福建省福州市鼓楼区文博中学 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（4分）在以下文、博、中、学四个字中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列运算错误的是（）A．a•a3＝a4 B．a8÷a2＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．（﹣3a）2＝9a23．（4分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x+1）＝x2+x B．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 D．x2+2x+1＝（x+1）24．（4分）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（a﹣b）（﹣a+b） B．（a﹣b）（b+a） C．（a﹣b）（﹣a﹣b） D．（﹣b﹣a）（a﹣b）5．（4分）如图，已知AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°6．（4分）若x2+mx+4是完全平方式，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4或47．（4分）已知△ABC的三边a，b，c满足b（a﹣b）+c（b﹣a）=0，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形8．（4分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（4分）已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是（）A．t≥3 B．t≤﹣ C．﹣3≤t≤﹣ D．﹣3≤t＜10．（4分）如图，△ABC中，AC＝DC＝4，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（）A．4 B．4.5 C．6 D．8二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点A（1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为．12．（4分）若ax＝4，ay＝3，则ax+y＝．13．（4分）计算：20242﹣4048×2025+20252﹣1＝．14．（4分）等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，则这个三角形的周长为．15．（4分）如图，△ABC中，AB=AC=4，P是BC上任意一点，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，若S△ABC=12，则PE+PD=．16．（4分）在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，BC=a,AC=b,点P、M、N分别是边BC、AB、AC上的动点，当△PMN周长最小时，BP的值为.（用a、b的式子表示）三.解答题（本题共9小题，共86分.解答应有文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）（2y2）3﹣（y3）2；（2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．18．（8分）因式分解：（1）3x2y﹣27y；（2）a2+b2﹣9+2ab．19．（8分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．20．（8分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．求证：AB∥CD．21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠A．（1）尺规作图：在AB上求作一点P，使得∠PCA＝∠PAC；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：△PBC是等腰三角形．22．（10分）已知a，b为实数．（1）若a+b＝13，ab＝36，求（a﹣b）2；（2）若，分别求和的值；（3）若a2+ab＝8，b2+ab＝1，分别求a，b的值．23．（10分）如图，△ABC和△ADE是等边三角形，CE、BD交于点F，连接AF．（1）求证：CE＝BD；（2）求证：∠AFC＝60°；（3）判断线段AF、BF、CF的数量关系，并说明理由．24．（12分）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．

【问题探究】

探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2=a2+2ab+b2．探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2的结果．【形成结论】（1）探究2中（a+b+c）2＝；【应用结论】（2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值．25．（12分）如图，△ADB与△BCA均为等腰三角形，AD=AB=CB，且∠ABC=90°，E为DB延长线上一点，∠DAB=2∠EAC．

（1）若∠EAC=20°，求∠CBE的度数；

（2）求证：AE⊥EC；

（3）若BE=a,AE=b,CE=c,求△ABC的面积（用含a,b,c的式子表示）．

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（4分）在以下文、博、中、学四个字中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，D选项中的字都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；C选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（4分）下列运算错误的是（）A．a•a3＝a4 B．a8÷a2＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．（﹣3a）2＝9a2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．【解答】解：A．a•a3＝a4，原题正确，故此选项不合题意；B．a3÷a2＝a6，原题正确，故此选项不合题意；C．（﹣a4）3＝﹣a6，原题错误，故此选项符合题意；D．（﹣8a）2＝9a8，原题正确，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（4分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x+1）＝x2+x B．