2024年江苏省淮安市中考数学试卷（附答案）

2024年江苏省淮安市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）下列实数中，比﹣2小的数是（）A．﹣1 B．0 C． D．﹣32．（3分）下列计算正确的是（）A．a•a3＝a4 B．a2+a3＝a5 C．a6÷a＝a6 D．（a3）4＝a73．（3分）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G在直线CD上，∠FEG＝90°，∠EGF＝28°，则∠AEF的度数是（）A．46° B．56° C．62° D．72°5．（3分）用一根小木棒与两根长度分别为3cm、5cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（）A．9cm B．7cm C．2cm D．1cm6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥4 B．k＞4 C．k≤4 D．k＜47．（3分）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（）A．14 B．13 C．12 D．118．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞1），将△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB′与射线AD交于点E．下列说法不正确的是（）A．当AB'⊥AB时，B′A＝B′E B．当点B′落在AD上时，四边形ABPB′是菱形 C．在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2 D．连接BB'，则四边形ABPB′的面积始终等于AP•BB'二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．（3分）计算：＝．10．（3分）分解因式：a2﹣16＝．11．（3分）2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约380000km的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据380000用科学记数法表示为．12．（3分）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球个．13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝50°，⊙O半径为3，则的长为．14．（3分）一辆轿车从A地驶向B地，设出发xh后，这辆轿车离B地路程为ykm，已知y与x之间的函数表达式为y＝200﹣80x，则轿车从A地到达B地所用时间是h．15．（3分）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，铺设方式如图1．图2是其中一块地砖的示意图，AB＝EF，CD＝GH，BC＝FG，BC∥FG，AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如图所示（单位：dm）．结合图1、图2信息，可求得BC的长度是dm．16．（3分）如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C．已知正六边形的边长为2，则EQ＝．三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：tan60°+（1﹣π）0+|﹣|；（2）解不等式：≥+2．18．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝3．19．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在BD上，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．20．（8分）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．21．（8分）历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．金湖水上森林；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个．（1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是；（2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率．22．（8分）张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：（1）根据以上数据把表格补充完整：平均数中位数众数方差极差路线一182.45路线二15.61118.04（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由．23．（8分）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈，sin37°≈，tan53°≈，tan37°≈）24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（1，3）．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）点D在线段OB上，过点D且平行于x轴的直线交AB于点E，交反比例函数图象于点F．当DO＝2ED时，求点F的坐标．25．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若BE＝1，BF＝3，求sinC的值．26．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，8），顶点为P．（1）c＝；（2）当a＝时，①若顶点P到x轴的距离为10，则b＝；②直线m过点（0，2b）且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h．随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由；（3）若二次函数图象交x轴于B、C两点，点B坐标为（8，0），且△ABC的面积不小于20，求a的取值范围．27．（14分）综合与实践【问题初探】（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若AD是△ABC的角平分线，则线段AB、AC、BD、CD有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：小智的思路和方法：如图1，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N．∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴．∵S△ABD＝AB•DM，S△ACD＝AC•DN，∴＝．再用另一种方式表示△ABD与△ACD的面积，即可推导出结论……勇的思路和方法：如图2，作CE∥AB，交AD的延长线于，交AD的延长线于点E．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠E．∴∠CAD＝∠E．∴．再通过证明△CDE∽△BDA得到比例式，△BDA得到比例式，从而推导出结论……根据小智或小勇的方法，可以得到线段AB、AC、BD、CD的数量关系是．【变式拓展】（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，求的值．请你完成解答．【迁移应用】（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段EF上作一点P，使EP＝FP．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【综合提升】（4）如图5，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝α（α＜90°），点D在AC边上，CD＝1，点E在BD的延长线上，连接EC，∠BEC＝β（β＜α），请直接写出BD•DE的值（用含α，β的式子表示）．

