小学数学概念结构化教学路径

【摘要】数学概念反映了事物包括数量关系、空间形式在内的结构关系的本质属性。从结构化教学的角度引导学生学习数学概念，对学生的认知理解、思维创新及知识体系构建有着较好的帮助。文章提出适配学生认知规律、借用可视表达工具、关注知识间的关联、锻炼学生的应用能力以及注重教学循环与深化等五项结构化教学策略，目的是帮助学生对概念的内涵、外延、特征以及性质等进行总结与归纳，从而构建起完善的知识架构体系。【关键词】小学数学；结构化教学；数学概念；意义；策略美国著名教育学家杰罗姆·布鲁纳在其著作《教育过程》中指出：“要深入掌握一门学科，必须把握其基本结构。”[1]对于数学这门学科来说，它的知识体系并非简单地堆砌，而是一个有机且结构化的整体。《义务教育数学课程标准（2022版）》强调“设计体现结构化特征的课程内容”，并在教学建议中指出“引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构”。小学数学概念教学的重要性犹如奠基之石，对于学生数学认知结构的建立与发展具有深远影响。可以说，概念结构化教学不仅是对知识的传递，更是一种思维的启迪和能力的孕育。本研究以统编版小学数学五年级下册“圆的认识”为例，深入探讨了对零散的概念知识进行有序化的组织、整理及归纳的策略，以期帮助学生更好地理解数学概念并形成稳固的结构化知识体系。一、小学数学概念结构化概述数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，是人们通过实践从数学研究的事物对象的许多属性中，抽象出其本质属性概括而成的。小学数学概念结构化指的就是将数学中零散、碎片化的概念加以有序组织、整合，使之形成具有内在联系的知识架构。法国的布尔巴基学派在《数学原理》（1910—1913年）中指出：“数学是由一些基本结构组成的，这些结构可以用来构造任何数学分支。”[2]他们将这些基本结构称为“组元”，并认为这些组元是不可分割的，只能通过变换来认识。近年来，我国不少学者提出有关数学概念教学的主张，如人民教育出版社编审章建跃博士主要从事数学教育心理学、中学数学课程与教材编写方面的研究，其在2023年“面向新时代的数学教育——第二十三届全国初中数学教学观摩研讨会”上提出，要将“单纯的概念教学”转向“结构化的概念教学”，将“单一概念教学”转向“大概念教学”，将“不论概念的主次教学”转向“核心概念的教学”[3]。事实上，这是以结构化主张，即用联系性、整体性和发展性观念看待数学概念的教学设计。由于概念在中学数学知识中的作用和地位，其教学需要进行概念的结构化分析、理解和设计，这是学生认识数学、理解数学和学好数学的关键。本文中概念结构化教学主要是为了探寻不同概念知识间的结构关系，理清各组成部分之间的关联程度，发现并总结数学概念的规律，进而帮助学生培养结构化学习思维。二、小学数学概念结构化教学的重要意义1.促进知识关联整合。结构化教学，其实质是一种注重数学知识内在联系和逻辑结构的教学方法。在这种方法的引导下，数学概念不再是一堆零散、孤立的知识，而是被整合成一个有机的整体。通过结构化教学，学生得以从一个更加全局、更加系统的视角来看待数学。他们不再因为某个概念难以理解而感到困惑，因为他们知道这个概念在整个数学知识体系中的位置和作用，会形成系统化、稳固型的数学知识结构。2.提升学生的思维层次。结构化教学不仅关注学生掌握的数学知识，更重视其数学思维，尤其是高阶思维的培养。结构化教学通过其独特的方式，引导学生深入挖掘每一个数学概念背后的本质与内在联系，使他们不仅知道这些概念的定义和性质，更能理解其之间的内在联系和邏辑，使学生能更加深入地理解知识的内涵和外延。