《目标跟踪系统中的滤波方法》课件第7章

第7章网络丢包条件下的滤波方法

7.1引言7.2噪声不相关时不变系统中网络丢包条件下的滤波算法7.3噪声相关时变系统中网络丢包条件下的滤波算法7.4非线性系统中网络丢包条件下的滤波算法7.5小结

7.1引言

在网络传输过程中，由于网络不稳定或者传输过程中各种因素的影响，可能造成发送数据中途丢失的现象。针对卡尔曼滤波中的丢包问题，文献[1]研究了估计误差协方差的统计收敛特性，结果表明丢包率存在一个临界点，当丢包率大于该临界点时，估计误差协方差开始发散。文献[2]建立了一个包含丢包率参数的模型。文献[3]在文献[2]的基础上，提出了噪声不相关条件下的时不变系统中具有丢包现象的最优滤波算法。文献[4]提出了噪声相关时变系统下具有丢包现象的最优滤波算法。文献[5]针对具有有限个连续丢包现象的情况，提出了一种最优滤波算法。文献[6]针对文献[5]的算法做了改进，减少了相关项的计算，去掉了非奇异系统矩阵和噪声相互独立的两个假设条件，提高了算法效率，拓宽了算法的应用范围。文献[7]从概率的角度考虑了在传输网络中存在无序量测现象的滤波算法。文献[8]充分考虑了滤波过程中的几种不确定因素，如存在随机数据传输滞后、丢包和丢失量测的情况，采用一个统一的框架来解决在这些不确定因素共存条件下的滤波问题。然而上述算法都是在卡尔曼滤波框架下讨论的，在线性高斯系统下能够取得最优的状态估计结果，但没有涉及对非线性系统的讨论。当然，针对非线性系统下的类似问题，一个很自然的做法是采用泰勒级数展开，求解状态转移方程和量测方程的雅可比矩阵或者Hessian矩阵，从而采用扩展卡尔曼滤波算法解决这些问题。上述将非线性系统线性化的做法针对弱非线性系统能够取得较好效果，但是对于强非线性系统滤波性能会严重退化。而在非线性丢包情况下，丢包概率已知而丢包序列未知的滤波问题尚未见诸文献。本章针对这一问题展开研究，应用概率加权的方法，求出在已知丢包概率情况下的伪量测序列，所求的伪量测序列包含了每一个滤波时刻的伪量测值，因此，可以直接将伪量测序列应用到非线性滤波算法如UKF或者PF算法中。由于非线性滤波算法与扩展卡尔曼滤波算法相比具有较高的滤波精度，因此本章算法能够取得良好的滤波精度。针对线性系统，也可以将伪量测序列应用在卡尔曼滤波算法中，与文献[4]相比其误差性能稍有下降，但是该方法能够降低算法复杂度。仿真实验结果已证明本章方法的有效性。

7.2噪声不相关时不变系统中网络丢包条件下的滤波算法

7.2.1问题描述

考虑下面的离散线性随机系统

xk+1=Φxk+Γwk

(7-1)

zk=Hxk+vk

(7-2)

其中，xk∈Rn是状态向量；zk∈Rm是量测输出，wk∈Rr和vk∈Rm分别是过程噪声和量测噪声；Φ，Γ，H是常矩阵。量测信息zk借助一条不可靠的网络传输到处理单元，在传输过程中存在数据丢失。在处理单元接收到的数据建模如下：

yk=ξkzk+(1－ξk)yk－1

(7-3)

其中，ξk是一个二值随机变量，且满足P{ξk=1}=α，P{ξk=0}=1－α，此处α表示数据抵达概率且与其它随机变量不相关。我们假定ξ1，ξ2，…，ξn序列的值不可知，但可以由经验值事先确定数据接收率α。上述模型是文献[2]中针对丢包问题给出的，该模型假定在当前数据包丢失的情况下，其值等于上一时刻数据包的值，而且该假设是一个迭代过程，更一般的形式可写为(7-4)特别地，如果ξk=0而ξk－1=1，即：zk丢失而zk－1已经收到，则上式为yk=zk－1，意味着前一时刻获得的量测输出直接应用于当前时刻。通过上式可以推出连续丢包情形下的情况。对于随机分布ξk，易知(7-5)(7-6)假设7.1

