人教版高中数学精讲精练必修一1.3 集合的基本运算（精讲）（含答案及解析）

1.3集合的基本运算（精讲）一．并集1.自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.2.符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.3.图形语言：如图所示.4.运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.5.概念理解并集中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x∉B”，“x∈B但x∉A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示：二．交集1.自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集.2.符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.3.图形语言：如图所示.4.运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅.如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立.5.概念理解（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.（2）两个集合若没有公共元素，则二者的交集为∅.三．全集、补集的概念1.全集①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.②记法：全集通常记作U.2.补集（1）文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA（2）符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}（3）图形语言(4)符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．一．求集合并集的两种方法1.定义法：对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性．2.数形结合法：对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证．二．求两个集合的交集的方法1.对于元素个数有限的集合，可逐个挑出两个集合的相同元素，但要注意集合中元素的互异性．2.对于元素个数无限的集合，可借助数轴求交集，两集合的交集对应的是表示两集合的相应图形所覆盖的公共区域．3.求集合A∩B的常见类型(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.三．求补集的方法1.列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.2.由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.四．利用集合交集、并集的性质1.依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2.关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解.3.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.4.要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．考点一并集【例1-1】（2023浙江省宁波市）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【例1-2】（2022秋·江西景德镇）集合，，则（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·广西）已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023·安徽）设集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·辽宁大连）已知集合，满足，则（

）A． B． C． D．考点二交集【例2-1】（2023云南省）设集合，，则（

）A． B．C． D．【例2-2】（2023四川省成都市）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·北京海淀）已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．（2023春·浙江温州）设集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江西赣州·）已知集合，，则（

）A． B．C． D．考点三补集、全集【例3】（2023贵州省）已知集合，，则（

）A． B．或C．或 D．或【一隅三反】1．（2023·天津河北）设全集，集合，集合，则（

）A． B．C． D．2．（2023海南省）设全集，集合，则（

）A． B．C． D．考点四集合运算的综合运用【例4】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·云南）已知全集，则（

）A． B． C． D．2．（2023山东）（多选）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（）A．={1} B．={1,2,3,4,5,6}C．={1,2,4,6} D．={3,5}3．（2023·河北）（多选）已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（）A．A∩B＝B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪＝{x|x≤－1或x＞2}D．A∩＝{x|2＜x≤3}考点五韦恩图【例5-1】（2023·四川成都）已知集合，，且，都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B．C． D．【例5-2】（2023·北京）设集合，，则图阴影区域表示的集合是（

）A． B． C． D．【例5-3】（2023·山西）设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（

）A． B．C． D．【例5-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【一隅三反】1．（2023·安徽安庆）设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A． B．C． D．2．（2023春·湖南）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．3．（2023·四川成都）已知集合，且M，N都是全集U的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．4．（2023·黑龙江）如图，是全集，，，是的三个子集，则图中阴影部分表示（

）

A． B．C． D．5．（2022秋·江西景德镇）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．10考点六求参数【例6-1】（2023·湖北荆门）已知集合，，，则（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【例6-2】（2023春·江西景德镇）设集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例6-3】（2023·河南开封）设集合或，若，则的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【例6-4】（2023春·四川南充）（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022秋·辽宁沈阳）设全集，集合，则（

）A． B．2 C． D．2．（2023吉林）已知集合，．（1）若，实数的取值范围是____________________．（2）若，实数的取值范围是____________________．（3）若，实数的取值范围是____________________．3．（2023·福建）在①；②这二个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合.(1)当时，求；(2)若__________，求实数的取值范围.4．（2023·陕西渭南）已知集合，，全集为.(1)求集合；(2)若，求实数m的取值范围.5．（2022秋·福建福州）已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．