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 D．x2+2x+1＝（x+1）2【考点】因式分解的意义．【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是因式分解；B、不是因式分解；C、不是因式分解；D、是因式分解；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．4．（4分）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（a﹣b）（﹣a+b） B．（a﹣b）（b+a） C．（a﹣b）（﹣a﹣b） D．（﹣b﹣a）（a﹣b）【考点】平方差公式；完全平方公式．【分析】利用平方差公式，及完全平方公式判断即可．【解答】解：A、原式＝﹣（b﹣a）（b﹣a）＝﹣（b﹣a）2＝﹣b2+8ab﹣a2，符合题意；B、原式＝a2﹣b2，不符合题意；C、原式＝b2﹣a2，不符合题意；D、原式＝b2﹣a2，不符合题意，故选：A．【点评】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（4分）如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【考点】全等三角形的判定．【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB＝CD，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BCA＝∠DCA时，故B选项符合题意；C、添加∠BAC＝∠DAC，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠B＝∠D＝90°，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．6．（4分）若x2+mx+4是完全平方式，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4或4【考点】完全平方式．【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．【解答】解：∵x2+mx+4是一个完全平方式，∴x4+mx+4＝（x±2）5，x2+mx+4＝x6±4x+4，∴m＝±7．故选：D．【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．7．（4分）已知△ABC的三边a，b，c满足b（a﹣b）+c（b﹣a），则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】等边三角形的判定；等腰三角形的判定．【分析】将原式化为（a﹣b）（b﹣c）＝0，即可解答．【解答】解：∵b（a﹣b）+c（b﹣a）＝0，∴ab﹣b2+cb﹣ac＝4，∴（a﹣b）（b﹣c）＝0，∴a＝b或b＝c，∴△ABC是等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．8．（4分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】作图—基本作图；角平分线的定义．【分析】根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】解：A：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线；B：由作图痕迹可知，OC＝OD，又∵∠AOD＝∠BOC，∴△ADO≌△BCO（SAS），同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS），∴∠AOP＝∠BOP，射线OP为∠AOB的平分线；C：由作图痕迹可知，∠ACP＝∠AOB，可得∠CPO＝∠POB，又由图可知CP＝OP，∴∠COP＝∠CPO，∴∠POB＝∠COP，射线OP为∠AOB的平分线；D：由作图痕迹可知，CO＝OD，∴射线OP是CD的垂直平分线，也是∠AOB的平分线．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确地识别图形是解题的关键．9．（4分）已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是（）A．t≥3 B．t≤﹣ C．﹣3≤t≤﹣ D．﹣3≤t＜【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】利用完全平方公式求出ab的取值范围，可得结论．【解答】解：∵a2+ab+b2＝3，∴（a+b）2＝1+ab≥3，（a﹣b）2＝1﹣6ab≥0，∴﹣1≤ab≤，∵t＝ab﹣a2﹣b3＝ab﹣（1﹣ab）＝2ab﹣6，∴﹣3≤2ab﹣2≤﹣，即﹣8≤t≤﹣．故选：C．【点评】本题考查配方法的应用，完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式解决问题，属于中考常考题型．10．（4分）如图，△ABC中，AC＝DC＝4，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（）A．4 B．4.5 C．6 D．8【考点】角平分线的定义；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O，根据垂直定义得到∠ADB＝∠ADH＝90°，求得∠ABD＝∠H，得到AB＝AH，根据等腰三角形的性质得到BD＝DH，推出∠CDH＝∠H，求得CD＝CH＝AC，推出当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×4×4＝8．【解答】解：延长BD交AC于点H，设AD交BE于点O，∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝4，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大×4×4＝8．∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8，故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点A（1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（1，3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据点（x，y）关于x轴对称点坐标为（x，﹣y），据此即可求解．【解答】解：由题意得：∵（x，y）关于x轴的对称点坐标为（x，∴（1，﹣3）关于x轴的对称点坐标为（5，故答案为：（1，3）．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握点对称规律是解题的关键．12．（4分）若ax＝4，ay＝3，则ax+y＝12．