第1讲 机械振动

第十三章

机械振动机械波

第。讲机械振动

I教材阅读指导1

（对应人教版新教材选择性必修第一册页码及相关问题）

IDP3I阅读“弹簧振子”这一部分内容，为什么说弹簧振子是理想化模

型？

提示：摩擦和空气阻力不计，弹簧质量不计。

IBP32阅读“弹簧振子的位移一时间图像”这一部分内容，弹簧振子的位

移一时间图像中的位移指的是相对于哪点的位移?

提示：小球的平衡位置。

3P36［做一做］“测量小球振动的周期"，简谐运动的周期是否与振幅有

关？

提示：无关。

4P38［例题］,再做该题，对简谐运动，小球在灯通过的路程一定是24

吗？在;7通过的路程一定是4吗？

提示：小球在gr通过的路程一定是2A；在：丁通过的路程不一定是A,小球

只有自最大位移处或平衡位置处开始，在：丁通过的路程才是Ao

5Pao［练习与应用

T5O

提示：T4：如图所示。

Ts：X甲=5X10-3sin（5m+兀）m,

x乙=2X10-3sin^|jrr+^

ITlo

P42［做一做］,再填该表，体会简谐运动过程中各物理量的变化规律。

提示:

位置Q。->O0O-PP

位移的大小最大0最大

速度的大小0最大0

X

动能0最大0

X

弹性势能最大0最大

机械能不变不变不变个变不变

P43［练习与应用］口、T2,再做这两道题，体会用动力学方法分析简谐

运动。

提示：「：由简谐运动的定义出发，先确定平衡位置，再分析什么是回复力,

进而论证。

T2：(1)木筷受力平衡位置为振动的平衡位置，分析木筷所受合力尸合与其下

端偏离平衡位置的位移无是否满足/合二-乙。

(2)小球受重力和圆弧面支持力作用，分析这两个力的合力沿圆弧方向的分力

尸与小球偏离最低点的位移工是否满足尸=-日。

IBP44〜45阅读“单摆的回复力”这一部分内容，单摆做简谐运动的条件

是什么？

提示：摆角很小。

P47［练习与应用仃4。

第2页，共30页

1m;(2)/?max=arcsin^o

提示：⑴/二

P48〜49阅读“用单摆测量重力加速度”这一部分内容，请思考：除通

过公式计算求平均值，还能用什么方法处理实验数据，得到重力加速度?

提示：设小球半径为一，则摆长£=/+，，由］,得/=泰72-几由

/-产图像的斜率即可求出g。

P51［做一做］图2.6-3中，使D摆偏离平衡位置后释放，在振动稳定

后其余各摆中哪个摆的振幅最大?

提不：A摆、G摆。

IBP55〜56［复习与提高］B组「、T2ST5J再做这几道题，体会动力学观点

和能量观点在分析振动问题时的应用。

提示：Ti：E=>AE=wngM=^^X0.2X10X(1.5-1.2)X10-2J=3XIO_2Jo

2"

丁T\7t\lgi屉y-jGnwn^G用2〃z摆T\

T2：7^=17=Mg/又~^T=mm,解传•不二R品丁

27rAfe

T5：由力的周期性变化分析单摆的周期。

(1)0.8Ks,1.6m;

(2)(3)设单摆竖直方向的最大偏角为仇则从最高点到最低点，由机械能守恒

定律有：mg(l-/cos。)=加】

受力分析：在最高点时，F,nin=ingcosO

在最低点时，Fmax—"咽二人叮

尸max+2Rnin

联立解得:m=5X10'2kg；

3g

第3页，共30页

振动物体完成全振动的次数与回7=谢

频率

所用时间之比

描述周期性运动在各个时刻所处

相位cot+网

的不同状态

物理观念2简谐运动的公式和图像

1.表达式

⑴动力学表达式：尸二国二反，其中“-”表示回复力与位移的方向相反。

⑵运动学表达式：，=位］4sin(M+0o),其中4表示振幅，口二寸二2寸表示

简谐运动的快慢，而+3。表示简谐运动的相位，0。叫作画初相。

2.简谐运动的图像

(1)如图所示。

(2)物理意义：表示振动质点的位移随画时间的变化规律。

物理观念3弹簧振子、单摆及其周期公式

简谐运动的两种模型

模型弹簧振子单摆

h

"♦:

