31椭圆及其标准方程简单几何性质位置关系课件高二上学期数学人教A版选择性

解析几何

曲线与方程

五个特殊曲线

用代数方法处理几何问题直线与圆直线圆圆锥曲线定义与标准方程几何性质直线与与圆锥曲线类比的思想直线的方程点、线的关系圆的方程点、线、圆的关系代数几何一、知识网络图研究策略翻译+运算当然还有三个细节需要注意：（1）要作图提供直观，便于理解题意（2）对于定义的应用强调的是几何（3）平面解析几何仍然是几何，所以几何的观点不能丢掉生产、生活中的圆锥曲线圆锥曲线的历史及发展公元前5世纪，古希腊巧辩学派的数学家提出了几何中三大不可能尺规作图问题：化圆为方问题、立方倍积问题、三等分任意角问题.公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯在研究“立方倍积”问题过程中，发现用不同角度的平面截圆锥面，可以得到不同的曲线，这是圆锥曲线的雏形.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯在著作《圆锥曲线论》中将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.1637年，笛卡尔发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何和代数相结合，创立了解析几何学，推动了圆锥曲线的发展.椭圆及其标准方程探求椭圆的定义动手试验：（1）取一根定长的细绳；（2）把它的两端用图钉固定在A4纸上；（3）当两图钉之间的距离小于绳长，用笔尖将绳子拉直，使笔尖在A4纸上慢慢移动，画出一个图形.探求椭圆的定义动画演示：探求椭圆的定义问题1：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？椭圆的定义椭圆的定义：

平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点M的轨迹叫椭圆.定点F1、F2叫做椭圆的焦点.两焦点之间的距离叫做焦距.问题3：平面内动点到两个定点F1、F2的距离的和等于|F1F2|，动点的轨迹是什么？问题4：平面内动点到两个定点F1、F2的距离的和小于|F1F2|，动点的轨迹是什么？问题5：椭圆上任意一点M，满足的几何条件是什么？F1F2M常记作2c线段不存在常记作问题2：与c的大小关系是什么？探究椭圆的方程问题6：直线的点斜式方程、圆的标准方程是用方法推导出来的？问题7：用坐标法求轨迹方程分为几步？问题8：你准备如何建立平面直角坐标系？坐标法建系、设点、列式、化简、证明以F1F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.问题9：焦点F1、F2的坐标是什么？探求椭圆的方程问题10：椭圆的轨迹条件为什么吗？|MF1|+|MF2|=2a问题11：依据轨迹条件列出的方程是什么？探求椭圆的方程问题12：如何化简方程？椭圆的标准方程问题15：你能在图中找到表示a,b,

的线段吗？椭圆的标准方程xyF1F2PO以F1F2所在直线为y轴，以线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系。【问题16】如果焦点在y轴上，椭圆的标准方程怎么推导？哪个分母大，焦点就在哪个轴上图形焦点坐标定义a、b、c关系焦点位置判断xyF1F2POxyF1F2PO标准方程平面内到两个定点的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.问题17：根据表格比较两种标准方程结构之间的异同？学以致用1.口答：下列方程哪些表示椭圆？

若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?2.已知方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆②表示一个椭圆③表示焦点在x轴上的椭圆与椭圆有关的几何条件：1.平面内，到两定点距离之和为定值(大于定点距离）的点的轨迹2.圆的伸缩变换3.斜率之积为负常数4.平面内到定点与定直线距离之比为常数（常数大于零小于1）的点的轨迹3.1.2椭圆的简单几何性质与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.下面，我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质.

探究观察椭圆的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?1.范围F1F2OxyA1A2B1B2••

探究观察椭圆的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?F1F2OxyA1A2B1B2••2.对称性由图可知,椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心(即原点)叫做椭圆的中心.

探究观察椭圆的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?F1F2OxyA1A2B1B2••3.顶点A1(－a,0),A2(a,0).B1(－b,0),B2(b,0).这四个交点叫做椭圆的顶点.线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b.a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.椭圆的离心率：思考观察图形，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?结论：

c越接近a,椭圆越扁平

这样,利用c和a这两个量,可以刻画椭圆的扁平程度.离心率就是刻画椭圆的扁平程度的量.我们]把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即(1)离心率的取值范围：①e

越接近1，c

就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；②e

越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；③离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁.④特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆变成圆.说明：(2)离心率对椭圆形状的影响：因为a>c>0，所以0<e<1.4.椭圆的离心率：5.比较下列每组中椭圆的形状，哪一

个更接近于圆?为什么?5.比较下列每组中椭圆的形状，哪一

个更接近于圆?为什么?焦点位置x轴y轴方程图形范围对称性顶点离心率椭圆的简单几何性质：F1F2M••xyOB2B1A1A2F1F2M••xyOB2B1A1A2例4

求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.解：

变式求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．

例3已知椭圆的左焦点为是两个顶点,如果F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率e.解1：xF1F2MOyAB••解2：xF1F2MOyAB••直线与椭圆的位置关系回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系的定义：相交（两个公共点）、相切（一个公共点）、相离（无公共点）2.判别方法①几何法：d<r,d=r,d>r②代数法:联立直线与圆的方程消元得到二元一次方程组

(1)△>0

直线与圆相交

有两个公共点；

(2)△=0

直线与圆相切

有且只有一个公共点；

(3)△<0

直线与圆相离

无公共点．能否用于直线和椭圆位置关系判断总结提升：直线与椭圆的位置关系围绕直线与椭圆的公共点展开的，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离。练习1.判断直线y=x+1与椭圆的位置关系.2、y=kx+1与椭圆总有公共点，则m的范围（）

A、（0，1）

B、（0，5）

C、[1，5）∪（5，+∞

）

D、（1，+∞

）一、直线与椭圆的位置关系的判断例１：当m取何值时直线y=x+m与椭圆相交，相切，相离？解：将y=x+m代入整理得5x2+2mx+m2-16=0lmm.Poxylm.Pm分析：思考：（2）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。练习：1.已知椭圆.

（1）当m为何值时，直线与椭圆相交、相切、相离？设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．二、弦长公式设而不求例1.已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系.若相交，求所得的弦长及交点坐标，否则请说明理由.例2.过椭圆的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点，求弦长|AB|.通径:过焦点且垂直于长轴的弦.例1.在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.三、中点弦问题-2-424xyM(2,1)0法1：联立直线与椭圆，利用韦达定理建立k的方程法2：点差法（将两个