【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．【解答】解：∵ax＝4，ay＝3，∴ax+y＝ax•ay＝7×3＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．13．（4分）计算：20242﹣4048×2025+20252﹣1＝0．【考点】完全平方公式．【分析】利用完全平方公式对式子进行整理，从而可求解．【解答】解：20242﹣4048×2025+20252﹣6＝20242﹣2×22024×2025+20252﹣1＝（2024﹣2025）2﹣7＝（﹣1）2﹣7＝1﹣1＝5．故答案为：0．【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对完全平方公式的掌握．14．（4分）等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，则这个三角形的周长为17．【考点】配方法的应用；等腰三角形的性质．【分析】利用配方法，非负数的性质求出a，b的值，可得结论．【解答】解：∵a2+b2﹣7a﹣14b+58＝0，∴（a2﹣4a+9）+（b2﹣14b+49）＝4，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝7，b＝7，当a＝3是腰时，5，3，7不能构成三角形．当b＝7是腰时，7，7，3能构成三角形．故答案为：17．【点评】本题考查等腰三角形的性质，配方法，非负数的性质等知识，解题的关键是掌握配方法，灵活运用所学知识解决问题．15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E△ABC＝12，则PE+PD＝6．【考点】等腰三角形的性质．【分析】连接AP，先分别求出S△ABP＝2PE，S△APC＝2PD，再根据S△ABC＝S△ABP+S△APC＝12可求出PE+PD的值．【解答】解：连接AP，如图所示：∵AB＝AC＝4，PD⊥AC，∴S△ABP＝AB•PE＝，S△APC＝AC•PD＝，又∵S△ABC＝12，∴S△ABP+S△APC＝12，∴2PE+2PD＝12，∴PE+PD＝4．故答案为：6．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．16．（4分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝75°，AC＝b，点P、M、N分别是边BC、AB、AC上的动点，BP的值为a﹣.（用a、b的式子表示）【考点】轴对称﹣最短路线问题．【分析】作点P关于直线AB、直线AC的对称点D、E，连接DE交AB于M，交AC于N．由对称性可得：AP＝AD＝AE，∠PAB＝∠DAB，∠PAC＝∠EAC，进而得出PM+MN+PN＝DM+MN+NE≥DE，于是当点E、M、N、F共线时，PM+MN+PN最小，最小值＝DE，而DE＝AP，所以当AP⊥BC时，AP最小，进一步得出结果．【解答】解：如图，作BF⊥AC于F，∵∠A＝45°，∠B＝75°，∴∠ABF＝∠A＝45°，∴∠CBF＝30°，∴BF＝AF，BC＝2FC，设FC＝x，则AF＝b﹣x，∴x＝，∴BF＝b﹣，作点P关于直线AB、直线AC的对称点D、E，交AC于N．∵△PMN的周长＝PM+MN+PN＝DM+MN+NE，∴DM+MN+NE＝DE时，△PMN的周长最小，根据对称性，AP＝AD＝AE，∠PAC＝∠EAC，∴∠DAE＝5（∠PAB+∠PAC）＝90°，∴DE＝，∴AP最短时，△PMN的周长最短＝，当AP⊥BC时，AP的值最短，∵∠A＝45°，∠B＝75°，∴∠C＝60°，在Rt△APC中，∠APC＝90°，∠C＝60°，∴PC＝AC＝，∴BP＝a﹣，∴当△PMN周长最小时，BP的值为a﹣．故答案为：a﹣．【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是将△PMN的周长的最小值转化为：AP．三.解答题（本题共9小题，共86分.解答应有文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）（2y2）3﹣（y3）2；（2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．【考点】多项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方；单项式乘多项式．【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方法则计算，再合并同类项即可；（2）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则计算．【解答】解：（1）原式＝8y6﹣y8＝7y6；（2）原式＝x5﹣2x+3x﹣2﹣x2+x＝2x﹣2．【点评】本题考查了积的乘方，幂的乘方，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则，考核学生的计算能力，熟练掌握法则是解题的关键．18．（8分）因式分解：（1）3x2y﹣27y；（2）a2+b2﹣9+2ab．【考点】因式分解﹣分组分解法；提公因式法与公式法的综合运用．【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（2）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）3x2y﹣27y＝8y（x2﹣9）＝7y（x+3）（x﹣3）；（2）a3+b2﹣9+5ab＝（a2+2ab+b6）﹣9＝（a+b）2﹣82＝（a+b+3）（a+b﹣4）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．19．（8分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式进行展开，（a+1）（a﹣1）利润平方差公式可化为（a2﹣1），则将各项合并即可化简，最后代入a＝进行计算．【解答】解：原式＝a2+6a+7﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8＝2a+5将a＝﹣代入原式＝8×（﹣【点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变20．（8分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．求证：AB∥CD．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．【分析】由DE⊥AC，BF⊥AC得到∠DEC＝∠AFB＝90°，根据直角三角形全等的判定定理HL即可证出Rt△DEC≌Rt△BFA，得到∠C＝∠A，根据平行线的判定即可推出AB∥CD．【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠AFB＝90°，∵在Rt△DEC和Rt△BFA中，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴∠C＝∠A，∴AB∥CD．