1.3集合的基本运算（精讲）一．并集1.自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.2.符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.3.图形语言：如图所示.4.运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.5.概念理解并集中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A但x∉B”，“x∈B但x∉A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示：二．交集1.自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集.2.符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.3.图形语言：如图所示.4.运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅.如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立.5.概念理解（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.（2）两个集合若没有公共元素，则二者的交集为∅.三．全集、补集的概念1.全集①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.②记法：全集通常记作U.2.补集（1）文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA（2）符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}（3）图形语言(4)符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．一．求集合并集的两种方法1.定义法：对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性．2.数形结合法：对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证．二．求两个集合的交集的方法1.对于元素个数有限的集合，可逐个挑出两个集合的相同元素，但要注意集合中元素的互异性．2.对于元素个数无限的集合，可借助数轴求交集，两集合的交集对应的是表示两集合的相应图形所覆盖的公共区域．3.求集合A∩B的常见类型(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.三．求补集的方法1.列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.2.由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.四．利用集合交集、并集的性质1.依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2.关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解.3.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.4.要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．考点一并集【例1-1】（2023浙江省宁波市）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D【例1-2】（2022秋·江西景德镇）集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.【一隅三反】1．（2023春·广西）已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由题设，所以，故其中元素共有4个．故选：B2．（2023·安徽）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，则故选：D.3．（2023·辽宁大连）已知集合，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而说明中元素都在集合中，故.故选：B.考点二交集【例2-1】（2023云南省）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得：.故选：A【例2-2】（2023四川省成都市）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，则.故选：C【一隅三反】1．（2023春·北京海淀）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为集合，，则.故选：B.2．（2023春·浙江温州）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题，.故选：B3．（2022秋·江西赣州·）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，，，所以故选：B考点三补集、全集【例3】（2023贵州省）已知集合，，则（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【解析】因为集合，，故或.故选：B.【一隅三反】1．（2023·天津河北）设全集，集合，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，又，所以，故选：C.2．（2023海南省）设全集，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，.故选:C.考点四集合运算的综合运用【例4】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可得，则.故选：C.【一隅三反】1．（2023·云南）已知全集，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，，故=.故选：D.2．（2023山东）（多选）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（）A．={1} B．={1,2,3,4,5,6}C．={1,2,4,6} D．={3,5}【答案】ACD【解析】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}，∴={1}，={1,2,3,4,5}.又={2,4,6}，={3,5,6}，∴={1,2,4,6}，={3,5}.故选：ACD.3．（2023·河北）（多选）已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（）A．A∩B＝B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪＝{x|x≤－1或x＞2}D．A∩＝{x|2＜x≤3}【答案】BD【解析】因为A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，故A错误；A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；因为＝{x|x＜－2或x＞2}，所以A∪＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，故C错误；A∩＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确.故选：BD.考点五韦恩图【例5-1】（2023·四川成都）已知集合，，且，都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，图中阴影部分表示的集合为，所以.故选：C【例5-2】（2023·北京）设集合，，则图阴影区域表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，图阴影区域表示的集合是,所以.故选：A.【例5-3】（2023·山西）设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意图中阴影部分所表示的集合为．故选：D．【例5-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【解析】由题意，设只持有股票的人数为，则持有股票还持有其它殸票的人数为(图中的和)，∵只持有一支股票的人中,有一半没持有或股票,∴只持有了和股票的人数和为(图中部分).假设只同时持有了和股票的人数为,∴,即，则的取值可能是,与之对应的值为,∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍∴，即，∴时满足题意，此时,∴只持有股票的股民人数是,故选：A.

【一隅三反】1．（2023·安徽安庆）设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，解得或，所以，由，解得或，所以，所以，又，则图中阴影部分为.故选：D2．（2023春·湖南）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】全集为U，集合，，,图中阴影部分表示是去掉的部分，故表示的集合是．故选：D．3．（2023·四川成都）已知集合，且M，N都是全集U的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由韦恩图可知阴影部分表示，∵，∴．故选：C.4．（2023·黑龙江）如图，是全集，，，是的三个子集，则图中阴影部分表示（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】如图所示，对于A，对应的是区域1；对于B，对应的是区域2；对于C，对应的是区域3；对于D，对应的是区域4．故选：B．

5．（2022秋·江西景德镇）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，所以单独参加数学的有人，单独参加物理的有人，单独参加化学的有，故参赛人数共有人，没有参加任何竞赛的学生共有人.故选：D.

考点六求参数【例6-1】（2023·湖北荆门）已知集合，，，则（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，当即时，，不符合题意；当即时，，此时.所以.故选：B.【例6-2】（2023春·江西景德镇）设集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，当，即时，，符合题意；当时，则，解得，综上所述实数的取值范围为.故选：C.【例6-3】（2023·河南开封）设集合或，若，则的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.故选：B.【例6-4】（2023春·四川南充）（多选）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】①当时，令，得，此时符合题意；②当时，