河南省信阳市商城县2024届高三下学期三模考试数学试题（含答案解析）

2024届河南省信阳市商城县高三三模考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，，则=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】；根据集合交集的概念得到．故选C．【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.已知集合，，则子集的个数为（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】先求得，然后求得子集的个数.【详解】，所以子集的个数为个.故选：B3.若是纯虚数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据纯虚数的定义可得，，即可求出，再根据诱导公式即可求出.【详解】是纯虚数，，且，即且，即，则，则.故选：C.4.已知数列为等比数列，若，下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等比数列的性质对选项逐一判断，【详解】由题意得，对于A，，得，故A正确，对于B，，而不确定，故B错误，对于C，取值不确定，故C错误，对于D，，当时，，故D错误，故选：A5.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】根据八卦图可知：8个卦中含有两个以上阳爻的有1个，有两个阳爻的有3个，分别为离、巽、兑，有一个阳爻的有3个，分别为震、艮、坎，无阳爻的有1个，为坤，选的两卦的六个爻中恰有两个阳爻，可以从有两个阳爻的离、巽、兑中选一个，另一个选坤，这种选法有种；也可以从有一个阳爻的震、艮、坎中选两个，这种选法有种，从八卦中任取两卦的选法有种，则从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为.故选：.6.，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（）①若，，则②若，，则③若，，则④若，，，则A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.【详解】①，若，，则，①正确.②，若，，则m，n有可能平行或异面；②不正确.③，若，，由线面垂直的判定定理可得，，③正确.④，若，，，因为m不一定在平面内，所以m不一定垂直，④不正确，故选：B.7.已知函数，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先研究函数性质（单调性以及奇偶性），再将不等式转化为，最后根据单调性得，即得结果.【详解】设，显然定义域为R，是奇函数，时，是增函数，是增函数，是增函数，所以是增函数，又是奇函数，所以时，是增函数，从而在上是增函数，∴，即，∴，∴，∴不等式的解集为，故选：A．8.设，若，则实数的最大值为（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值．【详解】因为，若，可得，设，只需要小于等于右边的最小值即可，则，令，可得，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立B.一组数据的平均数为4，则的值为1C.五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，则不同的排队方法有120种D.若随机变量，且，则【答案】AD【解析】【分析】根据相互独立事件、互斥事件、平均数、排列、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若相互独立，则不互斥；若互斥，则不相互独立，所以A选项正确.B选项，，解得，B选项错误.C选项，五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，则不同的排队方法有种，C选项错误.D选项，，所以，D选项正确.故选：AD10.已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（）A.当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆B.当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆C.当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆D.当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线【答案】BD【解析】【分析】设设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论.【详解】设点P的坐标为，则，所以.当时，，即，加上A，B两点表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.当时，，加上A，B两点表示圆心在原点的圆，故B正确.当时，，加上A，B两点表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.当时，，加上A，B两点表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.故选：BD11.关于函数，下列说法正确的是（）A.若，则B.的图像关于点对称C.在上单调递增D.的图像向右平移个单位长度后所得图像关于y轴对称【答案】BD【解析】【分析】对于A，根据三角函数的对称中心性质即可判断；对于B，可根据对称中心对应的函数值特征即可判断；对于C，根据三角函数单调性判断即可；对于D，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可.【详解】对于A，由知，是图象的两个对称中心，则是函数f(x)的最小正周期的整数倍，即，故A不正确；对于B，因为，所以是f(x)的对称中心，故B正确；对于C，由解得，当时，f(x)在上单调递增，则f(x)在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；对于D，的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，是偶函数，所以图象关于y轴对称，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.为了支持“新冠肺炎”的湖北抗疫工作，上海市某医院某科室拟从2名男性，3名女性医务人员中抽调两人前往湖北支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为________.