江苏省苏州市园区五校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年江苏省苏州市园区五校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+x＝x（x﹣2） C． D．x2＝2x2．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）3．（3分）已知⊙O的半径为4，平面内有一点M．若OM＝5，则点M与⊙O的位置关系是（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定4．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+15．（3分）下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，那么∠AOE＝（）A．35° B．75° C．80° D．115°7．（3分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界 C．球会过球网并会出界 D．无法确定8．（3分）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，连接OP，OM，OP＝8，则线段OM的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．9．（3分）关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是．11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为．12．（3分）若点A（﹣1，y1），B，C（2，y3）在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为（用“＞”连接）．13．（3分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，则共有个班参赛．14．（3分）如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，垂足为M，OM：OC＝3：5cm．15．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞02＜﹣4a；④．其中正确结论有．（填写所有正确结论的序号）16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），则t＝三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．17．（6分）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣5＝0；（2）（x﹣5）（x+1）＝2x﹣10．18．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为4，求m的值．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若+＝8﹣3x1x2，求m的值．20．（6分）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．21．（6分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，求香水瓶的高度h为多少？22．（8分）规定：若某一个函数图象上存在一个点的横坐标与其纵坐标互为相反数，则称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．（1）若抛物线y＝ax2﹣5x+a﹣3（a为常数）上有且只有一个“反点”，求a的值；（2）若抛物线y＝（a﹣1）x2+bx+2（a、b为常数，a≠1）对于任意的常数b恒有两个“反点”，求a的取值范围．23．（8分）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点A，B，C．（1）请用尺规作图画出该残片的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm24．（8分）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）结合函数图象，当0≤x≤4时，直接写出y的取值范围：；（2）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．25．（8分）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程—开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2）（1）当点D在线段AB上时，①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？26．（10分）项目式学习．如何确定隧道中警示灯带的安装方案？素材12022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽AB为10m，高OC为5m．素材2货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8m（灯带宽度可忽略）（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm．灯带安装好后成轴对称分布．问题解决任务1确定隧道形状在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究安装范围在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．任务3拟定设计方案求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣4，0）（1）求二次函数的表达式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且∠DEB＝90°；②如图2，点P为抛物线上一点，连接DP交y轴于点E，若

2024-2025学年江苏省苏州市园区五校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+x＝x（x﹣2） C． D．x2＝2x【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”进行求解即可．【解答】解：A、ax2+bx+c＝0，当a＝4时，故不符合题意；B、把x2+x＝x（x﹣2）化简为5x＝0，该方程不为一元二次方程；C、该方程是分式方程，故不符合题意；D、x2＝3x是一元二次方程，故符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数的解析式可以直接写出抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4，∴该抛物线的顶点坐标是（3，4），故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的顶点坐标．3．（3分）已知⊙O的半径为4，平面内有一点M．若OM＝5，则点M与⊙O的位置关系是（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】设圆的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，当d＞r时，则点P在圆外；当d＝r时，点P在圆上；当d＜r时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与⊙O位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为4，OM＝5∴点M到圆心的距离大于圆的半径，∴点M在圆外．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是正确推理．