示意图

--------1

:X•;Ai…C

(1)弹簧质量可忽略(1)摆线为不可伸缩的轻质细线

简谐运

(2)无摩擦等回1阻力(2)无空气阻力

动条件

最大摆角。回空

(3)在弹簧弹性限度内(3)

回复力弹簧的画建力提供摆球厨重力

第5页，共30页

沿与摆线垂直方向的分力

平衡位置弹簧处于两原长处画最低点

周期与画振幅无关

弹性势能与动能的相互转化，重力势能与动能的相互转化，回

能量转化

两机械能守恒机械能守恒

物理观念4受迫振动和共振

I.振动中的能量损失

⑴阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振

幅必然而1逐渐减小,这种振动称为阻尼振动。

（2）振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械

能逐渐转化为画内能;②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量

网向四周辐射出去。

2.受迫振动

系统在画驱动力作用下的振动叫作受迫振动。做受迫振动物体的周期（或频

率）等于画驱动力的周期（或频率）,而与物体的固有周期（或频率）画无关。

3.共振曲线

如图所示的共振曲线，表示某振动系统受迫振动的振幅4纵坐标）随驱动力

频率人横坐标）变化的关系。驱动力的频率/跟振动系统的固有频率,相差越小，

振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的画固有频率？时,振幅最大。

/必备知识夯实

一堵点疏通

第6页，共30页

1.简谐运动是匀变速运动。（）

2.振幅等于振子运动轨迹的长度。（）

3.简谐运动的回复力肯定不是恒力。（）

4.弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能为零。（）

5.单摆无论摆角多大都做简谐运动。（）

6.物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。（）

7.简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。（）

答案LX2.X3.J4.X5.X6.V7.X

—对点激活

1.一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置0为/轴坐标原点。从某

时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿丈轴正方向的最大加速度。能正

确反映振子位移x与时间，关系的图像是（）

答案A

解析振子的加速度大小与回复力大小成正比，方向与位移方向相反，具有

正向的最大加速度，就应该具有最大的负方向的位移。振子从平衡位置开始计时,

并向负方向移动时，经四分之一周期振子具有沿工轴正方向的最大加速度，A正

确，B、C、D错误。

2.（人教版选择性必修第一册H7T3改编）（多选）如图是两个单摆的振动图像,

以下说法正确的是（）

A.甲、乙两个摆的振幅之比为2：1

B.甲、乙两个摆的频率之比为1:2

第7页，共30页

C.甲、乙两个摆的摆长之比为1：2

D.以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从，=0起，乙第

一次到达右方最大位移时，甲振动到了平衡位置，且向左运动

答案AD

解析由振动图像知A甲=2cm,A乙=1cm,所以甲、乙两个摆的振幅之比

=^=7,故B错误；由T=

为2:1,故A正确；7甲=4s,丁乙二8s,

/甲

L甲711

得,1二宜二不故c错误；由图像知，，=2S时，乙第一次到达右方最大位移

处，此时x甲=0,且向左运动，故D正确。

3.（人教版选择性必修第一册T54T4改编）一个单摆在地面上做受迫振动，其

共振曲线（振幅A与驱动力频率/的关系）如图所示，贝lj（）

A.此单摆的固有周期约为0.5s

B.此单摆的摆长约为1m

C.若摆长增大，单摆的固有频率增大

D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动

答案B

解析由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5Hz,则固有周期为2s,A错误;