wk和vk是零均值方差分别为Qw和Qv的不相关白噪声，其中Qw≥0且Qv>0。

假设7.2

状态初始值x0独立于wk和vk，且

E[x0]=μ0，E[(x0－μ0)(x0－μ0)T]=P0

(7-7)7.2.2算法推导及过程

为了获得式(7-1)、式(7-2)和式(7-3)的最优滤波算法。首先采用扩维方法得到下式：其中式(7-8)和式(7-9)中包含随机变量参数ξk，该参数的统计信息为(7-12)(7-13)其中，Qw和Qv在假设7.1中进行了定义。此外，对Φ，H求期望，可得－－(7-14)(7-15)

引理7.1

若式(7-8)表示的系统满足假设7.1和假设7.2，则协方差矩阵qk=E[XkXTk]满足下列递推式：(7-16)式中，，初始值。证明：由式(7-8)可得(7-17)因为Xk与Wk相互独立，所以有(7-18)此外(7-19)根据式(7-5)和式(7-6)，可知式(7-16)成立。证毕。为了推导具有丢包的状态估计算法，注意到若序列ξk给定，则由扩维系统方程(7-8)和方程(7-9)易知xk的最优估计形式为(7-20)定理7.1

满足假设7.1和假设7.2的系统方程(7-1)～方程(7-3)中，形如式(7-20)的最优无偏线性滤波器中的增益矩阵可以计算为此处，Pk|k为状态估计协方差，其初值P0|0=P0已知。证明：由式(7-8)和式(7-20)，可得如下滤波误差方程：(7-27)可以将式(7-32)写为(7-33)其中Λ

k根据式(7-25)定义。为了最小化式(7-33)右边项，滤波器增益K1k仅仅需要满足式(7-22)，由此导出式(7-26)。证毕。7.3噪声相关时变系统中网络丢包条件下的滤波算法

7.3.1问题描述

考虑下列具有丢包现象的线性离散时变系统:

xk+1=Φkxk+Γkwk

(7-34)

zk=Hkxk+vk

(7-35)

yk=ξkzk+(1－ξk)yk－1

(7-36)

式(7-36)的递推形式为(7-37)假设7.3

wk和vk是零均值协方差分别为Qk，w和Qk，v的相关白噪声，其交叉协方差为S1k。假设7.4

初始状态x0独立于ξk、wk和vk，且满足

E[x0]=μ0，E[(x0－μ0)(x0－μ0)T]=P0

(7-38)

此外，根据ξk的分布，易知(7-39)(7-40)7.3.2算法推导及过程

首先，将式(7-34)、式(7-35)和式(7-36)所表示的系统写成以下扩维形式：其中，(7-41)(7-42)(7-43)(7-44)注意到式(7-41)和式(7-42)中包含了随机参数ξk。根据假设7.3可知(7-45)其中(7-46)下面要推导式(7-41)和式(7-42)所表示的系统的最优线性估计器，首先给出两个引理。

引理7.2

对于式(7-41)和式(7-42)表示的系统，有如下等式：证明：对式(7-43)和式(7-44)求期望，可得式(7-47)；再由式(7-43)和式(7-47)、式(7-48)易知式(7-49)和式(7-50)成立。证毕。

引理7.3

在满足假设7.3和假设7.4的条件下，式(7-41)中的状态向量协方差矩阵满足如下递推式：(7-51)其中，qk=E[XkXTk],初值为,且。证明：由式(7-41)可得(7-52)因此，状态协方差矩阵可以计算如下：(7-53)其中使用了引理7.2以及Xk和Wk正交的假设。此外，有(7-54)将式(7-54)代入到式(7-53)，再根据式(7-39)和式(7-40)，可以得到式(7-51)。证毕。

