概率论统计全册复习资料

概率论统计全册复习资料

基本初等函数求导公式

⑴©'=0⑵(/)'=以1

(3)(sin=cosx(4)(cos力，=-sinx

(5)(tanx)f=sec:x(6)(cotx)*=-csc:x

(7)(secx)r=secxtanx(8)(escX)'=-CSCXcotX

(9)(ax)r=a~kia(10)(ex)r=ex

ff

(11)Cog3x)=—(12)(tax)=—>

xlnax

(14)(arccos力'=—/】、

(13)(arcsinx)'='1、

y/l-x1yl-x2

(16)(arccotx)f=--二

(15)(arctanx)'=-r

l+x-1+x-

、、11

注：secx=-------escx=------

CosxSinx

函数的和、差、积、商的求导法则

设〃="(X),V=v(x)都可导，则

(1)(«±v)'=u'(2)(C〃)'=CV(C是常数)

(3)(uv)f=u'v+uv'u'v-uv

V"

复合函数求导法则

设＞'="“），而”=P（x）且“〃）及尹（X）都可导，则复合函数J的

导数为

dydydu

dxdudx或y'=/'("A/'a)

例：(e2x)'=(*)'•(2x)'=eu-2=e2x-2=2e2x

1

凑微分法(适用于积分中有两个含有X的项目相乘的情况)

Jdx=；J2xe『dx---------------可以观察到Y的倒数是2x,可以凑一个2x出来

2J2

六大分布

三种离散型分布

1.0-1分布

2.若X〜b(n,p),则X满足二项分布

p(x=k}=c：pR—pyj,左=0』,2,…,〃

EX=n-p

DX=n-p-(l-p)

3.若X〜P(/l),则X满足参数为X的泊松分布

2k

p{x=左}二一6々，左二0,1,2,…

左！

EX=%

2

三种连续分布

1.若X〜U(a,b)，则X满足a到b的均匀分布

-----,a<x<Z?

其密度函数为f(x)=b-a

0其他

0,x<a

x-a

分布函数为E(x)=<,a<x<b

b-a

1x>b

EXA

2

DX=Z

12

2.若X~e(4),则X服从参数为4指数分布

其密度函数为f"’"2°

[0,x<0

1—P一"V>0

分布函数为尸(X)=15

0,x<0

EX=-

2

1

DX=¥

3.若X~N(〃,4),则X服从期望为〃，方差(不是标准差！！!)为"的正态分布

EX=〃

DX=(y-

3

一、全概率与贝叶斯公式

例：某产品由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数

的15%,80%,5%,其次品率分别为0.02,0.01,0.03.(1)取一件

产品，是次品的概率(2)现从这批产品中任取一件发现是次品，试

求该次品是由乙厂生产的概率.

学会读题：此类题目中涉及的情景有明显的分类与先后关系，如本

题，要确定某产品为次品，我们第一步必须先确定它是哪一厂生产的，

第二步再看次品率，才能确定是不是次品。一般会作为大题第一或第

二题出现

路线图：

‘甲厂生产(15%)次品率002＞次品

某产品乙厂生产(80%)次品率。m＞次品

丙厂生产(5%)次品率“3＞次品

这时我们就可以确定这是要用全概率和贝叶斯公式来解题。第一问问

我们“取一件产品，是次品的概率”，在路线图中是从左边推到右边，

要用全概率公式

第二问是先知道某产品是次品，让我们倒推此产品是乙厂生产的概率,

在路线图中表现为从右至左，要用贝叶斯公式

解(D记4,4,A分别表示产品取自甲、乙、丙厂；3="所取的产品是次品”.则

A1,a，A,构成样本空间。的一个划分，且依题意可知

?(4)=0.15,P(A2)=0.8,P(A3)=0.05,

4

(同

PA)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.03.

由全概率公式可得,

3

P(B)=2尸(4)尸(314)=0.15x0.02+0.8x0.01+0.05x0.03=0.0125.

i=l

^^)=^l=0.64.