【答案】【解析】【分析】本题首先可以令2名男性分别为、，3名女性分别为、、，然后列出抽调两人的所有可能情况，再然后列出刚好为一男一女的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】令2名男性分别为、，3名女性分别为、、，从中抽调两人的所有可能情况为：、、、、、、、、、共十种，满足刚好为一男一女的所有可能情况：、、、、、共六种，则抽调的两人刚好为一男一女的概率，故答案：.【点睛】本题考查古典概型的相关概率计算，能否列出所有的可能情况以及满足限制条件的所有可能情况是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.13.设函数，_________．【答案】【解析】【分析】分别求得和，由此求得.【详解】，，所以，，所以.故答案为：14.已知四面体的所有棱长均为，过作平面使得，且棱，分别与平面交于点，，若异面直线，所成角的正切值为，则三棱锥的体积为____．【答案】【解析】【分析】根据异面直线，所成角，求出，然后设出，利用余弦定理可表示出，然后再次利用余弦定理可求解出，然后计算三棱锥的体积.【详解】由题，因为，平面，所以，异面直线，所成角为，且．设（），则，于是，解得．又因为底面外接圆半径为，所以三棱锥的高为，所以，从而．故答案为：.【点睛】一般求几何体的体积与表面积可利用，一是求几何体的体积，要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解；二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.四、解答题：本题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设公比为，根据等比数列的通项公式求出、，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可；【小问1详解】解：因为为等比数列，且，，设公比为，所以，所以，，所以；【小问2详解】解：因为，所以16.如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：（1）若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；（2）当的值为多少时，能使平面？【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据二面角的定义作图分析确定二面角的平面角，计算二面角的平面角可结合直角三角形中的边角关系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值；（2）可先猜测的值，然后证明平面，根据平行六面体法人几何性质结合线面垂直的判定定理证明、或者补形证明、或者利用空间向量的线性运算证明．【小问1详解】连接、设和交于，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接．四边形是菱形，，又，．又，，△△，，，，又，，平面平面，又平面，．是二面角的平面角．方法一：∵，可得，，又．因为平面，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，∴．又，∴，∴．方法二：在中，．由余弦定理知，又，∴，∴，即．∴是中点，．方法三：∵，，∴，即．∴，∴，，．∴，故．小问2详解】当时，能使平面．方法一：由前知平面，∴．当时，平行六面体的六个面是全等的菱形．同的证法可得，而平面，故平面．方法二：∵，∴．由题设可知三棱锥是正三棱锥，设与相交于．∵，且，∴．又是正三角形的边上的高和中线，∴点是正三角形的中心．∴平面，即平面．方法三：如图，沿面补一个全等的平行六面体．∴．若平面，则平面．∴．令．由余弦定理可知，．又，则，即．∴，解得或（舍）．由此可知当时，平面．方法四：如图，若平面，则与成的角．过作交的延长线于，则．四边形为平行四边形．设，，则．∵，∴．∴，．在Rt中，，即，∴，解得或（舍去）．由此可知当时，平面．方法五：记，菱形边长为．∵是菱形，∴．又，∴平面，得，要使平面，还需．由，则，得，即时成立．17.金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义乌秦塘站一路经过17座车站．万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了200名乘客，记录了他们从来源地到万达广场站所花费时间t．得到下表：时间t（min）人数（人）106070302010（1）从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t大于或等于18min的概率；（2）估计所有在万达广场站上车乘客花费时间t的中位数；（3）已知的10人，其平均数和方差分别为2，1；的60人，其平均数和方差分别为9，2，计算样本数据中的平均数和方差．注：已知的平均数为a，方差为b，的平均数为c，方差为d，的平均数为e，则的方差为．【答案】（1）0.3；（2）；（3）平均数为8，方差为.【解析】【分析】（1）根据给定r数表，利用古典概率公式计算即得.（2）利用频率分布表估算中位数的方法，求出中位数.（3）利用分层抽样的平均数、方差的求法计算得解..【小问1详解】花费时间t大于或等于18min的乘客人数为60，所以该乘客花费时间t大于或等于18min的概率.【小问2详解】由表格数据知：花费时间小于分钟的频率为，花费时间小于分钟的频率为，因此花费时间t的中位数，，解得：，所以估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数为.【小问3详解】样本数据中的平均数；方差.18.已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象对称中心，且，求点的坐标.【答案】（1），最小正周期为；（2）或.【解析】【分析】（1）利用降幂公式、二倍角公式、辅助角公式化简，代入周期公式计算周期；（2）由对称中心的性质可知，结合求出，即可得到点的坐标．【详解】（1），所以，函数的最小正周期为；（2）由，点是函数图象的对称中心，则，得，，由，解得，得或，当时，，此时，点的坐标为；当时，，此时，点的坐标为.综上所述，点的坐标为或.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．19.已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻最高点的距离为．（1）求的解析式；（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，若