由得此单摆的摆长约为1m,B正确；若摆长增大，单摆的固有周期

增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，C、D错误。

4.（人教版选择性必修第一册P34P改编）如图所示，在=0至h=4s的范围

内回答以下问题。

第8页，共30页

(1)质点相对平衡位置的位移的方向在哪些时间内跟它的瞬时速度的方向相

同9在哪些时间内跟瞬时速度的方向相反9

(2)质点在第2s末的位移是多少？

(3)质点在前2s内走过的路程是多少？

答案(1)在。〜1s,2〜3s内位移方向跟它的瞬时速度方向相同在1〜2

s,3〜4s内位移方向跟它的瞬时速度方向相反，(2)(尸(3)2()cm

解析(1)位移一时间图线的某点的切线的斜率即是某时刻的速度，可知，质

点相对平衡位置的位移的方向在。〜1s和2〜3s为跟它的瞬时速度的方向相同，

在1〜2s和3〜4s内跟瞬时速度的方向相反。

(2)质点在第2s末的位移是Oo

⑶质点在前2s内走过的路程是s=2X10cm=20cmo

核心素养发展9提升I

深化

考点1简谐运动的特征«理解

［科学思维梳理］

1.动力学特征

F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反，左是比例系数，不一定

是弹簧的劲度系数。

2.运动学特征

做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相

反，为变加速运动，远离平衡位置时，乐F、〃、Ep均增大，八反均减小，靠近

平衡位置时则相反。

3.周期性特征

第9页，共30页

相隔〃八〃为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。

4.对称性特征

T(2〃+1)7

(1)时间对称性：相隔£或—2—(〃为正整数)的两个时刻，物体位置关于平

衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等、方向相反。如图甲所示：

，时刻住费时刻

—•—24------------•

COI)B

甲

。为平衡位置，A、8为振子偏离平衡位置最大位移处，振子/时刻在C点，

(2,?+1)7_

，+---2---时刻运动到D点，则位移XL)=-xc,速度VD=-vc,加速度ar=-

(2)空间对称性:如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P'(OP

=0P')时，速度的大小、动能、势能相等，相而于平衡位置的位移大小相等。

-?op-

乙

止匕外，振子由。到。所用时间等于由。到P’所用时间，即打。=振子

往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即top=tpo.

5.能量特征

简谐运动的能量包括动能Ek和势能品，简谐运动过程中，系统动能与势能

相互转化，系统的机械能守恒。

例1(2021.河北高考)如图，一弹簧振子沿1轴做简谐运动，振子零时刻向

右经过八点，2s时第一次到达B点。已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，

2s内经过的路程为5.6m,则该简谐运动的周期为s,振幅为mo

l-wvyw^~

iioA

［答案142.8

［解析1根据简谐运动的对称性可知，A、B

第10页，共30页

两点关于平衡位置对称，从向右经过A到第一次到达8经过了半个周期的振

动，则周期为7=2X2S=4S,路程为s=2A=5.6m,解得振幅为4=2.8m°

I关键能力升华］

分析简谐运动的技巧

(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要以位移为桥梁，位移增大时，

振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相

反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。

(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。

(3)若没有给出开始时刻质点的振动方向，还须分情况讨论，以防丢解。

［对点跟进训练］

1.(简谐运动规律的理解及应用)(多选)下列关于简谐运动的说法正确的是

()