⑵再由贝叶斯公式可得，P（A\B）=

2P(B)0.0125

解析：全概率公式比较简单，只要把每条路线上的概率分别相乘，再

加起来就可以了

所求概率所属路线的概率

贝叶斯公式:所求概率=

已知条件的概率

“已知条件的概率”一般都是第一问用全概率公式算出来的答案，比

如本题第二问已知某产品为次品，概率正好是第一问算出来的总的次

品率0.0125。他要我们求乙厂的，所以属于路线图中的第二条路线，

概率为0.8x0.01

做这种题目要准确地看出是怎么分类的，怎么分先后的

例二：设一箱子里装有10个球，其红球为0,1,...10个，是等可

能的。今向箱内放入一个红球，然后从箱内随机取出一个球，求它是

红球的概率。

（第一步确认箱子里原来有几个红球，共分类有11种情况，第二步放入

一个红球，题目只问我们正推的结果，所以用全概率公式就可以了）

箱子里有o个红球箱子里有1个红球（工）

1111

由竹箱子里有1个红球（-1■）放入I个红球＞箱子里有2个红球（2）

取一球《1111

箱子里有io个红球（工）放入1个红球＞箱子里有11个红球（U）

1111

5

所求P=A112131116

X——+——X——+——X——+…+——X——=——

1111111111111111

二、随机变量的密度函数与分布函数的互求

例一(已知分布函数求密度函数)：设随机变量X的分布函数为

0,x<0

F(x)=<x2,0<x<l,求⑴概率P{0.3<X<0.7}；(2)X的密度函数.

1,1<X

解由连续型随机变量分布函数的性质，有

(1)P{0.3<X<0.7}=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4;

(2)X的密度函数为

0,x<0

2x,0<x<1

/(%)=F\x)=<2x,0<x<l=

0,其它

0,1<x

解析：先分清楚什么是密度函数，什么是分布函数

密度函数对应的是具体某一点的概率，比如本题密度函数是

=1.P(X」)=/(X」)=2XL1,要求哪一点的概率直接

0,其匕222

代进去就可以得到。

分布函数对应的是某一区域的概率，比如本题的分布函数是

0,x<0

F(x)=\x2,0<x<l,如果我们代工进去，求出的概率是X取(-8」)上所

,,22

1,1<X

有点概率的加总(如果代J就是(-8,'),又因为x40,R(x)=0,所以实际

上是(0」)上所有点概率的加总

2

密度函数是分布函数的导数：/(x)=Fr(X)

分布函数是密度函数的积分：F(x)=JJf(x)dx

6

例题二：(已知密度函数求分布函数)设随机变量X的密度函数为

x,0<x<l

/(x)=<2-x,l<x<a,求(1)常数a的值(2)X的分布函数(3)P(-<X<-)

o淇他4一

,一、p+oopl1c

解：f(x)dx=[(2-x)dx=2a——a2-1=1

J-ooJo2

a=2

解析：如果给的密度函数里带未知数，一般用=l这个公式求出,

J—00

这个公式的意思是：X取(-00,+00)上所有可能取值的概率的加总为1

0,x<00,x<0

1

[tdt,0<x<l—x2,0<x<1

Joz

(2)F(x)=P(X<x)=-=V]

[tdt-\-[(2-t)dt,l<x<22x—x~—1,1<x<2

JoJi2

1,x>21,x>2

解析：分别对密度函数各个区段进行积分，就可以得到分布函数了，注意，

对于1<2的积分，很容易漏掉前面的"，为什么要多积一个腿呢？

这是因为当x取"x<2上某一点时，F(x)代表的是(-00,X)上所有点概

率的加总，也包括0Wx<l的部分，所以要多积一个必

(3)P(|<x<|)=F(j)-F(l)=||

7

三、求随机变量的函数的分布函数和密度函数

例一：设X〜e⑴(指数分布)，求丫=0*的分布函数和密度函数

题目一般会说X服从指数分布或者均匀分布，然后给Y与X的关系公式,

让我们求Y的分布函数和密度函数

第一步：根据题意写出X的分布函数F(x),为了写出这一步，我们必须自

己记一下指数分布和均匀分布是什么样的。

1.指数分布：记作X~e(2),2为参数

分布函数为尸(X)=15U

0,x<0

其密度函数为f

0,x<0

2.均匀分布：记作X〜。(a/),X服从a到5上的均匀分布

0,x<〃

分布函数为尸(X)=<,a<x<b

b-a

1,x>b

其密度函数为f(%)={b-a'

