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文档简介
2025届北京市顺义牛栏山一中高三下学期联合考试数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为120°,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线最小大致需要的长度为()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米2.已知直线是曲线的切线,则()A.或1 B.或2 C.或 D.或13.若实数满足的约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.4.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.5.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门。该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题模块。某人在学习过程中,“阅读文章”不能放首位,四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有()A.60 B.192 C.240 D.4326.等比数列的前项和为,若,,,,则()A. B. C. D.7.由曲线围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.8.一个频率分布表(样本容量为)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在上的频率为,则估计样本在、内的数据个数共有()A. B. C. D.9.已知,,,若,则()A. B. C. D.10.已知等差数列满足,公差,且成等比数列,则A.1 B.2 C.3 D.411.给出个数,,,,,,其规律是:第个数是,第个数比第个数大,第个数比第个数大,第个数比第个数大,以此类推,要计算这个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图如图,请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句,使之能完成该题算法功能()A.; B.;C.; D.;12.已知双曲线的左、右顶点分别为,点是双曲线上与不重合的动点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知椭圆方程为,过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,则面积的取值范围是____________.14.已知下列命题:①命题“∃x0∈R,”的否定是“∀x∈R,x2+1<3x”;②已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“”为真命题;③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件;④“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中所有真命题的序号是________.15.锐角中,角,,所对的边分别为,,,若,则的取值范围是______.16.已知数列满足:,,若对任意的正整数均有,则实数的最大值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知点,直线与抛物线交于不同两点、,直线、与抛物线的另一交点分别为两点、,连接,点关于直线的对称点为点,连接、.(1)证明:;(2)若的面积,求的取值范围.18.(12分)已知函数,,(1)讨论的单调性;(2)若在定义域内有且仅有一个零点,且此时恒成立,求实数m的取值范围.19.(12分)已知直线与抛物线交于两点.(1)当点的横坐标之和为4时,求直线的斜率;(2)已知点,直线过点,记直线的斜率分别为,当取最大值时,求直线的方程.20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.21.(12分)已知点,若点满足.(Ⅰ)求点的轨迹方程;(Ⅱ)过点的直线与(Ⅰ)中曲线相交于两点,为坐标原点,求△面积的最大值及此时直线的方程.22.(10分)在中,内角的对边分别是,满足条件.(1)求角;(2)若边上的高为,求的长.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由于实际问题中扇形弧长较小,可将导线的长视为扇形弧长,利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分,所以每部分的弦长和弧长相差很小,可以用弧长近似代替弦长,故导线长度约为63(厘米).故选:B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算,属于容易题.2、D【解析】
求得直线的斜率,利用曲线的导数,求得切点坐标,代入直线方程,求得的值.【详解】直线的斜率为,对于,令,解得,故切点为,代入直线方程得,解得或1.故选:D【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数,属于基础题.3、B【解析】
根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:将线性目标函数化为,则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;当经过时,截距最大值,,所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.4、D【解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.详解:令,因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,,所以排除选项C,选D.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.5、C【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法.注意按“阅读文章”分类.【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法,由于“阅读文章”不能放首位,因此不同的方法数为.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,考查捆绑法和插入法求解排列问题.对相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法.6、D【解析】试题分析:由于在等比数列中,由可得:,又因为,所以有:是方程的二实根,又,,所以,故解得:,从而公比;那么,故选D.考点:等比数列.7、A【解析】
先计算出两个图像的交点分别为,再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.【点睛】本题考察定积分的应用,属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.8、B【解析】