A,速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次

全振动

B.一个全振动指的是动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程

C.位移减小时，加速度减小，速度增大

D.物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平

衡位置时，速度方向与位移方向相同

答案ACD

解析通过画运动示意图可知，速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小

和方向所经历的过程为一次全振动，A正确；一次全振动，动能和势能均会有两

次恢复为原来的大小，B错误；当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物

体正在返回平衡位置，故速度增大，C正确；回复力与位移方向相反，故加速度

与位移方向相反，但速度的方向可以与位移的方向相同，也可以相反，物体运动

方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，速度方

向与位移方向相同，D正确。

2.(简谐运动的判断)一质量为〃?、侧面积为S

第11页，共30页

的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水

中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动

是否为简谐运动。

答案见解析

解析以木块为研究对象，设水的密度为P，静止时木块浸入水中Ar深度,

当木块被压入水中工后所受力如图所示，以向下为正方向，则

产合二，〃g一产浮,

又尸浮二QgS(Ax+JT),

可得：尸合=mg-,gS(Ax+x)=mg-pgSkx-pgSx,

因为m所以F合二-〃gS》,

即尸合二/回二-la(k=pgS),

所以木块的振动为简谐运动。

深化

考点2简谐运动的描述理解

［科学思维梳理］

1.图像法

(1)图像特征

①简谐运动的图像是一条正弦函数曲线，是正弦曲线、余弦曲线还是一般的

正弦曲线，取决于质点初始时刻的位置，即初相位。

第12页，共30页

②图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表

质点运动的轨迹。

第12页，共30页

③任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻振子的速度大

小，斜率正负表示速度的方向，斜率为正时，表示振子的速度沿X轴正方向；斜

率为负时，表示振子的速度沿X轴负方向。

(2)图像信息

①由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。

②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

③可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度和速度的方向。

a.回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度

的方向在图像上总是指向，轴。

b.速度的方向：某时刻速度的方向既可以通过该时刻在图像上对应点的切线

的斜率来判断，还可以通过下一时刻位移的变化来判断，若下一时刻位移增加，

速度方向就是远离/轴；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向，轴。

④可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的

变化情况。

2.解析法

简谐运动的表达式为x=Asin(初+9),它是用解析的方法描述简谐运动，与

图像法相比，更适合利用三角函数的知识作定量计算。

3.简谐运动两种描述方法的比较

(1)简谐运动图像即x-t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质

点的位移x随时间t变化的规律。

(2)x=Asin(碗+仍是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。

(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。常解决的两类问题：一是根据振

动方程作出振动图像；二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，写出位移的函

数表达式。第二类问题的难点是求出初相位，可以结合振动图像及简谐运动表达

式解三角函数方程得出，同时要注意初相位的正负。

第13页，共30页

例2某学生在粗细均匀的木筷下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子

中(如图甲)。现把木筷向上提起一段距离后放手，此时刻开始计时，之后木筷做

简谐运动，以向上为正方向作出了木筷振动的位移一时间图像，如图乙所示。不

计水的阻力，贝心)