0,其他

］一"Xr>0

在例题一中，X〜e⑴，所以尸(©=

0,x<0

8

第二步，从x的分布函数外⑴出发，推导出y的分布函数耳⑴，步骤如下

4⑴=P{Y<y}--------------------------------4⑺的含义：是随机变量¥取小于一个

给定值y的所有点的概率的和

P{Y<y}=P{ex<y}---------------------利用Y与X的关系式，将V换成X,

这样4(%)就和%(x)关联起来了

P{ex<y}=P{X<Iny}-----------------------------才巴左边化成只有一个X的型式，

这边用的是两边同时取对数的方法

P{X<lny}=Fx(\ny),即4(y)=%(lny)-----------我们就将耳⑴与g(x)一—对应起来了，

从而可以由4(x)推导出4(x)

(注意大X、大y代表两个不同的随机变量，小x和小y代表的是普通的数

字，两个可以一样，比如同时取2,大写和小写的意思是不一样的)

1—Z?xX〉01

现在直接把Iny带入厂(%)={'—,得K(y)=]y

0,x<0n

再把公式尾巴上的X化成y:

%之0时，121,所以丁21

%<0时，0<e，<1,所以0<y<1

显然y是取不到。以下的，默认此区域概率为0

所以0<y<1变成y<1会比较全面概括一点

,1,

1—,y'1

・••月。)=y

0,y<l

第三步，对分布函数鼻(y)求导，求出密度函数"(y)

1,

—,y»i

fY(y)=FY'(y)=y

0,y<l

更多例题可以看书本P73页课后作业

9

四、离散型联合概率分布

只要题目出现“求（x,y）的什么什么”就可以确定这是在考联

合概率分布

离散型联合概率分布的考察离不开这个表

X(2)(3)(4)(5)

(1)••••••••••••

(2)•••a••••••

(3)••••••••••••

其中带括号的数字和…都是我们必须根据题目具体情境确定的

一般题目第一问会要求我们自己画这个表，或者直接给我们这个表，但是里

面有未知数，要求未知数只要记住表内所有概率的和等于1就可以了：（...+a）

=1

第二问会问我们x和y的边缘概率分布，比如上表，要求x的边缘分布，就

是把每一行的概率分别加起来就可以了，求y的边缘分布，就是把每一竖的

10

第三问形式比较多

1.求协方差cov(x,y)

记住公式cov(x,y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)

简单来说就是(最上面那个大表每个概率乘以对应的数字，加起来)-(下面

两个小表的每个概率乘以对应数字，再把结果相乘)

2.求特定区域的概率和，这时只要找到符合条件的概率加起来就可以了

比如P(X+Yv5),符合条件的是(x=l,y=2)(x=l,y=3)(x=2,y=2)

比如尸(2,3),符合条件的是(乂=1,丫=2)(*=1,丫=3)(*=2,丫=2)(乂=2,丫=3)

3.X与Y是否独立

这时只要确认两个小表的概率的乘积是否与大表的概率一一对应，只要有一

个不一样，就不独立，要全部一样才独立

11

五、求连续型联合概率的分布

例一：设G,y)服从D={(x,y)|l>y>x>0}上的均匀分布

(1)求(X,Y)的密度函数

(2)求P(X+2Y41)

(3)求边缘密度函数/'x(%),4(y)

