新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题25 圆锥曲线与垂心问题(原卷版)

专题25圆锥曲线与垂心问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的两个点，O为坐标原点，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的垂心恰是抛物线的焦点，则直线SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知抛物线SKIPIF1<0上有三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂心在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的纵坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的纵坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线SKIPIF1<0的渐近线与抛物线SKIPIF1<0交于点O，A，B，若SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0的焦点，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线上异于顶点的一点，且SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的射影为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的垂心在抛物线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．设双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左顶点与右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以线段SKIPIF1<0为底边作一个等腰SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0的垂心恰好在SKIPIF1<0的一条渐近线上，且SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则下列判断正确的是（

）A．存在唯一的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0B．存在两个不同的SKIPIF1<0，且一个在区间SKIPIF1<0内，另一个在区间SKIPIF1<0内C．存在唯一的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0D．存在两个不同的SKIPIF1<0，且一个在区间SKIPIF1<0内，另一个在区间SKIPIF1<0内7．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，以坐标原点SKIPIF1<0为圆心、SKIPIF1<0为半径作圆与双曲线SKIPIF1<0的渐近线在第一象限交于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，恰有SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0应满足（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．记椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0处的切线交于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线上不与SKIPIF1<0重合的动点，SKIPIF1<0为坐标原点，则下列说法中，正确的有（

）A．若SKIPIF1<0中点纵坐标为2，则SKIPIF1<0的斜率为2B．若点SKIPIF1<0恰为SKIPIF1<0的垂心，则SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角互补，则SKIPIF1<0的斜率恒为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点纵坐标的取值范围是SKIPIF1<010．设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线上异于顶点的一点，且SKIPIF1<0在准线上的射影为SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（

）A．点SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0轴上B．SKIPIF1<0的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上C．当SKIPIF1<0的垂心在抛物线上时，SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0的垂心在抛物线上时，SKIPIF1<0为等边三角形11．双曲线SKIPIF1<0的虚轴长为2，SKIPIF1<0为其左右焦点，SKIPIF1<0是双曲线上的三点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线交其渐近线于SKIPIF1<0两点.已知SKIPIF1<0的内心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为1.下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0外心SKIPIF1<0的轨迹是一条直线B．当SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0外心的轨迹方程为SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0变化时，存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0的垂心在SKIPIF1<0的渐近线上D．若SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0的外接圆过定点12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴及双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的三个不同交点构成集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若SKIPIF1<0的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．若曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0，是否存在直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相交于两不同的点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0．则直线SKIPIF1<0的方程为．14．已知抛物线方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为SKIPIF1<0（O为坐标原点）的垂心，则实数SKIPIF1<0的值为．15．已知点SKIPIF1<0在椭圆C：SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作直线交椭圆C于点SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0，若垂心SKIPIF1<0在y轴上．则实数SKIPIF1<0的取值范围是．16．已知椭圆SKIPIF1<0的上顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0恰好为SKIPIF1<0的垂心，则直线SKIPIF1<0的方程为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，且椭圆的离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为SKIPIF1<0的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．18．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：SKIPIF1<0，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)19．如图，已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足SKIPIF1<0PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，SKIPIF1<0.

(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：点P在定直线上.20．已知SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0的垂心为SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0（斜率为SKIPIF1<0）交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0，使得射线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0？若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；