甲

A.2.4s时，木筷处于平衡位置

B.前0.8s内，木筷运动的路程为0.4m

C.木筷的位移与时间的关系为x=0.05sin(10加+?m

D./=0.05s时，木筷的重力小于其所受的浮力

［答案］B

［解析］由图乙可得振动周期为7=0.4s,则f=2.4s=67时，木筷处于初始

位置，在正的最大位移处，A错误；前0.8s内，木筷振动了2个周期，所以木筷

运动的路程为2X4A=0.4m,B正确；木筷振动的圆频率①二寸二5兀rad/s,由图

乙可知，初相位网J,则木筷的位移与时间的关系为x=0.05sin(5m+?m,C

错误；［=0.05s时，木筷的位移为正，根据尸二-乙可知合力厂方向为负，即竖

直向下，所以木筷的重力大于其所受的浮力，D错误。

［关键能力升华］

对振动图像的理解

(1)可确定振动质点在任一时刻的位移。如图所示，h、及时刻质点偏离平衡

位置的位移分别为xi=7cm,X2=-5emo

第14页，共30页

(2)可确定质点振动的振幅，图像中最大位移的绝对值就是质点振动的振幅。

如图所示，质点振动的振幅是10cm。

第14页，共30页

（3）可确定质点振动的周期和频率，振动图像上一个完整的正弦（或余弦）图形

在时间轴上拉开的“长度”表示周期，频率等于周期的倒数。如图所示，。。、

AE.所的间隔都等于质点振动的周期，T=0.2s,频率f/=5Hz。

（4）可确定质点的振动方向。如图所示，在八E寸刻，质点正远离平衡位置向正

方向运动；在△时刻，质点正朝向平衡位置运动。

（5）可比较各时刻质点加速度的大小和方向。例如在图中。时刻，质点偏离平

衡位置的位移汨为正，则加速度0为负；在时刻，质点偏离平衡位置的位移

及为负,则加速度6为正；因为所|>网,所以|。1|>|政|。

【对点跟进训练1

1.（简谐运动的图像）如图所示为某弹簧振子在。〜5s内的振动图像，由图可

如，下列说法中正确的是（）

A.振动周期为5s,振幅为8cm

B.第2s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值

C.从第1s末到第2s末振子的位移增加，振子在做加速度减小的减速运动

D.第3s末振子的加速度为正向的最大值

答案B

解析由图可读出振动周期为7=4s,振幅为A=8cm,故A错误；第2s

末振子处于负向最大位移处，速度为零，由。二-■^可知加速度为正向的最大值,

故B正确；从第1s末到第2s末振子由平衡位置向负向最大位移处运动，速度减

kx

小，位移增加，振子在做加速度增大的减速运动，故c错误；由。二-帚可知，

第3s末振子在平衡位置，加速度为零，故D错误。

2.（简谐运动的图像与表达式）（2021.广东高考）如图所示，一个轻质弹簧下端

挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A

第15页，共30页

后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为兀经（时

间，小球从最低点向上运动的距离a选填“大于”“小于”或“等

T

于"）；在w时刻，小球的动能（选填“最大”或“最小”）。

答案小于最大

解析根据图像可知，小球做简谐运动的位移），二-Acos岸则/二（时有

-Asin俘X§=一阴，所以经《时间，小球从最低点向上运动的距离为Ay

二A—阴二三归，小于）；在/二（时刻，小球回到平衡位置，具有最大速度，

所以小球的动能最大。

考点3单摆

［科学思维梳理］

1.对单摆的理解

（1）回复力：摆球重力沿轨迹切线方向的分力，尸回二-〃7gsin9=-竿=-kx,

负号表示回复力厂回与位移x的方向相反。

（2）向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，尸向二

FT-nigcosOo

两点说明：

mv2

①当摆球在最高点时，F向二'-=0,尸r=〃zgcos心

②当摆球在最低点时，尸向二詈辿，尸向最大，尸r=mg+〃亭。

第16页，共30页

2E噌，与单摆

⑶单摆是一个理想化模型，摆角。＜5。时，单摆的周期为r二

的振幅A、摆球质量机无关，式中的g由单摆所处的位置决定。

2.等效摆长及等效重力加速度

（1）广一等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线

摆的摆长厂=r+Lcosao乙图中小球（可看作质点）在半径为R的光滑圆槽中A点

的附近振动，其等效摆长为/'=R。

（2）g'——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关°

①在不同星球表面：屋二不，M为星球的质量，R为星球的半径。

②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g'=g+〃和g'=g

-a,a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。