(4)X与丫是否独立？

做有关连续型联合概率的分布其实就是在做区域积分

第一步要先画图，由D={(x,y)[l>y>x>0}，得区域D为图中阴影部分

解：⑴记住公式/■“)=,瓦力'a’y)GD,s(D)为区域。的面积

0，其他

1一(2,l>y>x>0

本题S(D)=不所以"X,y)=八甘祜

20，其他

12

11

(2)P(X+2Y<1)=P(Y<—X)---------把左边化成只有一个Y的型式

22

画出所求区域，为下图黑色部分，对此区域的积分就是所求概率

1l--xI---X1331

r2

P(X+2Y<1)=JJ22dMTo32yl22^=£31-3X6/X=(X2-1X2)=-

(如果看不懂上式，可以百度一下二重积分的教程…)

(3)求/八%),就要算ff(x,y)dy,^.fY(x),就要算ff{x,y)dx

J—00J—00

p+oo[2dy,0<x<l2-2%,0<x<l

本题中，/xW=ff(x,y)dy=Jx

J—00

0淇他0，其他

如何确定J；中的1和施？我们需要作一条平行与y轴的直线

直线经过y=x和y=l,所以我们知道要

从x积到1

如果是dx,就画一条平行于X轴的直线

千万别忘记还有一个概率为。的“其他”

O

13

2dy,0<^<12y,0<y<l

[o淇他

，其他

(4)要验证是否独立，只要把边缘分布函数相乘，如果结果等于联合

分布函数，就独立，否则不独立

本题片(")=；I)：其;”显然不等于丁)=：,l>y>x>0

淇他

所以x,y不独立

六、中心极限定理

所谓中心极限定理，分为两种情况

一：已知x为样本，石乂,=〃,",=/如果样本足够多，可以近似估计

总的样本服从期望为方差为的?的正态分布，即x〜N(〃R,wcr2)

(前面那个石X,=〃是单个样本的期望,不是总的)

知道总的样本服从正态分布，就可以将其标准化，就可以查表得出想要的数据

二、已知X服从二项分布，即X〜当〃足够多时，

可以近似的估计X服从期望为秋,方差为物(1-p)的正态分布

即X~N(np,np(l-p))

就可以标准化，查标准正态分布表得有关数据

为什么要用中心极限定理呢？一句话，就是数学家为了偷懒，化成标

准正态分布可以直接查表，很方便

做此类题目要一眼看出是哪种情况

一般情况下，题目里包含百分数的，比如“1000人中有80%(或者

0.8)的人没定报纸”，属于第二种情况

直接或间接告诉我们X的期望和方差的，属于第一种情况，比如“X

服从(-1,1)上的均匀分布"，我们就可以知道EX=0,DX=；

14

例一：有一批钢材，其中80%的长度不小于3米，现从钢材中随机取

出100根，试用中心极限定理求小于3米的钢材超过30根的概率

解：可以看出这是第二种情况

第一步，先用定理化为正态分布

设X为小于3米的样本

X,〜5(100,20%),由中心极限定理得

总的样本服从X~N(20,16)

第二步，写出题目要求的概率的条件

产(X>30)=1-尸(XV30)

,一“X-2030-20,.30-20.

1一0*3。)=1-尸(三^飞^=5°(赤)---------标准化

=1—4(2.5)=1—0.9938=0.0062-----------------。0(2.5)可以在试卷最前面找到

0.0062即为所求概率

七、最大似然估计

先来看一个高中的问题：已知y=-丁+2%-1=0,求函数最高点的横坐

最大似然估计中的“最大”就是上面问题的“最高点”，最大似然估

计的值就是最高点的横坐标

所以我们只要求出。的函数，对其求导，再等于0,就可以得到答案

15

例一：设（X],X2，・・・.，X〃）是取自总体X的样本，而X的概率密度函数为

1

/（%）=—e，，其中。〉0是未知参数，求。的最大似然估计量

解：有关。的似然函数〃。）是样本函数的连乘积

nn

本题中L（e）=n/（40）-----n是连乘积的意思

i=li=l

=f(xv0)xf(x2,0)x-^xf(xn,O)

202020

1f，闻X㈤x...x[%J''

