735已知三角函数值求角课件高一下学期数学人教B版

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数学

必修第三册第七章三角函数7.3.5已知三角函数值求角课标定位素养阐释1.掌握已知三角函数值求角的方法,并能根据已知的三角函数值求角.2.能用符号arcsin

x,arccos

x,arctan

x表示角.3.培养数学抽象、直观想象、数学运算素养.自主预习新知导学一、已知正弦值求角1.函数y=sinx,x∈R,y∈[-1,1],对任一x值,有几个y值与之对应?对于任一y值,有几个x值与之对应?提示:一个;无数个.2.对于函数y=sinx,x∈

,y∈[-1,1],对于任一y值,有多少个x值与之对应?提示:一个.二、已知余弦值求角1.已知cosx=,若x∈[0,π],则x的值是什么?若x∈[π,2π],则x的值是什么?2.在区间[0,π]内,满足cosx=y(y∈[-1,1])的x只有一个,记作arccosy,即x=arccosy.

三、已知正切值求角

【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(4)在区间[0,2π]上,满足条件sinx=a(-1≤a≤1)的x有2个.(

)(5)在区间[0,2π]上,满足条件cosx=a(-1≤a≤1)的x有2个.(

)√××××√合作探究释疑解惑探究一已知正弦值求角已知三角函数值求角的步骤:(1)定象限:由已知函数值的正负确定角所在的象限.(2)找锐角:若函数值为正值,则先求出对应的锐角α;若函数值为负值,则先求出与其绝对值相对应的锐角α.(3)求符合条件的角:根据角所在的象限,利用诱导公式写出区间[0,2π]范围内的角(α,π-α,π+α,2π-α);若要求出区间[0,2π]范围外的角,则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果.【变式训练1】

若sinα=,试根据下列范围,利用符号arcsinx表示角α.(1)若α为锐角,则α=

;

(2)若α为三角形内角,则α=

;

(3)若α∈[0,2π],则α=

;

(4)若α∈R,则α=

.

探究二已知余弦值求角【例2】

已知cosx=-,求满足下列条件的x的取值集合:(1)x∈[0,π];

(2)x∈[0,2π].cos

x=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,x=arccos

a;当x∈R时,可先求得区间[0,2π]上的解,再利用周期性可求得R上的所有解.【变式训练2】

已知cosx=-0.287,(1)当x∈[0,π]时,求x;(2)当x∈R时,求x的取值集合.解:∵cos

x=-0.287<0,∴先求出cos

x=0.287的锐角x1,即x1=arccos

0.287.(1)∵cos

x=-0.287<0,x∈[0,π],∴x是钝角,x=π-arccos

0.287.(2)当x∈R时,先求出区间[0,2π]上的解,∵cos

x=-0.287,∴x是第二象限角或第三象限角.∴x=π-arccos

0.287或x=π+arccos

0.287.∴所求x的取值的集合是{x|x=2kπ+π-arccos

0.287或x=2kπ+π+arccos

0.287,k∈Z},即{x|x=(2k+1)π±arccos

0.287,k∈Z}.探究三已知正切值求角【例3】

已知tanα=-3.(2)若α∈R,求角α.∴α=arctan(-3).(2)由(1)及正切函数的周期性知,α=kπ+arctan(-3),k∈Z.1.已知角的正切值求角,可先求出区间

内的角,再由y=tan

x的周期性表示所给范围内的角.2.tan

α=a,a∈R的解集为{α|α=kπ+arctan

a,k∈Z}.【变式训练3】

已知tanx=-1,写出在区间[-2π,0]上满足条件的x.易错辨析因忽略角的范围致错【典例】

已知cosα=,α∈[0,2π],求角α.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?提示:上面解法中忽视了α∈[0,2π],-arccos∉[0,2π].求解此类问题时,为避免产生错误,我们既要清楚arcsin

x,arccos

x,arctan

x的范围,还要注意所求角的范围.答案:π-