新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题30 圆锥曲线中的定值问题(解析版)

专题30圆锥曲线中的定值问题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则SKIPIF1<0为常数．若C的离心率为2，则该常数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由题得SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.故选：D

2．已知椭圆SKIPIF1<0，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，SKIPIF1<0，直线m经过点B且垂直于x轴，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交m于点M，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.3．已知F为抛物线C：SKIPIF1<0的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（

）A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P【解析】抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C.4．过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P.已知SKIPIF1<0是一个定值，则该定值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，依题意可知直线SKIPIF1<0的斜率存在，设其方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并化简得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以弦SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D5．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为坐标原点，记直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D6．双曲线SKIPIF1<0和椭圆SKIPIF1<0的右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0上第一象限内不同于SKIPIF1<0的点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四条直线SKIPIF1<0的斜率之和为（

）A．1 B．0 C．SKIPIF1<0 D．不确定值【解析】设SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别代入双曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：B.7．双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上任意一点，且SKIPIF1<0在第一象限，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．与SKIPIF1<0位置有关【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.所以左顶点SKIPIF1<0，右焦点SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由点SKIPIF1<0在第一象限，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.故选：C8．已知P为椭圆SKIPIF1<0上任意一点，点M，N分别在直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为定值，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为定值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．故选：D.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知抛物线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．存在某条直线SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．若点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值为SKIPIF1<0【解析】由对称性得点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A选项正确；设直线SKIPIF1<0和双曲线交于SKIPIF1<0两点，设直线方程为SKIPIF1<0，代入抛物线方程可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0故B选项正确；则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故C错误；如图，过点SKIPIF1<0作准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，

过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于准线，垂足为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0时取等号，故D选项正确．故选：ABD．10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右顶点，过点SKIPIF1<0且斜率不为零的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别表示直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率，则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点的轨迹方程是SKIPIF1<0【解析】对于A：设交点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在椭圆上，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.选项SKIPIF1<0正确；对于B：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选项B正确；对于C：联立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，相除得SKIPIF1<0，故选项C错误；对于D：设直线SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0③，直线SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0④，联立③④，消SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，结合选项B中①②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.D正确；故选：ABD.11．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且双曲线SKIPIF1<0的左焦点在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右支上位于第一象限的动点，记SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0 B．双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0 D．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【解析】对于A选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，A错；对于B选项，由题意可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，B对；对于C选项，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，易知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，C对；对于D选项，由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，D错.故选：BC.12．点SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点且SKIPIF1<0．点P为椭圆上任意一点，SKIPIF1<0的面积的最大值是1，点M的坐标为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点，则下列结论成立的是（

）A．椭圆的离心率SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的值与k相关C．SKIPIF1<0的值为常数SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的值为常数-1【解析】由已知得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则离心率SKIPIF1<0，A正确；又椭圆方程为SKIPIF1<0，设过点SKIPIF1<0且斜率为k的直线L的方程为SKIPIF1<0，与椭圆方程联立消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，C正确.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交该抛物线于SKIPIF1<0两点，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的斜率之和为．【解析】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，作准线SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，作准线SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.14．已知椭圆SKIPIF1<0的左顶点为A，O为坐标原点，直线SKIPIF1<0与椭圆C交于M，N两点，射线SKIPIF1<0与椭圆C交于点P，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．

设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式作差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而射线SKIPIF1<0与椭圆C交于点P，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，15．已知点M、N分别是椭圆SKIPIF1<0上两动点，且直线SKIPIF1<0的斜率的乘积为SKIPIF1<0，若椭圆上任一点P满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为.【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又P在椭圆上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.16．已知A，B是双曲线SKIPIF1<0上的两个动点，动点P满足SKIPIF1<0，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值，则该定值为．【解析】设SKIPIF1<0,则由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的斜率,根据题意,可知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上,设该双曲线的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，由双曲线定义可知||SKIPIF1<0为定值，该定值为SKIPIF1<0.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知双曲线SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上；

(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（不与SKIPIF1<0点重合），且两条直线的斜率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求证：SKIPIF1<0的面积为定值.【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）依题意可知SKIPIF1<0斜率存在，设方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0舍去，2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，此时，将SKIPIF1<0代入①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（定值）18．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0实轴SKIPIF1<0长为4（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左侧），双曲线SKIPIF1<0上第一象限内的一点SKIPIF1<0到两渐近线的距离之积为SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)设过SKIPIF1<0的直线与双曲线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，记直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①SKIPIF1<0为定值；②SKIPIF1<0为定值；③SKIPIF1<0为定值【解析】（1）设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两条渐近线，SKIPIF1<0到两条渐近线的距离之积SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0；（2）正确结论：③SKIPIF1<0为定值.证明如下：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，所以可设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立：SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不是定值，②SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不是定值，③SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是定值.

19．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0.点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上不同于顶点的任意一点，射线SKIPIF1<0分别与椭圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为8.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由椭圆的离心率SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0．（2）证明：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可设直线PA的方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

同理可得，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是定值．20．如图3所示，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左焦点和右顶点，点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）.

(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0并延长交抛物线的准线于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）因为点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）证明：由（1）可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然直线SKIPIF1<0的斜率不为0，故可设为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0.同理：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0.21．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若直线l与SKIPIF1<0交于M，N两点，与SKIPIF1<0交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为定值．【解析】（1）由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0