第10章-10.1.3-两角和与差的正切-课件

10.1.3两角和与差的正切第十章10.1两角和与差的三角函数1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.学习目标内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE名称公式简记符号条件两角和的正切公式tan(α＋β)＝____________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋两角差的正切公式tan(α－β)＝____________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋知识点两角和与差的正切公式知识梳理1.tan105°的值为________.－3知识梳理2题型探究PARTTWO一、给角求值例1化简求值：题型探究题型探究题型探究利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.反思感悟(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：反思感悟跟踪训练1

化简求值：题型探究＝tan10°·tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.题型探究二、给值求值(角)题型探究题型探究∴tanα＝tan[(α－β)＋β]tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]题型探究题型探究(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.反思感悟求：(1)tan(α－β)的值；题型探究(2)角α＋β的值.题型探究三、两角和与差的正切公式的综合应用题型探究证明因为tanα＝2，所以左边＝右边，所以原等式成立.题型探究(2)如图所示，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.题型探究解如图所示，作AE⊥CD于点E，因为AB∥CD，AB＝9m，CD＝15m，所以DE＝9m，EC＝6m，设AE＝x，∠CAE＝α，因为∠CAD＝45°，所以∠DAE＝45°－α，题型探究化简，得x2－15x－54＝0，解得x＝18，x＝－3(舍去).答

建筑物AB和CD的底部之间的距离BD等于18m.题型探究当化简的式子中出现“tanα±tanβ”与“tanα·tanβ”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.反思感悟跟踪训练3

(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值.题型探究解由AB＋BP＝PD，设∠APB＝α，∠DPC＝β，∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.题型探究左边＝tanAtanB＋tanA＋tanB＝tanAtanB＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝tanAtanB＋1－tanAtanB＝1.∴原等式成立.题型探究3随堂演练PARTTHREE1.tan255°等于√解析tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°12345随堂演练123452.若tanβ＝3，tan(α－β)＝－2，则tanα等于√随堂演练12345随堂演练123451随堂演练12345＝tan30°(1＋tan72°tan42°)－tan30°tan72°tan42°随堂演练1.知识清单：(1)两角和与差的正切公式的推导.(2)公式的正用、逆用、变形用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：公式中加减符号易记错.课堂小结4课时对点练PARTFOURA.tan66° B.tan24° C.tan42° D.tan21°√12345678910111213141516＝tan24°.基础巩固2.已知tanα，tanβ是方程x2－2x－3＝0的两个根，则tan(α＋β)等于√12345678910111213141516解析由题意知，tanα＋tanβ＝2，tanαtanβ＝－3，基础巩固√√12345678910111213141516基础巩固√123456789101112131415164.若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°等于解析∵28°＋32°＝60°，基础巩固√12345678910111213141516∴tanα＋tanβ＝tanα·tanβ－1，∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－(tanα＋tanβ)＋tanα·tanβ＝1－(tanα·tanβ－1)＋tanα·tanβ＝2.基础巩固12345678910111213141516又0°<α<90°，90°<β<180°，所以－180°<α－β<0°，所以α－β＝－45°.－7－45°基础巩固12345678910111213141516基础巩固12345678910111213141516基础巩固(1)求tanα的值；12345678910111213141516基础巩固12345678910111213141516基础巩固12345678910111213141516基础巩固又0<B＋C<π，12345678910111213141516基础巩固又0<A＋B<π，12345678910111213141516由①②及A＋B＋C＝π，∴△ABC为等腰三角形.基础巩固11.(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为A.16 B.8 C.4 D.2√12345678910111213141516解析由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，故(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)＝4.综合运用12345678910111213141516√综合运用12345678910111213141516解析由公式变形得tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝tan(180°－C)(1－tanAtanB)＝－tanC(1－tanAtanB)＝－tanC＋tanAtanBtanC.∴tanA＋tanB＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC综合运用12345678910111213141516综合运用则tanα＝2，因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516综合运用15.已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则