广东省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

第1页/共1页广东实验中学2024-2025学年（上）高二级期中考试数学本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算可得，根据共轭复数的概念可得，即可求得复数的虚部.【详解】因为，所以，所以，所以复数的虚部为.故选：.2.一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是（）A.14 B.15 C.23 D.25【答案】D【解析】【分析】利用百分位数的计算步骤求解即可.【详解】将数据按从小到大顺序排列可得11，14，16，17，19，23，27，31，共8个数据，又，所以该数据的百分之七十五分位数是第6个和第7个数据的平均数，即.故选：.3.在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】延长交于点，根据向量的线性运算法则，结合重心的性质将表示为的线性形式即可.【详解】延长交于点，则点为的中点，因为，所以，所以，所以，所以，因为，，，所以，故选：C.4.已知随机事件和互斥,且,,则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案.【详解】因为和互斥,所以,又,所以,因为,所以.故选:B.5.已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线与直线的夹角的正弦值，再计算点到直线的距离．【详解】由题意得，所以，又直线的方向向量为，则，所以，设直线与直线所成的角为，则，则，所以点到直线的距离为．故选：A．6.双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆方程求得半焦距，则渐近线方程及焦点位置设出双曲线方程，再由半焦距求得参数值得双曲线标准方程．【详解】由题意知，设双曲线的方程为，∴，∴，∴.故选:A.7.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设Ax1,y1,B【详解】设Ax代入椭圆方程可得：，两式作差可得：，又的中点坐标为，所以，则，又，所以，即，又，所以，所以椭圆的方程为：.故选：.8.椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出.【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，，又，，，，，则，即线段的长度的取值范围是.故选：B.【点睛】解题的关键是通过两种不同方式求出的面积，得出，再利用离心率的取值范围可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在棱长为的正方体中，，分别是AB，中点，则（）A.平面B.直线与平面所成的角为C.平面平面D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量关系证明，；利用向量法求线面角即可判断；根据点到面的距离公式即可判断.【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1,0,0，，，，，，，，对于，，，，显然，即平行于平面，而平面，因此平面，正确；对于，，，，，所以，，即，，又，平面，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，，所以，所以直线与平面所成的角为，错误；对于，，，而，显然，，即，，又，，平面，于是平面，而平面，因此平面平面，正确；对于，，，设平面的一个法向量n=x,y,z则，令，得，，又，所以点到平面的距离，正确.故选：10.已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（）A.若，则的面积为B.使为直角三角形的点有6个C.的最大值为D.若，则的最大、最小值分别为和【答案】BCD【解析】【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD.【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以，所以的面积为，故A错误；B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理，知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；C选项：由于，所以当最小即时，取得最大值，故C正确；D选项：因为，又，则最大、最小值分别为和，当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：BCD11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A.点在曲线上B.点在上，则C.点椭圆上，若，则D.过作轴的垂线交于两点，则【答案】ACD【解析】【分析】对选项A，根据“双纽线”定义即可判断A正确，对选项B，根据“双纽线”定义得到，再计算即可判断B错误，对选项C，根据“双纽线”定义和椭圆定义即可判断C正确，对选项D，设，根据勾股定理得到，再解方程即可判断D正确.【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确；对选项B，点在上，则，化简得，所以，，B错误；对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以，C正确；对选项D，设，则，因为，则，又，所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，故选：ACD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在角的终边上，则________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由点在角的终边上可得，，则，故答案为：.13.若为偶函数，则实数______.【答案】0【解析】【分析】由求出的值，然后再检验即可.【详解】因为定义域为，关于原点对称，而函数fx为偶函数，所以由得，解得：.当时，，符合题意.故答案为：14.如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为________；的最小值为________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得，，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】①依题意，椭圆与双曲线的焦距均为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得：，由椭圆的定义得：，联立解得，又，由余弦定理得：，即，整理得：，即，于是，，当且仅当时取等号，所以的最小值为；②为的内心，则为的角平分线，由，得，同理：，则，即，因此，而，即，则，为的内心，三点共线，即为的角平分线，延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为，由，得，即为的角平分线，则，即为的角平分线，则有，又，于是，即，而，即，则，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：；.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点．（1）求圆M的标准方程；（2）经过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设，然后根据条件求出圆心，进而可得半径，则圆M的标准方程可求；（2）检验直线的斜率存在，设出直线方程，然后利用垂径定理列方程求解.【小问1详解】圆M的圆心在直线上，设，则，解得，即，圆的半径为，圆M的标准方程为；【小问2详解】经过点的直线被圆M截得的弦长为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆M截得的弦长为，不符，舍去；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，，解得或，直线的方程为或.16.已知三角形的内角所对的边分别为，若，且.（1）若，求；（2）点在边上且平分，若，求三角形的周长.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B，进而可得结果；（2）利用面积关系可得，结合列式求解即可.【小问1详解】由正弦定理可知，则.可得，整理可得.由余弦定理知，且，可得，由知.可知为直角三角形，所以.【小问2详解】点在边上且平分，可知，则，即，可得.①又因为，即，可得.②①代入②得到，解得或（舍去），所以的周长为.17.椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点．（1）求椭圆C的方程；（2）若面积为3，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及，即可求解.【小问1详解】由已知可得，解得，所以，椭圆的标准方程为.【小问2详解】当直线与轴重合时，不符合题意，设直线的方程为，联立，可得，，设，由韦达定理可得，，则，则，解得，所以直线的方程为.18.在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，且E，F分别为PC，CD的中点，（1）证明：平面PAB；（2）若直线PF与平面PAB所成的角为，①求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.②平面ADE将四棱锥分成上、下两部分，求平面ADE以下部分几何体的体积.【答案】（1）证明见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用几何关系，构造辅助线，即可证明线面平行；（2）根据垂直关系，以的中点为原点，建立空间直角坐标系，①求平面和平面的法向量，代入向量公式，求二面角的余弦值；②首先根据垂直关系，说明平面，再根据几何关系，结合三棱锥的体积公式，即可求解.【小问1详解】取PB中点M，连接AM，EM，为PC的中点，，，又，，，，四边形ADEM为平行四边形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；【小问2详解】平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，平面PAB，取AB中点G，连接FG，则，平面PAB，，，，，又，，，①如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，，，，，，设平面PCD的一个法向量，，则，取，则，平面PAB的一个法向量可取，设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为，，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.②如图，，从而AD垂直于AM，四边形AMED为矩形，正三角形PAB中，AM垂直于PB，又AD垂直于PM，从而PM垂直于平面AMED.所以四棱锥体积，又四棱锥的体积为，所以五面体ABCDEM为.19.已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为.（1）求双曲线的标准方程；（2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点.（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；（ii）求的面积的取值范围.【答案】（1）