4．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律2﹣1向左平移4个单位，再向下平移2个单位2﹣2﹣2，即y＝2（x+8）2﹣3，故选：B．【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．5．（3分）下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴【考点】圆周角定理；轴对称的性质；圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆周角定理、垂径定理及圆的对称性分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、等弧所对的圆周角相等，符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，不符合题意；C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，不符合题意；D、圆是轴对称图形，故原命题错误，故选：A．【点评】考查了圆周角定理、垂径定理及圆的对称性等知识，解题的关键是了解有关性质或定理，难度不大．6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，那么∠AOE＝（）A．35° B．75° C．80° D．115°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据题意先求出∠BOE＝3∠BOC＝105°，再利用邻补角即可求出∠AOE即可．【解答】解：∵D，C是劣弧EB ，∠BOC＝35°，∴∠BOE＝3∠BOC＝105°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝75°，故选：B．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握弧与圆心角的关系是解题的关键．7．（3分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界 C．球会过球网并会出界 D．无法确定【考点】二次函数的应用．【分析】利用球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，可得k＝6，h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出函数解析式；利用当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45，当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，分别得出即可．【解答】解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+6.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）8+2.6过点（3，2），∴2＝a（6﹣6）2+7.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+7.6，当x＝9时，y＝﹣2+2.2＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝4时，﹣（x﹣6）4+2.6＝3，解得：x1＝6+3＞18，x2＝6﹣6（舍去）故会出界．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意求出函数解析式是解题关键．8．（3分）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，连接OP，OM，OP＝8，则线段OM的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；三角形中位线定理．【分析】设OP为⊙O交于点N，连接MN，OQ，如图，由题意可知ON＝OP，从而可知MN为△POQ的中位线，由三角形中位线的性质可知MN＝OQ＝4；当点M、O、N在一条直线上时，OM有最小值，接下来依据OM＝ON﹣MN求解即可．【解答】解：设OP为⊙O交于点N，连接MN，如图，∵OP＝8，ON＝4，∴N是OP的中点．∵M是PQ的中点，N是OP的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN＝OQ＝，∴点M在以N为圆心，2为半径的圆上．∵当点M在ON上时，OM最小，∴线段OM的最小值为2．故选：A．【点评】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．9．（3分）关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＞﹣4且m≠0．【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．【解答】解：关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）4﹣4×m×（﹣1）＝16+8m＞0且m≠0，解得m＞﹣7且m≠0，故答案为：m＞﹣4且m≠4．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，则方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数图象，可以得到抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴与x轴的一个交点，从而可以写出另一个交点，然后即可得到当y＝0时对应的x的值，即方程x2+bx+c＝0的解．【解答】解：由图象可得，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣8，∴该抛物线于x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴当y＝8时，0＝x2+bx+c对应的x的值是x5＝﹣1，x2＝2，故答案为：x1＝﹣1，x3＝3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是写出抛物线与x轴的交点坐标．11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为（x﹣1）2＝2．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：移项得，x2﹣2x＝6，配方得，x2﹣2x+8＝1+1，（x﹣8）2＝2．故答案为：（x﹣3）2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12．（3分）若点A（﹣1，y1），B，C（2，y3）在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为y1＞y2＞y3（用“＞”连接）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2+k的开口向上，对称轴为直线x＝2，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【解答】解：y＝（x﹣2）2+k，∵a＝6＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，∵点A（﹣2，y1）离直线x＝2的距离最远，C（6，y3）在直线x＝2上，∴y4＞y2＞y3．故答案为：y8＞y2＞y3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．（3分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，则共有6个班参赛．