在这一过程中，学生的数学思维得以不断拓宽和深化，思考深度及广度有效增强，为他们解决复杂的数学问题奠定了坚实的基础。3.培养学生的创新能力。结构化教学着重于知识的整体性和内在逻辑性，有助于学生建立完整的数学认知结构和思维架构。教师不仅传授知识，更通过设计结构模型，帮助学生建立数学知识体系。在这一过程中，学生的逻辑推理能力得以培养，问题解决能力也随之提升。他们不再被复杂的问题所困扰，而是能够迅速找到问题的症结所在，并提出有效的解决方案。这种能力的提升，无疑可以为他们未来的学习和工作带来巨大的竞争优势。4.完善学生的知识结构。结构化教学的核心理念在于突出数学概念之间的层次性和关联性。在这种教学模式下，数学概念并不是孤立的，而是相互关联、层次分明的，这为学生们提供了一个清晰的认知框架，让他们能够在学习时明确各概念之间的位置与关系。这种教学方法不仅能帮助学生从宏观上把握数学知识的全貌，还能在微观上深入探究每一个概念的细节。更为关键的是，结构化教学不是一成不变的，它是一个持续丰富和完善的过程。学生随着对数学知识的深入理解，可以不断地为这个框架添加新的内容，调整原有的结构，使其更加完善。三、小学数学概念结构化教学的有效策略1.遵从规律，适配学生的认知序列。奥苏贝尔在《有意义言语学习心理学》指出：“意义学习就是将符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系。”[4]从心理学的角度来看，学生的认知发展过程复杂而多维，包含感知到符号化再到思维模式的转变和元认知的形成，每个阶段都有其特定的认知任务和发展特征。结构化教学不单是为了使学生掌握某个或几个知识点，而是要从综合性、整体性以及系统性的角度出发，旨在帮助学生构建一个完整、有序、有逻辑的知识体系。因此，要想实现这一目标，就必须在理清知识脉络的基础上，紧密结合学生的认知发展规律并制订教学计划，以确保整个教学过程与学生的认知水平、序列相匹配。如，在教授“圆”的概念时，首先，教师可引导学生回忆生活中与圆相关的物体，从而建立起对圆的整体感知；其次，通过逐步揭示概念的本质属性，使学生深入理解概念的内涵和外延；再次，借助有序的问题帮助学生拓展对概念的认识与理解，避免产生误解和混淆；最后，通过强化概念之间的联系，促进学生知识的迁移和应用。总之，从学生的认知规律出发，采取由浅入深、层次有序、循序渐进的教学方式，是找到概念结构化教学“最佳通道”的关键。2.关联融通，构建结构化知识体系。杰罗姆·布鲁纳的《教育过程》指出：“掌握事物的结构，就是允许以许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它。”[5]而结构化教学就是帮助学生学习事物之间是如何相关联的，故需对课堂概念进行整体层面的把控，以凸显知识点之间的关系与联络，实现学生学习视角由“点”向“面”的转换。从数学学科的知识特征来看，不同概念之间往往具有严密的逻辑性，即相互之间存在直接或间接的关联，如包含、交叉、从属、对立、延伸等。这种关联构成了数学知识体系的基本框架，对此，数学概念结构化教学应当深入挖掘这些关联，帮助学生理清其内在联系和逻辑结构，从而增强他们对数学概念的整体把握及应用能力。例如，在“画圆”活动中，通过移动“圆心”来改变圆的位置，通过调整半径来改变圆的大小，通过多次计算周长与直径的比值来发现圆周率的秘密，学生可以在发现知识关系的基础上实现对“圆”的深入学习，这不仅是一个简单的操作，更是一种探索、体验和发现的过程。而且当学生在探索过程中实现新突破时，便会主动将新知识纳入已有的认知结构中，从而实现知识体系的再整合和拓展。