例3（2021•湖北省高三下新高考模拟联考）妇图甲所示，。是单摆的平衡位

置，单摆在竖直平面内左右摆动，历、N是摆球所能到达的最远位置，设向右为

正方向，图乙是单摆的振动图像。当地的重力加速度大小为10m/s2,下列说法正

确的是（）

A.单摆振动的周期为0.4s

B.单摆振动的频率是2.5Hz

C.U0时摆球在M点

D.单摆的摆长约为0.32m

第17页，共30页

［答案］C

［解析1由题图乙知单摆振动的周期r=0.8s,A错误;贝IJ频率/="=1.25Hz,

B错误；由题图乙知，/=（）时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以/

二（）时摆球在M点，C正确；由单摆的周期公式7二

D错误。

［关键能力升华］

（1）单摆和弹簧振子不同，单摆在平衡位置时，摆球所受回复力为零，但所受

合力不为零。

（2）单摆的周期只由摆长和重力加速度决定。

（3）单摆的振幅可用角度或长度表示，振幅若用长度表示，指的是摆球偏离平

衡位置的最大弧长（近似等于摆球偏离平衡位置的水平位移的最大值）。

［对点跟进训练］

（单摆运动规律的应用）夏天的河上，有几名熟悉水性的青年将绳子挂在桥下

荡秋千，绳子来回荡几次后跳入河中。现把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋

千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是（）

A.小王荡秋千时，其周期大于6.28s

B.图中。点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零

C.小明荡到图中对应的力点时，动能最小

D.该秋千的绳子长度约为10m

答案D

解析根据可知，单摆运动的周期与摆球的质量无关，结合题图

可知小王荡秋千时，其周期等于6.28s,故A错误；题图中。

第18页，共30页

点对应荡秋千时的最高点，此时回复力最大，故B错误；题图中〃点对应单

摆的平衡位置，此时速度最大，动能最大，故C错误；根据7二2超，计算得

到该秋千的绳子长度/=10m,故D正确。

对比

考点4受迫振动与共振，分析

［科学思维梳理］

自由振动、受迫振动和共振的比较

动类型

项目、自由振动受迫振动共振

受到周期性的驱动受到周期性的驱动

受外力情况仅受回复力

力作用力作用

振动周期由系统H身的性质决定，由驱动力的周期和丁驱二丁固

和频率即固有周期和固有频率频率决定/驱=/固

无阻尼自由振动物体的

由产生驱动力的物振动物体获得的能

振动能量机械能K变，阻尼振动物

体提供量最大

体的机械能减小

机器运转时底座发

常见例子弹簧振子，单摆共振筛，转速计

生的振动

例4（2021•浙江省宁波市高三二模）（多选）把一个筛子用四根弹簧支撑起来,

筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共

振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心

轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮

的转速是54r/min,下列说法正确的是（）

A.此时共振筛的卷动频率为（）.9Hz

第19页，共30页

B.减小筛子质量，筛子的振幅一定增大

C.转速调至48r/min时，筛子出现共振状态

D.增大电压，筛子振幅会先增后减

［答案1AC

［解析］根据受迫振动的特点可知，共振筛的振动频率等于偏心轮的转动频

率，所以当偏心轮的转速为54r/min时，共振筛的振动频率为力=器Hz=0.9Hz,

故A正确；由图乙知筛子的固有频率为0.8Hz,减小筛子质量后，筛子的固有周

期将减小，固有频率将增大，则筛子的振幅可能增大，还可能减小，故B错误；

转速调至48r/min时，偏心轮的转动频率为力二1|Hz=0.8Hz,此时偏心轮的转

动频率等于筛子的固有频率，筛子出现共振状态，故C正确；增大电压，偏心轮

的转动频率将增大，由于开始时偏心轮的转动频率大于筛子的固有频率，所以根

据共振曲线可知，筛子的振幅会一直减小，故D错误。

［关键能力升华］

对共振的理解

(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率/,纵坐标为振幅4它直观

地反映了驱动力频率对某固有频率为尢的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可

知，/与弁越接近，振幅A越大；当了二为时，振幅A最大。

(2)受迫振动中系统能量的转化：驱动力对系统做功，补偿系统的能量损耗，

将其他形式的能转化为内能。

［对点跟进训练］

(受迫振动与共振)(2021•浙江1月选考)(多选)为了提高松树上松果的采摘率和

工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的

两种装置，如图甲、乙所示。贝lj()