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设共有x个班参赛，根据每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设共有x个班参赛，根据题意得：x（x﹣7）＝15，解得：x1＝6，x6＝﹣5（不合题意，舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（3分）如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，垂足为M，OM：OC＝3：58cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】由圆的直径求出半径，得出OC的长，根据OM与OC的比值求出OM的长，连接OA，由DC垂直于AB，利用垂径定理得到M为AB的中点，在直角三角形AOM中，由OA与OM的长，利用勾股定理求出AM的长，即可求出AB的长．【解答】解：∵圆O直径CD＝10cm，∴圆O半径为5cm，即OC＝5cm，∵OM：OC＝6：5，∴OM＝OC＝3（cm），连接OA，∵AB⊥CD，∴M为AB的中点，即AM＝BM＝，在Rt△AOM中，OA＝5cm，根据勾股定理得：AM＝＝4（cm），则AB＝2AM＝2（cm）．故答案为：8【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．15．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞02＜﹣4a；④．其中正确结论有①③．（填写所有正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；利用＜﹣1，可判断③；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误【解答】解：①由抛物线开口向上，则a＞0，∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，b＝﹣2a＜5，且2a+b＝0，又∵﹣3＜c＜﹣1，∴abc＞0，故①是正确的；②二次函数y＝ax6+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，3），∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴另一交点为（2，0），∴当x＝2时，y＝2a+2b+c＜0，③∵二次函数y＝ax6+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，a＞3，∴最小值：＜﹣1，∵a＞0，∴2ac﹣b2＜﹣4a，故③正确；④∵图象与y轴的交点B在（2，﹣2）和（0，∴﹣3＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣5a＜﹣1，∴＜a＜．故答案为：①③．【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），则t＝﹣8．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【分析】求出函数与x轴另外一个交点的坐标，则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6，则﹣3an2＝﹣6，即可求解．【解答】解：函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n，由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x8+2nx﹣3n4）＝ax2+bx﹣6即：﹣4an2＝﹣6，解得：an5＝2，当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+5nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t，故答案为﹣4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．17．（6分）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣5＝0；（2）（x﹣5）（x+1）＝2x﹣10．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0，x2﹣7x＝5，x2﹣5x+9＝14，即（x﹣3）7＝14，∴x﹣3＝，∴x1＝5+，x2＝3﹣；（2）（x﹣2）（x+1）＝2x﹣10，（x﹣4）（x+1）﹣2（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x+2﹣2）＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣1＝7，∴x1＝5，x5＝1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为4，求m的值．【考点】根的判别式．【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到Δ＝4，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）先把x＝4代入方程x2+2mx+m2﹣1＝0得16+8m+m2﹣1＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝4m2﹣6（m2﹣1）＝4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）把x＝4代入方程x8+2mx+m2﹣7＝0得16+8m+m6﹣1＝0，整理得m6+8m+15＝0，解得m4＝﹣3，m2＝﹣3，即m的值为﹣3或﹣5．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若+＝8﹣3x1x2，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，结合+＝8﹣3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣4）x+m2＝0有实数根．∴Δ＝[﹣4（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣7m≥0，解得：m≤．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣5）x+m2＝0的两个根分别为x7、x2，∴x1+x3＝2m﹣2，x8•x2＝m2，∵+＝8﹣3x8x2，∴（x1+x8）2﹣2x6•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，解得：m1＝﹣，m2＝4（舍去），∴实数m的值为﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式Δ≥0是解题的关键．20．（6分）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（11﹣x），根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为（11﹣x），x2+（11﹣x）2＝85，解得：x3＝2，x2＝7．当x＝2时，两位数为92，当x＝9时，两位数为29．答：两位数为92或29．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（6分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，求香水瓶的高度h为多少？【考点】由三视图判断几何体；勾股定理；矩形的性质；垂径定理的应用．【分析】如图2中，过点O作OM⊥BC于点M交EF于点N，连接OC，OF．利用垂径定理，勾股定理求出OM，ON，可得结论．【解答】解：如图2中，过点O作OM⊥BC于点M交EF于点N，OF．∵BC∥EF，OM⊥BC，∴ON⊥EF，∴CM＝BC＝，NF＝×4.8＝3.4（cm），∴OM＝＝＝2.4（cm）＝＝0.4（cm），∴h＝AB+OM+ON＝2.6+3.4+0.2＝5.7（cm）．