=|odcos/BC4,同理得cosZA8C=|oqcos/BCA,

|O/\|cosZA5C=|(?B|COSZBAC,

则|QA|:|OB|:|OC|=COSZMC:COSZABC:COSZBCA,

令04卜wcosNBAC,|o可=/ZZCOSZ4BC,|(?C|=mcosZ.BCA,

s5,4=-|OB||OC|sinZB0C,则

2

SA=-|(9B||0C|sinZBAC=^-cosZABCcosZBCAsinZBAC,

22

[2

同理：SB=：网0。卜in/A4C=gcosNR4CcosN4cAsin/ABC,

Sc=1|O/\||(?B|sinZBCA=^-cosZ^CcosZABCsinZBCA,

公LeersinZBACsinZABCsinZBCA_..__.

综上，S.:Sf.:Sr=------------:-------------:-------------=tanZBAC:tanZABC:tanZBCA,

'Bccos44ccos48。cosZBCA

根据奔驰定理得lanN朋COA+lan/48C.OB+um/ACBOC=0,即D正确.

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例,

结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.

典例1-2.（2023・全国•高三专题练习）奔驰定理：已知。是."C内的一点，B0C，

“0C,y07?的面积分别为枭，SR,SJ贝lJS,rOl+S8-OB+Sc-0C=0.“奔驰定理”

是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰''轿车的log。

很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形A8C内一点，且满足:

则19

OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA,()

S/SABC

【答案】D

【分析】直接根据向量的基本运算得到3QA+O4+2OC=0,再结合“奔驰定理”即

可求解结论.

【详解】解：为一角形ABC内一点，旦满足Q4+2OK+3OC=3AB+2AC+G4，

OA+2013+3OC=3(OB-OA)+2(OC-OB)+(OA-OC)=>3OA+013+2OC=0,

SAOA+SHOB+SeOC=0.

.S&0B_SgQB________Sc_2

S'AABCS“OB+S^g0c+S'.*0cSA+SH+Sc3

故选：D.

【方法技巧总结】

1.奔驰定理：SAOA-^SBOB+ScOC=Of则ZMOB、AAOC、△8OC的面积

之比等于

【变式训练】

1.（2023春•湖南常德•高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图.P为必〃。内任意一

点，角4BC的对边分别为,总有优美等式sPRCPA+Sp«PB+S外/。=0成立，

因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）

A

A.若。是一ABC的重心，则有0A+尸8+PC=0

R.若a/M+8PA+c/C=0成立，贝UP是"M的内心

21一

C.^AP=-AB+-ACt则S-：&t=2：5

JJ

D.若尸是..ABC的外心，A=(,PA=mPB+nPC则，〃+〃£1-a,I)

【答案】AB

【分析】对于A：利用重心的性质5△咏=S△咖=Sjw代入

SPliCPA+SPACPB+S巧wPC=O即可；

对于B：利用三角形的面积公式结合S咏尸A+S咏PB+S尸A/C=O与

aQ4+AP8+cPC=0可知点P至IJ48、BC、C4的距离相等.

对于C：利用A3、AC将PA、P8、PC表示出来，代入S/cPA+S尸ACP8+S.PC=0，化

简即可表示出S.PBC、SAPAC、的关系式,用$皿将5^ABP、S^ABC表示出来即可得

处其比值.

对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PA=〃?P8+〃PC两边平方，化

简可得〃/+〃2=i,结合，爪〃的取值范围可得出答案.

【详解】对于A：如图所示：因为。、E、产分别为CA、AB、3C的中点，

1?1

=

所以CP=2PE,SAEC~^ARC^APC=鼻S八EC=鼻SABC,

同理可得S”8=§S48C、SBPC=)SABC，

所以pBC-S△PACpAB,

又因为SPK,PA+SPACPB+SPABPC=0,

所以以+归年=6.正确；

对于B：记点P到AB、BC、C4的距离分别为九、F%，

SAPBC_3a,S△PAC=3,%,S&PAB,

因为5pxBA+Sp«PB+SPARPC=O,

则ga也PA+JaaPB+gc/RPCnO,

即a%PA+b%PB+c也PC=O,

又因为aPA+bP8+cPC=O,所以4成成，所以点P是ABC的内心，正确;

2rl.