=（-2cz）e°=（20ye夕

为了等一下求导比较好算，用两边同时取对数的方法化掉指数

1n

1n£(6>)=-nln(26>)--^|x.|

"i=\

对。求导

方E(⑶=/+

duuu,=]

令三+/讣后。，得归力

X;

gHi=l7=1几7=1i=\

1n

所以最大似然估计是工£同

nZ=1

关于求导的相关公式请用《概率论公式速查》

16

集美大学试卷纸

2012—2013学年第二学期

1.已知P(3)=0.5,P(XB)=0.2,P(B)=0.4,则尸(A-8)=空

y_ini9

2.设随机变量x具有以下的概率分布,.-—,则y=(x-iy的概率

Pi0.20.30.10.4

分布律为

y|o14___________

~P,-0.10.70.2

3.设随机变量X的分布函数为F(尤)=A+Barctan%,-oo<x<+oo,则常数A=1/2,B=

71

4.设某项竞赛成绩X服从正态分布N(65,100),规定按高分获奖原则，且按参赛人数的10%

发奖，则获奖分数线应定为置分.

5设随机变量X的分布函数为F(x),试以F(x)表示概率：P(X=a)=

F(a)-F(a-0).

且都服从NW),令X=cki+Z2).

6.设X1,X2是独立、同分布的随机变量,

17

则当k1时，X服从?分布，它的自由度为No

7.设总体X服从参数为2的泊松分布，©，与，…，X*是取自总体x的一个样本，则万的

无偏估计量是ST

n,=i

1设厦门地区16岁青少年身高服从正态.今测得25个样本值,计算得：无=156,

s：=30.则厦门地区16岁青少年的平均身高〃的置信水平为0.95的置信区间为

(143.6166,168.3834).

将3个球随机放入4个杯子中，问杯子中球的个数最多为1,2,3的概率各是多少？

解设A,氏C分别表示杯子中的最多球数分别为1,2,3的事件.我们认为球是可以区分

的，于是，放球过程的所有可能结果数为«=43.

(1)A所含的基本事件数：即是从4个杯子中任选3个杯子，每个杯子放入一个球，杯

子的选法有C^种，球的放法有3!种，故

尸⑷与♦

.......4分

(2)C所含的基本事件数：由于杯子中的最多球数3,即3个球放在同一个杯子中共有

4种放法，故

41

P©、=一.......4分

4316

(3)由于三个球放在4个杯子中的各种可能放法为事件AU3UC,显然AU8UC=S,

且A,3,C互不相容，故

9

P(B)=1-P(A)-P(C)=—..........4分

18

三、综合题(10分，每小题5分)

设随机变量X的分布函数为

0,x<0

F(x)=<x2,0<x<1

1,1<x

求⑴概率尸{0.3<X<0.7};(2)X的密度函数.

解由连续型随机变量分布函数的性质，有

(1)尸{0.3<X<0.7}=尸(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4;.................5分

(2)X的密度函数为

0,x<0

0<x<l

/(X)=F<x)=<2x,0<x<1.................5分

其它.

0,l<x

四、证明题(12分，每小题6分)

设二维随机变量(x,y)的联合概率分布律为

X123

21/900

32/91/90

42/92/91/9

求：⑴P(2<X<3,0<r<2)；

(2)U=max(X,Y)的分布律；

解：(1)P(2<X<3,0<r<2)=P(X=3,r=1)+P(X=3,r=2)

=l/3o..............6分

(2)U的可能取值为2,3,4,...........................2分

P(U=2)=P(X=2,y=l)+P(X=2,y=2)=l/9

P(U=3)=P(X=3,y=l)+P(X=3,y=2)=3/9

P(U=4)=P(X=4,y=1)+P(X=4,y=2)+P(X=4,y=3)=5/9............

2分

所以U的分布律为U234

19

p1/91/3

某公司有200名员工参加一种资格证书考试.按往年经验考试通过率为0.8,试计算这200

名员工至少有150人考试通过的概率.

1,第，•人通过考试,_1?

