人教版高中数学精讲精练必修一1.1 集合的概念及特征（精讲）（含答案及解析）

集合的概念及特征（精讲）一．元素与集合的概念1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3.集合中的元素具有如下三个特性：(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合．(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．(3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．4.元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A中的元素，就说a属于Aa∈A“a属于A”不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于Aa∉A“a不属于A”5.常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR6.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合二．集合的表示方法1.列举法(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.(2)使用说明①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.③无限集有时也可用列举法表示.2.描述法(1)定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.(2)使用说明①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.集合的分类有限集：集合的元素有限个无限集：集合的元素无限个一．集合概念的理解判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，每个元素是否互异。二．判断元素和集合关系的两种方法1.直接法：集合中的元素是直接给出的.2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.三．元素的互异性求参数1.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值2.根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.四．集合的表示方法1.用列举法表示集合(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.（3）使用列举法表示集合时的注意事项①元素间用逗号隔开；②元素不能重复(互异性)；③元素之间不用考虑先后顺序(无序性)；④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数所构成的集合可表示成{1,2,3，…，100}；⑤“{}”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，但如果写成{实数集}或{全体实数}就是错误的；⑥对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法．2.利用描述法表示集合(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.考点一集合概念的理解【例1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【一隅三反】1．（2023·北京）下列各对象可以组成集合的是（

）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师2．（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；⑤满足不等式的的取值．3．（2023·上海）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式的所有正整数解.考点二元素与集合的关系【例2】（2023·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【一隅三反】1．（2023春·四川内江）已知集合,那么（

）A． B． C． D．2．（2023春·福建龙岩）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（

）A．4 B．2 C．3 D．53．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知集合A=｛0，1，2｝，则（

）A．0A B．1 C．2=A D．A考点三元素互异性及应用【例3-1】（2023·北京朝阳）设集合，若，则实数m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【例3-2】（2023·安徽）已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023·河南）已知，若，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023·云南）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（

）A． B．0 C．或0 D．无解【一隅三反】1．（2023·福建）若，则的值为（

）A． B． C．或 D．2．（2023春·河南）若，则a2020+b2020的值为（

）A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣13．（2023春·山东日照）已知集合，且，则的值可能为（

）A． B． C．0 D．14．（2023·广东）设集合，若，则的值为（

）．A．，2 B． C．，，2 D．，25．（2023·陕西西安）已知集合，其中为常数，且.若中至多有一个元素，则实数的取值范围为___________.考点四集合的表示方法【例4】（2023·陕西安康）表示下列集合：(1)请用列举法表示方程的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【一隅三反】1．（2023北京）把下列集合用适当方法表示出来：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.2．（2023山东）用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．3．（2023湖北）选择适当的方法表示下列集合:（1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；（3）方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合；（4）三角形的全体组成的集合.考法五集合相等【例5-1】（2023·河北）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【例5-2】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023北京）集合，则（

）A． B．0 C．1 D．22．（2022·高一单元测试）已知集合，若，则（

）A．3 B．4 C． D．3．（2022秋·海南海口·高一校考阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.

集合的概念及特征（精讲）一．元素与集合的概念1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3.集合中的元素具有如下三个特性：(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合．(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．(3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．4.元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A中的元素，就说a属于Aa∈A“a属于A”不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于Aa∉A“a不属于A”5.常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR6.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合二．集合的表示方法1.列举法(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.(2)使用说明①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.③无限集有时也可用列举法表示.2.描述法(1)定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.(2)使用说明①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.集合的分类有限集：集合的元素有限个无限集：集合的元素无限个一．集合概念的理解判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，每个元素是否互异。二．判断元素和集合关系的两种方法1.直接法：集合中的元素是直接给出的.2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.三．元素的互异性求参数1.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值2.根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.四．集合的表示方法1.用列举法表示集合(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.（3）使用列举法表示集合时的注意事项①元素间用逗号隔开；②元素不能重复(互异性)；③元素之间不用考虑先后顺序(无序性)；④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数所构成的集合可表示成{1,2,3，…，100}；⑤“{}”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，但如果写成{实数集}或{全体实数}就是错误的；⑥对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法．2.利用描述法表示集合(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.考点一集合概念的理解【例1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.【一隅三反】1．（2023·北京）下列各对象可以组成集合的是（

）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【答案】B【解析】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B.2．（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；⑤满足不等式的的取值．【答案】②③⑤【解析】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确，故答案为：②③⑤.3．（2023·上海）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式的所有正整数解.【答案】①②④【解析】对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合；对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合.故答案为：①②④.考点二元素与集合的关系【例2】（2023·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·四川内江）已知集合,那么（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知集合，故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，故选：A2．（2023春·福建龙岩）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；是无理数，所以，所以②错误；不是正整数，所以，所以③正确；，所以④正确；是无理数，所以，所以⑤正确；，所以⑥错误.故选:A.3．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知集合A=｛0，1，2｝，则（

）A．0A B．1 C．2=A D．A【答案】A【解析】已知，所以，，，而是任何集合的子集.故选：A考点三元素互异性及应用【例3-1】（2023·北京朝阳）设集合，若，则实数m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【解析】设集合，若，，或，当时，，此时；当时，，此时；所以或.故选：C【例3-2】（2023·安徽）已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】①，∴，，则，不可以，②，∴，，则，可以，或，∴，，则，不可以，③，，，则，不可以，或，∴，，则，不可以，∴，故选：B．【例3-3】（2023·河南）已知，若，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，且，解得，故选：B【例3-4】（2023·云南）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（

）A． B．0 C．或0 D．无解【答案】C【解析】集合有一个元素，即方程有一解，当时，，符合题意，当时，有一解，则，解得：，综上可得：或，故选：C.【一隅三反】1．（2023·福建）若，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），此时，符合题意；综上所述：.故选：A.2．（2023春·河南）若，则a2020+b2020的值为（

）A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1【答案】C【解析】∵，根据集合中元素的性质可得：∴，解得a=﹣1，b=0，∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.故选：C.3．（2023春·山东日照）已知集合，且，则的值可能为（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【解析】集合，四个选项中，只有，故选：C．4．（2023·广东）设集合，若，则的值为（

）．A．，2 B． C．，，2 D．，2【答案】D【解析】由集合中元素的确定性知或．当时，或；当时，．当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．综上，或．故选：D．5．（2023·陕西西安）已知集合，其中为常数，且.若中至多有一个元素，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】由，若中有零个元素，即方程无解，则，解得；若中有一个元素，即方程只有一个解，当时，方程为，解得，成立，当时，，解得，成立，综上所述，若中至多有一个元素，则实数，故答案为：.考点四集合的表示方法【例4】（2023·陕西安康）表示下列集合：(1)请用列举法表示方程的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【答案】(1)(2)(3)，(4)【解析】（1）方程的解集为.（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为.（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，.（4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为．【一隅三反】1．（2023北京）把下列集合用适当方法表示出来：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）{且}；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{且}．（2）.（3）由得，因此.（4）由，且，得或，因此.（5）由得或，.因此.2．（2023山东）用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【解析】（1）用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}．（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}