定理7.2

对于式(7-41)和式(7-42)所表示的系统，满足假设7.3和假设7.4，则递推最优线性滤波器给定为证明：根据标准卡尔曼滤波方程，可知式(7-55)和式(7-57)成立，其中的增益矩阵定义为(7-63)(7-64)将式(7-42)代入式(7-57)，则新息εk可写为考虑到(7-65)将式(7-41)两端都投影到由(y0，y1，…，yk－1)张成的线性子空间，注意到ξk与(y0，y1，…，yk－1)不相关，可以得到(7-66)由式(7-65)和式(7-66)可得一步预测式(7-56)，且其预测增益为(7-67)将式(7-64)代入式(7-67)，得(7-68)此外，有下式成立:(7-69)根据式(7-67)~式(7-69)，可得式(7-59)成立。接下来，用式(7-41)减去式(7-56)，再由式(7-64)可得一步预测误差方程为(7-70)考虑到E[ξk－αk]=0，Xk⊥Wk，Xk⊥vk，以及Xk|k－1⊥Wk，Xk|k－1⊥vk，状态向量的一步预测误差协方差矩阵为~~(7-71)由式(7-69)，可得到E[ξkΓkWkvTk]=αkSk，再由式(7-71)可推导出式(7-61)成立。由式(7-55)知滤波误差方程为~－(7-72)因此，有如下滤波误差协方差矩阵:(7-73)由式(7-63)可得(7-74)将式(7-74)代入式(7-73)，可得式(7-62)成立。证毕。7.4非线性系统中网络丢包条件下的滤波算法

7.4.1问题描述

假定系统的动态方程和量测方程如下：

xk+1=fk(xk，uk)

(7-75)

zk=hk(xk，vk)

(7-76)

其中，xk表示状态向量，zk表示量测向量，uk是过程噪声，vk是量测噪声。假定uk和vk是均值为零、方差分别为Qk和Rk的高斯分布。fk是线性或非线性函数，描述状态向量随着时间序列不断改变的动态系统；hk也是一个线性或非线性函数，描述通过测量设备得到的测量值的过程。在网络传输过程中，存在丢包现象，在滤波中心节点部分观测值是不存在的，因此，不能够直接使用常用的非线性滤波算法。为了描述具有丢包情况的这一滤波现象，Sahebsara等人给出如下模型：

yk=ξkzk+(1－ξk)yk－1

(7-77)

其中ξk是二值随机变量。P{ξk=1}=α表示在传输过程中数据包的送达率为α，P{ξk=0}=1－α表示在传输过程中数据包的丢失率为1－α。如果丢失的量测序列已知，则可以通过文献[2]的方法加以解决。本节要解决的问题是假定丢失的量测序列未知，在系统状态方程或者量测方程为非线性情况下的滤波算法。7.4.2算法推导及过程

假设丢包概率已知，而准确的丢包序列未知。在该情况下，我们根据在滤波中心节点接收到的不完整的量测值计算出一个新的值，称之为伪量测。实际上，在文献[2]中，当丢包情况发生时，所使用的量测值为其前一时刻的量测值。本节我们借助于当前量测值、前一时刻量测值和丢包率来计算滤波中心节点接收到的伪量测。

式(7-77)可以通过下式计算：

E[yk]=E[ξkzk]+E[(1－ξk)yk－1]=αzk+(1－α)yk－1(7-78)

上式可以被写为(7-79)带有伪量测的不敏卡尔曼滤波算法过程如下：

Step1：计算西格玛点集及其相应权值，公式为

Step2：通过状态转移方程计算状态转移西格玛点集x(i)k=f(x(i)k，uk)；

Step3：通过式

计算一步预测均值，及其相应的协方差矩阵Step4：计算状态转移西格玛点集的观测点集Step5：计算预测的观测值，相应的协方差Step6：计算预测值和预测观测之间的互协方差矩阵

Step7：更新状态向量及其协方差的计算与标准卡尔曼滤波相同，为EndIf7.4.3仿真实验及结果分析

考虑如下非线性系统[12]:(7-80)(7-81)其中，vk是过程噪声序列，nk是量测噪声序列，vk和nk均服从零均值方差分别为Qk和Rk的高斯分布。初始状态向量为x0，假定噪声和x0相互独立。在仿真过程中，初始状态x0=0.1，初始方差P0=1，过程噪声方差Q=1，量测噪声方差R=1，丢包抵达率α=0.8，仿真步数为100步。图7.1使用不同算法的估计结果对比为了对比不同算法的性能，我们给出了一次仿真的结果如图7.1所示。在图7.