解令Xj=<

o,第队未通过考试‘''.......2分

依题意,P{Xj=1}=0.8,n/j=200义0.8=160,初(1—0=32.........2分

由中心极限定理得

0

X,.<150}=P{^°X;-160)/V32}>(150-160)/732

=—160)/序>-1.77).......4分

1-0(-1.77)=0(1.77)=0.96,.......2分

即至少有150名员工通过这种考试的概率为0.96.

六、综合题（共10分）。

设随机变量x,y的联合点分布在以点（0/），（i,o）,（i,i）为顶点的三角形区域上服从均匀

分布，试求随机变量z=x+r的数学期望与方差.

解三角形区域G如图所示，G的面积为1/2,所以（x,y）的

联合概率密度为

2,（九,y）&G

小)=°,

其它

r+00|»+00

E(X+y)=|(x+y)f(x,y)dxdy

J—00J—00

4

2(x+y)dyj(x?+2x)dx----F5分

3"l3VoI

E[(X+F)2]=+y)2f(x,y)dxdy=2(x+y)2dy=|£(x3+3x2+3x)d5v^,

所以D(X+Y)=E[(X+Yf]-[E(X+K)]2=—.........5分

20

七、综合题（共12分，每小题6分）。

设总体X服从指数分布，其概率密度函数

力济疝，x>Q

y（x,/i）=

0,x<0

其中2>0,是未知参数.无1，々,…，尤”是来自总体X的样本观察值，求参数彳的

（1）矩估计量；

（2）最大似然估计值。

1-1

解（1）因为EX=1,所以参数九的矩估计量为；1=支6分

-自

（2）似然函数工（七,％2,…,.i=l，%>°3分

0,其它

显然乙（和巧，…x“;㈤的最大值点一定是4（国,々,…，乙=的最大值点，对其

n

XL

取对数1nLic，…=几In2一

i=l

dlnZi（X],X2,…，/；2）=y-Jx,=0,可得参数力的最大似然估计值

由

“i=l

4=」一3分

nx

/=1

八'综合题（共10分）

21

水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定重量是50kg,某日开工后随

机抽查了9袋，称得重量如下：

49.649.350.150.049.249.949.851.050.2

设每袋重量服从正态分布，问包装机工作是否正常(a=0.05)?

解⑴建立假设为:〃=50,:〃*50...................2分

(2)选择统计量7=由平7(〃-1).................2分

S/

(3)对于给定的显著性水平a,确定上,使尸｛|7|>左｝

查t分布表得女=心/2=%0.025(8)=2.306,从而拒绝域为11\>2.306.................2分

(4)由于元=49.9,$2=0.29,所以

7-50

111=—产=0.56<2.036,111=0.56<2.036,

故应接受”o,即认为包装机工作正常.。.......4分

集美大学试卷纸(参考解答及评分标准)

2013—2014学年第二学期

试卷

课程名称概率论与数理统计AA

卷别

适用闭卷

2012级物流'工程、会计、工商、商务'营销、考试0

学院、专业、

金融、国贸、经济'投资'财政等专业

年级方式开卷口

1.本试卷共6页；2.本试卷可能用到的数据：①式2)=0.97725,①0(1.67)=0.9525,

备注

位025Q5)=27.488,而加5(15)=6.262,r005(15)=1.753,r005(16)=1.746.

总分题号一二三四五六七八

得分

阅卷人

一'填空题(共27分，每小题3分)

22

1.设。（AB）=0.2.则—"U》）=0.8.

2.设X~e（l/5）（指数分布），则P{XK10}=1—e。.

3.设x〜尸（1/3）（泊松分布），y且x与y独立，则。（X—y）=5/泊.

4.将一枚硬币重复掷”次，以X,F分别表示硬币正面朝上和反面朝上的次数，则

Px.Y=T•

5.设X「N（0,l）,1=1,2,且X]与X2独立，则Z=X；+X22~/⑵.