第20页，共30页

甲乙

A.针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同

B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大

C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同

D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同

答案AD

解析根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，

此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率可能不同，则针对不同树木，落果

效果最好的振动频率可能不同，A正确；当振动器的振动频率等于树木的固有频

率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅

度不一定增大，B错误；不同粗细树干的固有振动频率不同，则打击杆对不同粗

细的树干打击结束后，树干自由振动的振动频率不同，C错误；树干在振动器的

周期性驱动力下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器

的振动频率相同，D正确。

考点5简谐运动与力学的综合问题

［科学思维梳理］

1.简谐运动与力学的综合问题简介

高中阶段常见的简谐运动模型主要是弹簧振子、单摆，除了分析这类力学模

型的运动规律，有时还会涉及动力学、能量分析计算，这就要综合运用力学规律

解决。

2.弹簧振子的力学综合问题

对于弹簧振子的简谐运动，常见的问题有：弹簧振子的振幅、小球最大速度、

所受的最大力的分析、计算。

(1)弹簧振子的动力学分析通常用到回复力公式及牛顿第二定律。

(2)水平弹簧振子的能量由弹簧的最大弹性势能决定(

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弹簧的弹性势能可根据功能关系结合线性变力做功的求解方法得出:

Ep二处）,它等于小球的最大动能gm=J"*

3.单摆的力学综合问题

对于单摆的简谐运动，常见的问题有：单摆的振幅、摆球的最大速度、摆球

所受的最小力、最大力的分析、计算。

（1）单摆的动力学分析通常用到回复力公式、圆周运动规律及牛顿第二定律。

（2）单摆的能量由振幅（用弧长表示）、摆长及摆球的质量共同决定：£=£pmax

=〃侬（1-COsOmax）（以摆球的最低点为零势能点，其中而，…:）。它等于摆球的

最大动能（bkm=；〃加J。

例5（2021•山东新高考质量评测联盟高三4月联考）一理想的单摆如图甲所

示，振动图像如图乙所示，其振动最大摆角。二4。，不计空气阻力，则此摆的摆

长/及U0.25s时摆球的加速度〃的大小是（si®=0.0698,cos4°=0.998,重力

加速度g=10m/s2,n2^g)()

A./=0.25m,a=0

B.I=0.25m,a=0.04m/s2

C.1=1.0m,a=0

D.1=1.0m,a=0.04m/s2

［答案1B

［解析］由图乙可知，单摆摆动的周期T=1.0s,根据单摆周期公式T=

可知，摆长/=石27"=。・25m；1=0.25

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s时摆球在最低点，从最大位移处到最低点，根据动能定理得，〃g/（l-C0S4。）

|0"

二切2-0,在最低点有。=7=2g（l-cos4°）=0.04m/s2,故B正确，A、C、D

错误。

［关键能力升华］

简谐运动的动力学和能量问题求解关键

对于这类问题，关键是从动力学角度、能量的角度结合简谐运动的对称性、

周期表达式等解题。

（1）动力学角度的分析通常要用到回复力表达式、力学平衡方程、牛顿第二定

律及向心力表达式。

（2）能量角度的分析通常要用到机械能守恒定律、功能关系。

［对点跟进训练］

（弹簧振子的力学综合问题）弹簧振子做简谐运动的周期式中〃?

