河北省唐山市迁安市高一上学期期中考试数学试卷（含答案解析）

迁安市2024—2025学年度第一学期期中考试高一数学试卷本试卷分第I卷（1—2页，选择题）和第Ⅱ卷（3—4页，填空题和解答题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题，共58分）注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由集合的运算，即可得到结果.详解】由题意可得，则.故选：C

2.已知p：，q：，则是的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充要也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为是的真子集，所以，是的充分而不必要条件.故选：A.3.已知幂函数的图象经过点，则（）A. B.2 C.16 D.±2【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的概念及已知条件求出的解析式，然后求值即可.【详解】是幂函数，设（为常数），∵图象经过点，∴，解得，∴，∴.故选：B.4.函数在上是减函数．则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一次函数的性质即可求解.【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解得，故选：B．5.已知函数，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】计算可得结论.【详解】因为，所以.故选：C.6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.或C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根据为奇函数且为增函数求解即可.【详解】的定义域为R，函数为奇函数且为增函数，又，故，则，即，解得或.故选：B7.若命题：“，”是假命题，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意原命题的否定为真命题，再分是否为0讨论求解即可.【详解】命题：“，”假命题，则，.当时，恒成立；当时，恒成立则，且，即，故.综上有.故选：D8.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客得到的黄金实际克数是t，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列命题中，正确的有（）A.集合的所有真子集为B.若（其中），则C.是菱形是平行四边形D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合间的关系判断各个选项；【详解】对于A，集合真子集是，共3个，所以A错误；对于B，由，知，，则，则B正确；对于C，菱形是特殊的平行四边形，所以C正确；对于D，，所以，所以D错误.故选：BC.10.下列不等式中成立的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】借助不等式的性质对选项逐个分析即可得.【详解】对于A，当时，由，得，故A错误；对于B，若，由不等式的可乘方性得，故B正确；对于C，由，得，两边同乘以，得，即，故C错误；对于D，由，两边同乘以，可得，由，两边同乘以，可得，所以，故D正确.故选：BD.11.以下命题正确的是（）A.与不是同一个函数B.命题：“，”的否定是“，”C.若函数在上单调递增，则正实数a的取值范围是D.设函数为奇函数，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，对应关系不同可判断；对于B，求得命题的否定可判断，对于C，正实数应满足，求解可判断；对于D，利用奇函数的定义可得对恒成立，计算可判断D.【详解】函数的定义域为，的定义域为，两函数对应关系不同，定义域相同，故不不是同一个函数，故A正确；命题：“，”的否定是“，”，故B错误；若函数在上单调递增，则正实数应满足，解得，所以正实数的取值范围是，故C正确；因为函数为奇函数，所以对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，所以，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上.12.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：且，所以函数定义域为.故答案为：13.已知，的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由，利用基本不等式可求最大值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.故的最大值为.故答案为：.14.对，，记，则函数的最小值为__________．【答案】##1.5【解析】【分析】将转化为函数与在同一个处取得的两个函数值的较大的值，数形结合即可得解.【详解】函数是函数与函数同一个取得两个函数值的较大的值，作函数与函数的图象如下，由图象可知，令，得或，故当时，的最小值为．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合，.（1）当时，求，；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）或；或（2）【解析】【分析】（1）根据题意可知，再根据集合间运算求解即可；（2）分析可知，根据包含关系列式求解即可.【小问1详解】由题意可得：，当时，则，可得，所以或；又因为或所以或.【小问2详解】显然，若，则，解得，所以的取值范围为.16.已知二次函数.（1）当且时，解关于的不等式；（2）若的解集是，求a，b；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入，解二次不等式即可得解；（2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得.【小问1详解】当且时，，则不等式，即为即，解得，则的解集为.【小问2详解】因为的解集是，所以是方程即的两根，则，解得.17.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？【答案】（1）20平方米（2）变好了【解析】【分析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解；（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解.【详解】解：（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则.因为，所以.又因为，所以.因此，即所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.【点睛】本题主要考查不等式的应用，考查作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）画出函数在轴右侧的图象并写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最大值.【答案】（1）作图见解析，，.（2）（3）.【解析】【分析】（1）由偶函数的性质可作图，由图象可得单增区间；（2）令，则，f−x=fx（3）分，，三种情况可求得最小值.【小问1详解】函数是定义在上的偶函数，即函数的图象关于轴对称，其图象如图所示：由图象可得递增区间为，0,1.【小问2详解】根据题意，令，则，则，又由函数是定义在团上的偶函数，则∴.【小问3详解】根据题意，，则，则，其对称轴为，当时，在区间上为增函数，；当时，；当时，在区间上为减函数，.则.19.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知.（1）求证：函数图象的对称中心是；（2）求；（3）若、，且，则的最小值.【答案】（1