6.设（X],X,…,X”）是取自总体X~N（〃,/）的样本，则Z=（”?S-〜

a

Z2（«-l）-

7.设7~/（〃），则Z=T-2〜F5,l）

8.设（Xi，X2，3,X〃）是取自总体X的样本，且总体方差4存在，则

S2=——£（X,—X）2是/的

»-1,=1

无偏（或相合）估计量.

9.设（%了2,…,用6）是取自总体X的样本，〃未知，则〃的置信水平为Q9

的置信区间

是（一一S405（15）/4,又+S4O5（15）/4）.

——I-----1二、（共7分）某人向同一目标重复独立射击，假设每次命中率为

得p（0<p<l）,

“।-----1试求他在第3次射击时恰好是第2次命中目标的概率.

解注意到：A="第3次射击时恰好是第2次命中目标”o“第3次射击命中目标,

且前

23

2次射击恰好命中1次目标”.

由独立性可得，P(A)=P｛第3次射击命中目标｝•P｛前2次射击恰好命中1次目标｝

=/以。（1一〃）1=2/（1一。）.

三、(共10分)某产品由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分

得

别占总数的

分

15%,80%,5%,其次品率分别为0.02,0.01,0.03.现从这

批产品中任取

一件发现是次品，试求该次品是由乙厂生产的概率.

解记a，a分别表示产品取自甲、乙、丙厂；8="所取的产品是次品”.则

A］，4，A构成

样本空间。的一个划分，且依题意可知

P（a）=0』5,P（A2）=0.8,P（A3）=0.05,

/（叫41）=0.02,P（B|A2）=0.01,P（B|A3）=0.03

（4分）

由全概率公式可得,

尸（3）=2P（A）P（3|A）=0-15x0.02+0.8x0.01+0.05x0.03=0.0125

（7分）

再由贝叶斯公式可得，

24

（10分）

四、（共12分）01

设（x,y）的联合概率分布（见右表）：00.4a

且事件｛x=o｝与｛x+y=i｝独立，1b0.1

求（1）常数a"；（2）X和F的边缘概率分布；（3）cov（X,y）.

解(1)由ZZP=0.4+a+b+0.1=l得，a+Z?=0.5-------------------------------

iJ

(I)

又

P{X=0,X+F=l}=P{X=0}P{X+F=l}=(0.4+a)(a+》)=0.5(0.4+a),且

P{X=O,X+y=l}=尸{X=O,F=l}=a,所以«=0.5(0.4+a)

---------------------(II)

联立(I)、(II)解得，a=0.4,b=0.1.(5

分)

(2)X和F的边缘概率分布分别为：

X01Y01

P0.80.2P0.50.5

(3)cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=^^z/p..-(lx0.2)(1x0.5)

iJ

=lxlx0.1—0.1=0.

(12分)

25

2x,0<x<lr9

五'(共10分)设X的概率密度为八(x)=<，求y=x2

o,其它

密度人(y).

解当y<0时，工(y)=P(X24y)=0=>加y)=4'(y)=0；

(2分)

2

当y>0时，FY(y)=P(X<y)=P(-^<X<^)=\^.fx(x)dx

0dx+2xdx=y,O<y<l

o

i

Qdx+2xdx+：Od!x=l,y>1

0

(8分)

。1,，0<奇y<l’所以加1,0<y<1

从而%(y)=£(，)=<

0,其它.

GO分)

六'(共14分)设(x,y)的联合概率密度为

得

crL0<x<l,x<y<l

加y)=<0：

其它

求⑴常数C；(2)边缘概率密度人(X),6(y)；(3)E(XY).

4-00

解(1)由JJ*f{x,y}dxdy=^^dx^\cxydyx1)dx

—00

XX

2241°8=1可得c=8

(4分)

26

j8xyJy=4x(l-x2),0<x<l

p+oo

(2)/(x)=

xJf(x,y)dy=»

J—00f+oo

[Qdy=0,其它

J—00

分）

J；8盯公=4忆0<y<l

f4-00

/y(y)=J/(x,y)dx=<

J—00

\Qdx=0,其它