为振子的质量，4为弹簧的劲度系数。如图，一轻弹簧一端固定，另一端连接一

物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水

平面上左右振动，振幅为Ao,周期为7（）,当物块向右通过平衡位置时，a、b之

间的粘胶脱开，以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T,则AAo,

T7bo（均选填“＞或“二”）

答案VV

解析当物块向右通过平衡位置时，粘胶脱开前振子的动能反I=%，%+

如抽，脱开后振子的动能反2=3%碗，由机械能守恒定律可知，平衡位置处振子

的动能等于最大位移处弹簧的弹性势能，因此a、b脱离后振子振幅变小；振子的

后

质量变小，由7=2%/可知周期变小。

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课时作业I

一、选择题（本题共8小题，其中第1〜6题为单选，第7〜8题为多选）

1.一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（）

A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值

B.振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大

C.振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也相同

D.振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同

答案D

解析弹簧振子做简谐运动时，加速度方向与位移方向总是相反，若位移为

负值，加速度一定为正值，而速度可能为正值，也可能为负值，故A错误。振子

每次通过平衡位置时，加速度为零，由于速度有两种方向，所以速度大小相同，

方向可能不同，故B、C错误。振子每次通过同一位置时，位移相同，回复力相

同，加速度一定相同，速度大小相同，方向可能不同，故D正确。

2.如图甲所示，弹簧的一端固定在竖直墙壁上，另一端与一个带孔小球连接,

小球穿在水平固定的光滑杆上。。点为小球的平衡位置，并以其为坐标原点建立

工轴。小球可在。、〃两点之间做简谐运动。图乙为小球的振动图像。下列说法正

确的是（）

A.。时刻小球运动到〃点

B.时刻小球的速度为零

C.从人到时间内小球的回复力变大

D.从△到口时间为小球的加速度变小

答案D

解析由图乙可知，八时刻小球运动到x轴负向最大位移处即。点，故A错

误；由图乙可知，/2

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时刻小球在平衡位置，则速度最大，故B错误；由图乙可知，从八到,2时间

内小球从。一0,则小球的回复力变小，故C错误；由图乙可知，从/3到以时间

内小球从O,则小球距离平衡位置的位移变小，由-履二机〃，可知小球的加

速度变小，故D正确。

3.（2021・江苏高考）如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子丛在水平光线

下，圆盘的转轴儿和钉子？在右侧墙壁上形成影子。和P,以。为原点在竖直

方向上建立x坐标系。f=0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为

①，则P做简谐运动的表达式为（）

A.x=/?sin^Z-2）B.1二必叫加+,

C.x=2Rsin（M一引D.x=2/?sin^r+

答案B

解析由题图可知，影子尸做简谐运动的振嗝为R,以向上为正方向，设户

做简谐运动的表达式为x=Rsin（w+m,由题图可知，当［二0时，户的位移为R,

代人表达式解得T，则P做简谐运动的表达式为“Rsin|y+S故B正确，

A、C、D错误。

4.用图甲所示的装置可以测量物体做匀加速直线运动的加速度，用装有墨水

的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。物体

带动纸带一起向左匀加速运动时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下如

图所示的径迹。图乙为某次实验中获得的纸带的俯视图，径迹与中央虚线的交点

分别为A、B、C、D,用刻度尺测出A、8间的距离为内；C、。间的距离为及。

已知单摆的摆长为L,重力加速度为g,则此次实验中测得的物体的加速度为（）

甲乙

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、33)g「(X2-X])g

B.-^2-

83)g(X2")g

C-4H2LD・8五

答案B

解析由题意可知，AB段、BC段、CD段的时间相等且都等于单摆的半周

期，由匀变速直线运动规律得X2-即=2dg2,其中丁为单摆的周期，贝|jT=2n

FLto-xi)v

yl­,联立解得〃二2五，故A、C、D错误，B正确。

5.如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖

直方向以。点为中心点，在C、。两点之间做周期为7的简谐运动。已知在。时

刻物块的速度大小为。，方向向下，动能为右。下列说法错误的是()

A.如果在/2时刻物块的速度大小也为。，方向向下，则，2-九的最小值小于

T

2

B.如果在f2时刻物块的动能也为反，贝卜2-九的最小值为r

c.物块通过o点时动能最大

D.当物块通过。点时，其加速度最小

答案B

解析物块做简谐运动，物块同向经过关于平衡位置对称的两点时动量相等,

所以如果在亥时刻物块的速度大小也为乙方向向下，贝1卜2-。的最小值小于看

A正确；物块经过同一位置或关于平衡位置对称的位置时动能相等，如果在及时

刻物块的动能也为Ek,则12-h的最小值可以小于T,B错误；图中。点是平衡

位置，物块经过。

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点时速度最大，动能最大，加速度最小，c、D正确。本题选说法错误的,

故选B。

6.两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