1．D．2．A．3．A．4．C．5．B．6．D．7．B．8．C．9．【解答】解：，＝2×，＝2．故答案为：2．10．【解答】解：a2﹣16＝（a+4）（a﹣4），故答案为：（a+4）（a﹣4）．11．【解答】解：380000＝3.8×105．故答案为：3.8×105．12．【解答】解：由题意可得，袋中约有红球：8÷0.4﹣8＝20﹣8＝12（个），故答案为：12．13．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝100°，∴弧BC的长为：L＝＝．故答案为：．14．【解答】解：∵y＝200﹣80x，令y＝0，则200﹣80x＝0，∴x＝2.5，∴轿车从A地到达B地所用时间是2.5小时，故答案为：2.5．15．【解答】解：作CM⊥AB，设AB＝adm，CD＝bdm，由图一可知，GF＝BC＝AB+CD，DN＝7﹣3＝4dm，四边形CDNM是矩形，则MN＝CD＝b，∠BMC＝90°，则BM＝10﹣AB﹣MN＝10﹣（a+b），∵CM2+BM2＝BC2，∴（a+b）2＝42+[10﹣（a+b）]2∴a+b＝5.8，∴BC＝5.8dm．故答案为：5.8．16．【解答】解：如图，延长QP、CB交于点G，作QH⊥CB于点H，PI⊥CB于点I，则∠QHC＝∠PIC＝90°，由反射光线的性质可知∠GQH＝∠CQH，∴90°﹣∠GQH＝90°﹣∠CQH，即∠G＝∠QCH，∴QG＝QC，∵QH⊥GC，∴CH＝HG，设BG＝a，则GC＝a+2，∴CH＝CG＝，∵六边ABCDEF为正六边形，∴∠ABC＝＝120°，∴∠ABG＝60°，∵P是AB中点，∴BP＝AB＝1，在Rt△BPI中，PI＝BP•sin60°＝，BI＝BP•cos60°＝，∴GI＝a﹣，在正六边形ABCDEF中，QH＝＝2，∵∠QHC＝∠PIC＝90°，∠G＝∠QCH，∴△PGI∽△QCH，∴，即，解得a＝，∴CH＝＝，连接EC，∵∠EDC＝∠DEC＝∠BCD＝120°，DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∴∠QEC＝∠ECH＝90°，∵∠QHC＝90°，∴四边形EQHC是矩形，∴EQ＝CH＝．故答案为：．17．【解答】解：（1）tan60°+（1﹣π）0+|﹣|＝+1+＝2；（2）≥+2，不等式的两边同乘以6得，3x≥2（x﹣3）+2×6，3x≥2x﹣6+12，∴不等式的解集为x≥6．18．【解答】解：（1+）÷＝•＝•＝x﹣2；当x＝3时，原式＝3﹣2＝1．19．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）．20．【解答】解：设有x个客人，y个盘子．根据题意，得，解得，答：有30个客人，13个盘子．21．【解答】解：（1）由题意可得．小明从人文景点中选中河下古镇的概率是，故答案为：；（2）树状图如下所示：由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的有1种，∴小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率为．22．【解答】解：（1）路线一：15，16，17，18，18，18，19，19，20，20，平均数：，众数为18；路线二：11，11，11，12，14，16，17，21，21，22，中位数：，极差：22﹣11＝11；故答案为：18；18；15；11；（2）路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二．23．【解答】解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB＝xcm，则AC＝60+x，∵sin53°＝＝，∴AF＝（60+x）•sin53°，如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC＝60+2x，∴AH＝（60+2x）•sin37°，∵AF＝AH，∴（60+x）•sin53°＝（60+2x）•sin37°，∴，解得：x＝30．答：每节拉杆的长度为30cm．24．【解答】解：（1）把点C（1，3）代入y＝得，3＝，解得k2＝3，∴反比例函数的表达式为y＝，把点A（﹣1，0），点C（1，3）代入y＝k1x+b得，，解得，∴一次函数的表达式为y＝x+；（2）设E（m，m+），∵EF平行于x轴，∴D（0，m+），∴OD＝m+，∵DO＝2ED，∴m+＝2（﹣m），解得m＝﹣，∴E（﹣，），∴点F的纵坐标为，把y＝代入y＝得，x＝，∴点F的坐标为（，）．25．【解答】（1）证明：连接OD，BD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝CB，∴点D为AC的中点，∵点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∴∠ODE＝∠DEC，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DF⊥OD，∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点，∴DF为⊙O的切线；（2）解：如上图，∵DE⊥BC，BE＝1，BF＝3，∴由勾股定理，得EF＝＝＝，由（1）知BE∥OD，∴△ODF∽△BEF，∴＝＝，∵BE＝1，BF＝3，OB＝OD，∴＝＝，解得OB＝，DE＝，∴AB＝3，在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD＝＝＝，∵BA＝BC，∴∠C＝∠A，∴sinC＝sinA＝＝．26．【解答】解：（1）将点A坐标代入抛物线表达式得：c＝8，故答案为：8；（2）①当a＝时，抛物线的表达式为：y＝x2+bx+8，则10＝|yP|，即|8﹣|＝10，解得：b＝±3，故答案为：±3；②顶点P的纵坐标为：c﹣＝8﹣b2，则h＝|yP﹣2b|＝|8﹣b2﹣2b|＝|b2+2b﹣8|，令h＝0，则b＝2或﹣4，函数h的大致图象如下：从图象看，当b＞2或﹣4＜b＜﹣1时，h随b的最大而增大，当b＜﹣4或﹣1＜b＜2时，h随b的增大而减小；（3）设点C、B的横坐标为m，n，将点B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+8得：0＝64a+8b+8，则b＝﹣8a﹣1，即抛物线的表达式为：y＝ax2+（﹣8a﹣1）x+8，则m+n＝＝8+，mn＝，则BC＝|m﹣n|＝＝＝|8﹣|，则△ABC的面积＝×BC×yA＝4BC≥20，即|8﹣|≥5，则8﹣≥5或8﹣≤﹣5，解得：a≥或a≤且a≠0．27．【解答】解：（1）小智的思路补全：∵△ABD和△CBD是同高的，∴＝，∴；小勇的思路补全：∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠E，∴△BDA∽△CDE，∴，∵CE＝AC，∴；故答案为：DM＝DN；AC＝CE；；（2）如图，过C作CM⊥AD于点M，BN⊥AD交AD的延长线于点N，则∠CMD＝∠BND＝90°，设AB＝AC＝2a，在Rt△ABN中，∠BAD＝45°，∴sin45°＝，∴BN＝a＝AN，在Rt△ACM中，∠CAD＝60°，∴sin60°＝，∴CM＝a，∵∠CMD＝∠BND＝90°，∠BDN＝∠CDM，∴△BDN∽△CDM，∴＝＝；（3）如图所示，作法提示：①作30°角：先作等边三角形EFG，再作∠GEF的角平分线，交GF于点Q；②构造相似：再作QO＝QE，交EF的延长线于点O，易证△OQF∽△OEQ，且相似比为；③作圆：以O为圆心，OQ为半径作圆，则P为圆与线段EF的交点．（4）解法一：延长CA到F，使得∠BFC＝∠E＝β，∵∠BDF＝∠CDE∴△