湖南衡阳正源学校2025届高考数学二模试卷含解析

湖南衡阳正源学校2025届高考数学二模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是()A． B． C． D．3．函数的定义域为，集合，则（）A． B． C． D．4．设复数满足，则（）A． B． C． D．5．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A． B． C． D．6．已知函数，则下列判断错误的是（）A．的最小正周期为 B．的值域为C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称7．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．8．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（）A．－1 B．1 C． D．9．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（）A．0 B．1 C． D．10．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于（）A．2 B．1 C． D．011．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（）A． B． C． D．12．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为()A．1 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在△ABC中，a＝3，，B＝2A，则cosA＝_____．14．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.15．设为数列的前项和，若，，且，，则________．16．已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为．（1）求线段长的最小值；（2）求点的轨迹方程．19．（12分）已知函数.（1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）若函数的两个极值点为，，求的最小值.20．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.21．（12分）已知.（1）解关于x的不等式：；（2）若的最小值为M，且，求证：.22．（10分）已知函数（是自然对数的底数，）.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】项，由得到，则，故项正确；项，当时，该不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．综上所述，故选．2、B【解析】

先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令，则当时，，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.3、A【解析】

根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数得，解得，即；又，解得，即，则.故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.4、D【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.5、D【解析】

由函数的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于的方程，对赋值即可求解.【详解】由题意知，函数的最小正周期为,即,由函数的图象平移变换公式可得，将函数的图象向右平移个周期后的解析式为，因为函数的图象关于轴对称，所以，即，所以当时，有最小正值为.故选：D【点睛】本题考查函数的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.6、D【解析】

先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】可得对于A，的最小正周期为,故A正确；对于B，由，可得，故B正确；对于C，正弦函数对称轴可得：解得：，当，，故C正确；对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：解得：若图象关于点对称，则解得：，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7、A【解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．则e=＞1．∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8、D【解析】

根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.【详解】如图所示：因为是△的中位线，所以到的距离等于△的边上高的一半，所以，由此可得，当且仅当时，即为的中点时，等号成立，所以，由平行四边形法则可得，，将以上两式相加可得，所以，又已知，根据平面向量基本定理可得，从而.故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.9、A【解析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【详解】输入，，因为，所以由程序框图知，输出的值为.故选：A【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.10、B【解析】

先求出，再利用投影公式求解即可.【详解】解：由已知得，由在方向上的投影为，得，则.故答案为：B.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.11、C【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.12、B【解析】

首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：可得：，，结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．【详解】解：∵a＝3，，B＝2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA．故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题．14、①③④【解析】

先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.【详解】∵，∴曲线在点处的切线方程为，则.∵，∴，则是首项为1，公比为的等比数列，从而，，.故所有正确结论的编号是①③④.故答案为：①③④【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题.15、【解析】

由题可得，解得，所以，，上述两式相减可得，即，因为，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以．16、【解析】

计算出，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【详解】，所以，所以.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值.【详解】（1）连接，设，连接，因为，所以，所以，在中，因为，所以，且平面，故平面.（2）因为，，，，，所以，因为，平面，所以平面，所以，，取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，，，，所以，因为，所以，所以点的坐标为，所以，，设为平面的法向量，则，令，解得，，所以，即为平面的一个法向量.，同理可求得平面的一个法向量为所以所以二面角的正弦值为【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、（1）（2）【解析】

（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为，当时，线段取得最小值，利用几何法求弦长即可.（2）当点与点不重合时，设，由利用向量的数量积等于可求解，最后验证当点与点重合时也满足.【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为即圆心，半径，曲线为过定点的直线，易知在圆内，当时，线段长最小为当点与点不重合时，设，化简得当点与点重合时，也满足上式，故点的轨迹方程为【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.19、（1）（2）【解析】分析：（1）先求导，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范围.(2)先由得到，再求得，再构造函数再利用导数求其最小值.详解：（1）由函数有意义，则由且不存在单调递减区间，则在上恒成立，上恒成立（2）由知，令，即由有两个极值点故为方程的两根，，，则由由，则上单调递减，即由知综上所述，的最小值为.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出,其二是构造函数再利用导数求其最小值.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得，，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），消去；得曲线的极坐标方程为.由，，，可得，即曲线的直角坐标方程为；（2）将直线的参数方程（为参数）代入的方程，可得，，设，是点对应的参数值，，，则.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）分类讨论求解绝对值不等式即可；（2）由（1）中所得函数，求得最小值，再利用均值不等式即可证明.【详解】（1）当时，等价于，该不等式恒成立，当时，等价于，该不等式解集为，当时，等价于，解得，综上，或，所以不等式的解集为.（2），易得的最小值为1，即因为，，，所以，，，所以，当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.22、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）在上恒成立，只需，注意到；（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以切线方程为，即.（2），.因