【点评】本题考查由三视图判断几何体，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题．22．（8分）规定：若某一个函数图象上存在一个点的横坐标与其纵坐标互为相反数，则称这个函数是“自反”函数，这个点是这个函数的“反点”．（1）若抛物线y＝ax2﹣5x+a﹣3（a为常数）上有且只有一个“反点”，求a的值；（2）若抛物线y＝（a﹣1）x2+bx+2（a、b为常数，a≠1）对于任意的常数b恒有两个“反点”，求a的取值范围．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）根据定义，可得y＝ax2﹣5x+a﹣3与y＝﹣x只有1个交点，根据判别式即可求解；（2）根据定义联立二次函数解析式与y＝﹣x，令Δ1＞0，得到关于b的代数式，根据代数式恒大于0，令Δ2＜0，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，，∴ax2﹣4x+a﹣3＝0有两个相等的实数解．∴Δ＝b2﹣7ac＝16﹣4a（a﹣3）＝6，解得：a＝﹣1或a＝4．（2）由题意，∵关于x的二次函数y＝（a﹣6）x2+bx+2（a≠5，n为常数）对于任意的常数b恒有两个“反点”，∴．∴（a﹣1）x2+（b+7）x+2＝0有两个不等实数根，∴b5+2b﹣8a+2＞0．∴关于b的二次函数y＝b2+4b﹣8a+9与x轴无交点．∴Δ7＝22﹣5（﹣8a+9）＜2．∴a＜1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数交点问题、反比例函数与几何图形、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质，理解新定义并熟练应用是解题的关键．23．（8分）近期，考古学家在一次考古工作中发现了一块古代圆形残片玉佩，如图所示，需要找出其圆心．已知弧上三点A，B，C．（1）请用尺规作图画出该残片的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）作线段AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为所求；（2）连接BC，OA，OC，AO交BC于点T．利用勾股定理规划局发出求解．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）连接BC，OA，AO交BC于点T．∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，BT＝CT＝，∴AT＝＝＝6，在Rt△OTC中，R2＝72+（R﹣6）2，∴R＝．答：圆片的半径R为cm．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．24．（8分）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）结合函数图象，当0≤x≤4时，直接写出y的取值范围：﹣2≤y≤18；（2）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线解析数求得抛物线与坐标轴的交点坐标，结合函数图象作答即可；（2）过点M作MN⊥x轴于点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，ON＝﹣x，OB＝1，OC＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）在y＝x2+x﹣2中，令x＝2，则y＝﹣2，﹣2）．令y＝4，则x2+x﹣2＝3，解得x1＝﹣2，x7＝1，所以A（﹣2，4），0）．当x＝4时，y＝42+4﹣2＝18．由函数图象知，当0≤x≤4时，故答案为：﹣3≤y≤18；（2）由x＝0，得y＝﹣2，∴C（8，﹣2），过点M作MN⊥x轴于点N，设点M（x，x2+x﹣6），则AO＝2，OB＝1，MN＝﹣（x7+x﹣2）＝﹣x2﹣x+5，S四边形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC＝×2×（﹣x2﹣x+3）+×2×（﹣x）+×1×6＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+4，∵﹣1＜0，∴当x＝﹣4时，S四边形ABCM的最大值为4．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．25．（8分）为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程—开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2）（1）当点D在线段AB上时，①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；（2）DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设小型农场DBEF的面积为S，求出关于DF的长x的函数关系式，根据二次函数的性质及即可解答．【解答】解：（1）①设DF的长为x米，∵点D在线段AB上，∴EF＝14﹣2x﹣（x﹣1）＝（15﹣7x）米，∵AB＝3，∴EF≤3，即15﹣7x≤3，∴x≥4；②设DF的长为x米，根据题意得：x（15﹣4x）＝12，解得：x1＝4，x8＝1（此时点D不在线段AB上，舍去），∴x＝4，答：小型农场的长DF为4米；（2）设小型农场DBEF的面积为S，DF的长为x米，①点D在线段AB上，由（1）知此时x≥4，则S＝x（15﹣3x）＝﹣5x2+15x＝﹣3（x﹣）2+，∵a＝﹣3＜0，抛物线对称轴是直线x＝，∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小，∴x＝4时，S有最大值，S最大值＝﹣3×42+15×3＝12（平方米）；②点D在线段BA的延长线上，此时x＜4，则S＝（15﹣3x+3）x＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣7）2+，∵a＝﹣＜0，∴x＝2时，S有最大值，S最大值＝，∴x＝3时，S最大值＝（平方米）；∵＞12，∴小型农场的宽DF为3米时，小型农场DBEF的面积最大平方米．【点评】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．26．（10分）项目式学习．如何确定隧道中警示灯带的安装方案？素材12022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽AB为10m，高OC为5m．素材2货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8m（灯带宽度可忽略）（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm．灯带安装好后成轴对称分布．问题解决任务1确定隧道形状在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究安装范围在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围．任务3拟定设计方案求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系【考点】二次函数的应用；坐标与图形变化﹣对称．【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；任务2：根据普通货车的高度大约为2.5m，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm，计算悬挂点的纵坐标的最小值是3.2m；任务3：两种方案：分别挂7条和8条．【解答】解：任务1：以O为原点，以AB所在直线为x轴，∴顶点C为（0，8），∵抛物线过A（﹣5，0），设抛物线的解析式为：y＝ax3+5，把A（﹣5，6）代入解析式得：25a2+5＝