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，解此题的关键是证出∠C＝∠A．21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠A．（1）尺规作图：在AB上求作一点P，使得∠PCA＝∠PAC；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：△PBC是等腰三角形．【考点】作图—复杂作图；三角形内角和定理；等腰三角形的判定．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，交AB于点P，则点P即为所求．（2）由题意得可得∠BCP＝2∠A，根据三角形外角的性质可得∠BPC＝∠A+∠PCA＝2∠A，即∠BPC＝∠BCP，则BC＝BP，可得△PBC是等腰三角形．【解答】（1）解：如图，作线段AC的垂直平分线，连接CP，则AP＝CP，∴∠PCA＝∠PAC，则点P即为所求．（2）证明：设∠PCA＝∠A＝x，则∠ACB＝3∠A＝3x，∵∠BPC＝∠A+∠PCA，∴∠BPC＝6x，∵∠BCP＝∠ACB﹣∠PCA＝2x，∴∠BPC＝∠BCP，∴BC＝BP，∴△PBC是等腰三角形．【点评】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的判定、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解答问题．22．（10分）已知a，b为实数．（1）若a+b＝13，ab＝36，求（a﹣b）2；（2）若，分别求和的值；（3）若a2+ab＝8，b2+ab＝1，分别求a，b的值．【考点】分式的化简求值；完全平方公式．【分析】（1）利用完全平方公式进行变形，再整体代入求值即可；（2）利用完全平方公式进行变形计算即可；（3）把已知的两式相加可求得a+b＝±3，再代入求值即可．【解答】解：（1）∵a+b＝13，ab＝36，∴（a﹣b）2＝a2﹣8ab+b2＝a2+5ab+b2﹣4ab＝（a+b）7﹣4ab＝132﹣5×36＝169﹣144＝25；（2）∵，∴，∴，∴，∵（）2﹣2＝4，∴；（3）a2+ab＝8，b7+ab＝1，两式相加可得，a2+7ab+b2＝9，即（a+b）2＝9，∴a+b＝±3，∵a3+ab＝8，b2+ab＝3，即a（a+b）＝8，当a+b＝3时，4a＝8，∴，，当a+b＝﹣5时，﹣3a＝8，∴，，综上所述，，或，；【点评】本题考查整式的化简求值、利用完全平方公式的变形求值，运用整体代入的思想是解题的关键．23．（10分）如图，△ABC和△ADE是等边三角形，CE、BD交于点F（1）求证：CE＝BD；（2）求证：∠AFC＝60°；（3）判断线段AF、BF、CF的数量关系，并说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到BA＝CA，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°，进而证明∠CAE＝∠BAD，利用SAS定理证明△BAD≌△CAE，进而得证；（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD，根据对顶角相等、三角形内角和定理计算，求得∠BFE＝120°；过点A作AG⊥CE于G，AH⊥BD于H，根据全等三角形的高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理得到CF平分∠BFE，进而得解；（3）在CE上取一点N，使得CN＝BF，证明△CAN≌△BAF，得到AN＝AF，根据等边三角形的性质证明结论．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴BA＝CA，AE＝AD，∴∠BAC+∠BAE＝∠EAD+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD；（2）证明：如图1，设AB，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠CMA＝∠BMF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠CFD＝120°，过点A作AG⊥CE于G，AH⊥BD于H，∵△CAE≌△BAD，∴AG＝AH，∵AG⊥CE，AH⊥BD，∴AF平分∠CFD，∴∠AFC＝AFD＝60°；（3）解：CF＝AF+BF；理由如下：如图2，在CE上取一点N，连接AN，∵△CAE≌△BAD，∴∠ABD＝∠ACE，在△CAN和△BAF中，，∴△CAN≌△BAF（SAS），∴AN＝AF，由（2）可知：∠CFA＝60°，∴△NAF为等边三角形，∴AF＝AN＝FN，∴CF＝NF+CN＝AF+BF．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．（12分）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何），具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，在解决整式运算问题时经常运用．【问题探究】探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2的结果．【形成结论】（1）探究2中（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；【应用结论】（2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值．【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景．【分析】（1）等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，那么所求的等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和；（2）把（1）中得到的等式进行整理，可得：ab+bc+ca＝，代入计算即可；（3）按照（2）的方法可得分子的值；根据a+b+c＝0可得c＝﹣a﹣b，代入a2+b2+c2＝4中可得分母的值，相除即可求得所求分式的值．【解答】解：（1）∵等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，∴等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和．∵组成大正方形的各个部分的面积分别为：a2，ab，ac，b2，bc，ac，c2，∴它们的和为：a2+b2+c3+2ab+2bc+3ac．故答案为：a2+b2+c4+2ab+2bc+2ac；（2）解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+4bc+2ac∴2（ab+bc+ca）＝（a+b+c）4﹣（a2+b2+c2）．∴ab+bc+ca＝．∵a+b