从某种角度而言，当学生实现了对概念知识的关联和融通后，也就掌握了系统化的学习方法，其知识结构体系也会在此过程中变得愈加完善和牢固。3.直观呈现，巧借可视化表达工具。视觉认知理论认为，相对于文字而言，图形和图像能够更快地被大脑所接收和处理，即人类的视觉系统对于图形的处理和识别具有高效性。从知识表征理论视角来看，数学概念往往具有理论性、概括性以及抽象性的特征，学生在学习初期必然会感到晦涩和吃力。而可视化表达工具，如实物、图像、动画、视频等，能够将抽象的概念以直观、形象的方式呈现出来，从而有效降低学生的认知负荷。借助可视化工具开展结构化教学，并非对文字性教学材料的否定。因为，双重编码理论指出，人脑认知系统具有分别处理语言和图形的独立通道，当这两种信息形式同时呈现时，能够互相补充和强化，从而提高学习效果。因此，将可视化工具与文字信息相结合，能够形成互补与协同的效果，有助于促进结构化教学质量。例如，思维导图是一种图形化的表达方式，它可以用于呈现和组织知识、概念和信息。通过将信息以树状结构或其他形式展开，可以帮助学生更好地理解和记忆复杂的概念和知识体系。学生可以将“圆”的定义、性质、特征等一系列内容清晰地列举出来，每一个子概念如“圆的直径”“圆的半径”“圆的周长”等，都可以作为思维导图的节点，在此节点上进一步延伸出与之相关的定义、性质和实例等等，让数学概念不再是一个个孤立、难以记忆的知识点，而是一张相互关联、结构分明、逻辑严密的知识网络。4.强化实践，锻炼学生的应用能力。培养学生的知识应用能力是数学概念结构化教学的重要教学目标，此教学方法的核心在于对知识进行重组与整合，使其形成具有內在联系和逻辑结构的知识体系，便于在解决问题情境中快速、准确地调用所学知识，从而促进学生对知识的应用能力。随着学生在实际问题中对知识的不断运用，其解题经验和策略也会变得更加丰富，逐渐形成对知识应用方法和技巧的深刻认识，使得学生不仅能解决已经学过的问题，还能在面对新的问题时运用所学知识进行新的探索，这种创新性应用能力是数学概念结构化教学的又一重要成果。教师可以将圆的概念知识进行模块化处理，使每个模块都具有明确的学习目标和内容。然后，采取分步骤的方式对学生进行实践训练，比如为每个知识模块设计相关的学习活动，让学生运用所学知识解决实际问题。此外，为了实现所有知识模块的串联，教师可以设计一些综合性题目，引导学生综合运用所学圆的知识来分析和解决问题。如此，学生不仅能够回顾和巩固之前学过的知识模块，更重要的是，他们需要将各个模块的知识相互关联和融合，形成系统化的解决方案，这样知识应用能力自然也就得到了进一步升华。5.复习巩固，促进教学循环与深化。根据艾宾浩斯提出的“遗忘曲线”，人们在学习新知识后会随着时间的推移而逐渐遗忘，除非及时复习并加以巩固。因此，复习和巩固是结构化教学中必不可少的环节，其目的并不是单纯地为了强化记忆，更是一个提炼知识、深化理解、整合归纳的循环过程。所以，复习巩固也可以被看作是一种深化教学的过程，学习者可以在此过程中重新审视之前学过的知识，在原有理解的基础上再思考，进一步挖掘知识之间的内在联系，把握知识的本质和精髓，形成对知识更全面、更深刻的认知与理解，最终形成更为完善、系统的知识结构。复习需讲究方法，方法得当则事半功倍。由于数学知识之间存在关联性和共通性，学生在接触新概念时，可以将已掌握的方法应用到对新知识的学习中，实现经验的迁移和衍变。例如，学生在学习圆的概念之前已经学习过平行四边形，教师就可以引导学生运用对比法自主复习圆的相关概念，实现学习方法的循环与深化。教师还可以组织学生开展一些拓展性探讨活动，如“圆从哪里来？”以及“圆在我们生活中的应用”“某物体为什么做成圆形，而不是其他形状？”等等，通过横向比较