计算出样本在的数据个数,再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知,样本在的数据个数为,样本在的数据个数为,因此,样本在、内的数据个数为.故选:B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数,要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系,考查计算能力,属于基础题.9、B【解析】
由平行求出参数,再由数量积的坐标运算计算.【详解】由,得,则,,,所以.故选:B.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,考查数量积的坐标运算,掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.10、D【解析】
先用公差表示出,结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列,所以,解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题,化归基本量,寻求等量关系是求解的关键.11、A【解析】
要计算这个数的和,这就需要循环50次,这样可以确定判断语句①,根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和,循环变量的初值为1,所以步长应该为1,故判断语句①应为,第个数是,第个数比第个数大,第个数比第个数大,第个数比第个数大,这样可以确定语句②为,故本题选A.【点睛】本题考查了补充循环结构,正确读懂题意是解本题的关键.12、D【解析】
设,,,根据可得①,再根据又②,由①②可得,化简可得,即可求出离心率.【详解】解:设,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故选:D.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,考查了斜率的计算,离心率的求法,属于基础题和易错题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由题意,,则,得.由题意可设的方程为,,联立方程组,消去得,恒成立,,,则,点到直线的距离为,则,又,则,当且仅当即时取等号.故面积的取值范围是.14、②【解析】命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”,故①错误;“p∨q”为假命题说明p假q假,则(p)∧(q)为真命题,故②正确;a>5⇒a>2,但a>2⇒/a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故③错误;因为“若xy=0,则x=0或y=0”,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错误.15、【解析】
由余弦定理,正弦定理得出,从而得出,推出的范围,由余弦函数的性质得出的范围,再利用二倍角公式化简,即可得出答案.【详解】由题意得由正弦定理得化简得又为锐角三角形,则,,.故答案为【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题.16、2【解析】
根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.【详解】因为,累加可得.若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.所以.当时,证明:对任意的正整数都有.当时,成立.假设当时结论成立,即,则,即结论对也成立.由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.综上可知,所求实数的最大值是2.故答案为:2【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解析】
(1)设点、,求出直线、的方程,与抛物线的方程联立,求出点、的坐标,利用直线、的斜率相等证明出;(2)设点到直线、的距离分别为、,求出,利用相似得出,可得出的边上的高,并利用弦长公式计算出,即可得出关于的表达式,结合不等式可解出实数的取值范围.【详解】(1)设点、,则,直线的方程为:,由,消去并整理得,由韦达定理可知,,,代入直线的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)设点到直线、的距离分别为、,则,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韦达定理得,,,得,设点到直线的高为,则,,,,解得,因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与直线平行的证明,考查实数的取值范围的求法,考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是难题.18、(1)时,在上单调递增,时,在上递减,在上递增.(2).【解析】
(1)求出导函数,分类讨论,由确定增区间,由确定减区间;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得结论.【详解】(1)函数定义域是,,当时,,单调递增;时,令得,时,,递减,时,,递增,综上所述,时,在上单调递增,时,在上递减,在上递增.(2)易知,由函数单调性,若有唯一零点,则或.当时,,,从而只需时,恒成立,即,令,,在上递减,在上递增,∴,从而.时,,,令,由,知在递减,在上递增,,∴.综上所述,的取值范围是.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查函数零点个数与不等式恒成立问题,解题关键在于转化,不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值.这又可通过导数求解.19、(1)(2)【解析】
(1)设,根据直线的斜率公式即可求解;(2)设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,由韦达定理得,,结合直线的斜率公式得到,换元后讨论的符号,求最值可求解.【详解】(1)设,因为,即直线的斜率为1.(2)显然直线的斜率存在,设直线的方程为.联立方程组,可得则,令,则则当时,;当且仅当,即时,解得时,取“=”号,当时,;当时,综上所述,当时,取得最大值,此时直线的方程是.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式,直线与抛物线的位置关系,换元法,均值不等式,考查了运算能力,属于难题.20、(1),(2)最大值,最小值【解析】
(1)由曲线的参数方程,得两式平方相加求解,根据直线的极坐标方程,展开有,再根据求解.(2)因为曲线C是一个半圆,利用数形结合,圆心到直线的距离减半径即为最小值,最大值点由图可知.【详解】(1)因为曲线的参数方程为所以两式平方相加得:因为直线的极坐标方程为.所以所以即(2)如图所示:圆心C到直线的距离为:所以圆上的点到直线的最小值为:则点M(2,0)到直线的距离为最大值:【点睛】本题主要考查参数方程,普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.21、(Ⅰ);(Ⅱ)面积的最大值为,此时直线的方程为.【解析】
(1)根据椭圆的定义求解轨迹方程;(2)设出直线方程后,采用(表示原点到直线的距离)表示面积,最后利用基本不等式求解最值.【详解】解:(Ⅰ)由定义法可得,点的轨迹为椭圆且,.因此椭圆的方程为.(Ⅱ)设直线的方程为与椭
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