对于C：因为AP=-48+-AC,

55

213I

所以2人=一+八^l^PB=PA+AB=-AB--AC,

5555

一2一4

所以PC=%+AC=-=/lB+-/4C,

55

所以s\-^AB-AC+S尸AC［1AB-14C)+S^~AB+^AC

PBCPAB=0,

(732(\-

化简得：［--SPBC^S..AC--S„AffAB+——SAC=0,

I5

又因为人队AC不共线,

十%一］s=0

PBCPACPAB

5SPBC=2SPA3

所以4，所以，Q二，Q

--5+《s=0"人。一44PA3

PBC5PACPAB

Vqi

所以卢~―一二，错误；

对于D：因为尸是.ABC的外心，A七，所以㈤C=,网=|网=同

所以P3•PC=|PB|x|pc|xcos/BPC=0,

因为P人=〃田8InPC,则网,一,〃2081+2〃〃?尸"PC"/阿卜

化简得：>+/=],由题意知孙〃同时为负，

[〃7=cosa371]^/z.(

尼〈，n<a<一,n贝liUm+〃=cosa+sina=，2sina+—,

n=sina2k4J

因为2<a+巴〈X,所以—i〈sin(a+二]v—交，

444I4j2

/\

所以-2K&sina+—<-l,

k4，

所以m+[-&,-1),错误.

故答案为：AB.

2.(2023春♦浙江嘉兴•高一校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美

的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰"(M"C"/e.s7?e〃z)的log。很相似，故形

象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：己知。是以”内的一点，BOC,_AOC,MOB

的面积分别为最，SB,Sc,则SAOA+SR-OB+SC•0。=0.若。是锐角.."C内的一点，

A,B,C是/BC的三个内角，且点。满足O4O6=CMOC=OAOC.则()

A.O为以次？的外心

B.NBOC+A=TT

c.|o/l|::|oc|=cosX:cos13:cosC

D.tanA-OA+tanB-OB-tanCOC=0

【答案】BCD

【分析】山根据数量积的运算律可得瓯G4=OoO"J_G4,可.得O为A5C的垂心；结

合NOBC+C+NOC8+B=5与三角形内角和等于乃可证明B选项；结合B选项结论证

明8SA:COSB=QVO"即可证明C选项，利用奔驰定理证明品况=34：38可证明D

选项.

【详解】解：S^JOAOB=OB-OC^OB(OA-OC)=OoOB-CA=0^>OB1CA,

同理OAJLC8,OC±ABf故。为/BC的垂心，故A错误；

4OBC+C=£,/OCB+B=+,所以NOBC+C+NOC8+3=%,

乂NOBC+NOCB+/BOC=尸,所以N8OC=C+A,

又A+B+C=;r,所以/BOC+A=;r,故B正确；

故A=〃-N6OC,同理8=4一4"，

延长CO交4B与点P,则

OPOP

cosA:cos=cos(乃-ZBOC):8sg-ZAOC)=cos/BOP:cosZAOP=—:—=OA:013,

同理可得8SA：COSC=04:OC,所以COSA:COS3:COSC=OVQ3:OC,故C正确：

S/S"=goC.BP):(.^OC-AP)=BP:AP=OPtanZPOB:OPlanZAOP

=lanZ.BOC:lanZAOC=tan(^-A):tan(乃-8)=tanA:tanB,

同理可得SA：Sc=tanA:tanC,所以SA:SH:SC=tanA:tanB:tanC,

又邑0+58。5+51久=0,所以tanAQ4+tan8Q8+tanCOC=0,故D正确.

故选：BCD.

题型二：重心问题

【典例分析】

典例2-1.（四川省达州市2023届高三二模数学（理科））如图，在乂8C中，AB=3,

=848C=18,平面ABC内的点。、E在直线4B两侧，△430与&8CE都

4

是以8为直角顶点的等腰直角三角形，0八Q分别是△48。、“CE的重心.则。。2=

()

A.V26B.36C.5D.6

【答案】A

【分析】利用平面向量数量积的定义可求得A3,求出BO-BO?、N0或利用余

弦定理可求得OG的长.

【详解】由平面向量数量积的定义可得朋解得

|«c|=6>/2,

延长3a交A。于点G,延长8。2交CE于点〃，则G、，分别为A。、CE的中点，

因为△48£>、8CE均是以点8为百角顶点的等腰百角•:角形.FlAB=3,RC=6五、

所以，AD=>/2AB=35/2，CE=yp2BC=12>则BG——AD=——，BH=—CE=6,

222

因为a、Q分别是△48。、&8C石的重心，

则8a=|86=’乎=夜，BO2=-|fiH=4,

又因为4BG=4NA5O=4,同理可得NCBH=乌，

244

所以，ZO,