2024-2025学年黑龙江省哈尔滨113中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

第1页（共1页）2024-2025学年黑龙江省哈尔滨113中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5 B．a8÷a2＝a6 C．2x﹣1＝ D．3m+3n＝6mn2．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）在﹣5x﹣3，，﹣0.7xy+y3，，中，分式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（3分）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小2倍5．（3分）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数（）A． B． C． D．6．（3分）下列根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．7．（3分）一个长方形的面积为（6ab2﹣4a2b），一边长为2ab，则它的另一边长为（）A．3b2﹣2a B．3b﹣2a C．3b2﹣4a2 D．3b﹣2a28．（3分）（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣px+12，则p的值是（）A．6 B．7 C．8 D．99．（3分）若xn＝2，则x3n的值为（）A．6 B．8 C．9 D．1210．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD⊥AF，若AE＝AD，则下列结论中正确的有（）①CE⊥BF；③S△ABC＝S四边形ADCE；④BC﹣EF＝2AD﹣CF．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：（每题3分，共30分）11．（3分）将0.000075用科学记数法表示为．12．（3分）当x时，式子有意义．13．（3分）已知＝2，则代数式．14．（3分）分解因式：ax2﹣4ay2＝．15．（3分）若a+b＝5，ab＝2，则a2+ab+b2的值为．16．（3分）已知x2+2kx+9是完全平方式，则常数k的值是．17．（3分）在△ABC中，AN是BC边上的高线，且∠BAN＝60°，AM平分∠BAC交BC于点M，则∠MAN的度数为．18．（3分）观察下列各式：；；；……请利用你发现的规律，计算，其结果为．19．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边上，AC＝AD，则∠EDC的大小为°．20．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACD，若AB＝3，则CD的长为．三、解答题（共计60分，其中21题每小题各3分，22～24题各6分，25～27题各10分）21．（12分）计算：（1）﹣23×0.125+20040+|﹣1|；（2）x2y﹣3（x﹣1y）3；（3）；（4）．22．（6分）如图的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC平移后的△A2B2C2，使得A点在x轴上，B点在y轴上；（3）直接写出△ABC的面积．23．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝24．（6分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．25．（10分）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处），并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠DEC+∠ADE＝90°，连接CD．（1）若CD＝CE，判断AB和CD的位置关系，并证明之；（2）当BD＝AE，连接DE，求证：；（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线分别交CD、DE于F、G，若，求△ACF的面积．27．（10分）如图，点B、C分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，A（m，m），∠ABC＝45°，AB＝AC．（1）；（2）当m＝6时，求：四边形ABOC的面积；（3）点D，点E分别在AB，BC上，交AC于点F，连接EF，当∠BAD＝∠AFE，∠BDE＝∠ADC时，S△ADF＝12，求AF的长．

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨113中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5 B．a8÷a2＝a6 C．2x﹣1＝ D．3m+3n＝6mn【解答】解：A、（x3）2＝x8，故此选项不合题意；B、a8÷a2＝a8，此选项符合题意；C、2x﹣1＝，故此选项不合题意；D、3m+3n，故此选项不合题意；故选：B．2．（3分）下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由轴对称图形的概念可知第1个，第2个．第3个不是轴对称图形，是中心对称图形．故是轴对称图形的有①②③．故选：C．3．（3分）在﹣5x﹣3，，﹣0.7xy+y3，，中，分式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：﹣5x﹣3，，﹣0.7xy+y3，，中，分式有：﹣3x﹣3，，中，一共8个．故选：B．4．（3分）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．不变 D．缩小2倍【解答】解：＝2•，把分式中的x和y都扩大2倍，故选：B．5．（3分）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数（）A． B． C． D．【解答】解：对于分式，把分子和分母同时乘以50，故选：B．6．（3分）下列根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝2；B、是最简二次根式；C、＝|a|；D、＝，不是最简二次根式；故选：B．7．（3分）一个长方形的面积为（6ab2﹣4a2b），一边长为2ab，则它的另一边长为（）A．3b2﹣2a B．3b﹣2a C．3b2﹣4a2 D．3b﹣2a2【解答】解：另一边长是：（6ab2﹣2a2b）÷2ab＝5b﹣2a，故选：B．8．（3分）（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣px+12，则p的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：（x﹣2）（x﹣6）＝x8﹣6x﹣2x+12＝x4﹣8x+12，∵（x﹣2）（x﹣7）＝x2﹣px+12，∴p＝8．故选：C．9．（3分）若xn＝2，则x3n的值为（）A．6 B．8 C．9 D．12【解答】解：∵x3n＝（xn）3，xn＝3，∴原式＝x3n＝（xn）3＝x4n＝23＝8．故选：B．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD⊥AF，若AE＝AD，则下列结论中正确的有（）①CE⊥BF；③S△ABC＝S四边形ADCE；④BC﹣EF＝2AD﹣CF．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵AD⊥AF，∠BAD＝∠CAF，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，S△ABC＝S四边形ADCE，∴∠ECB＝90°，∴EC⊥BF，∵∠B＝45°，∠BAD＝15°，∴∠ADF＝60°，∴∠F＝30°，∴EF＝2CE＝2BD，DF＝5AD，∴BD＝EF，∵BC﹣BD＝DF﹣CF，∴BC﹣EF＝2AD﹣CF，∴①、②、③、④正确，故选：D．二、填空题：（每题3分，共30分）11．（3分）将0.000075用科学记数法表示为7.5×10﹣5．【解答】解：0.000075＝7.4×10﹣5．故答案为：7.3×10﹣5．12．（3分）当x≠﹣4或1时，式子有意义．【解答】解：由题可知，当x2+3x﹣2≠0时，分式有意义，解得x≠﹣4或x≠7．故答案为：≠﹣4或1．13．（3分）已知＝2，则代数式﹣2．【解答】解：由题意可知：a﹣b＝﹣2ab∴原式＝＝﹣8故答案为：﹣214．（3分）分解因式：ax2﹣4ay2＝a（x+2y）（x﹣2y）．【解答】解：ax2﹣4ay2＝a（x2﹣4y2）＝a（x+2y）（x﹣2y）．15．（3分）若a+b＝5，ab＝2，则a2+ab+b2的值为23．【解答】解：∵a+b＝5，ab＝2，∴a4+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝82﹣2＝23，故答案为：23．16．（3分）已知x2+2kx+9是完全平方式，则常数k的值是±3．【解答】解：∵（x±3）2＝x8±6x+9且x8+2kx+9是完全平方式，∴x6+6x+9＝x8+2kx+9，∴±6＝2k，∴k＝±3．故答案为：±8．17．（3分）在△ABC中，AN是BC边上的高线，且∠BAN＝60°，AM平分∠BAC交BC于点M，则∠MAN的度数为10°或50°．【解答】解：①如图1中，当高在△ABC内部时，∵∠BAN＝60°，∠CAN＝40°，∴∠BAC＝100°，∵MA平分∠BAC，∴∠BAM＝∠BAC＝50°，∴∠MAN＝∠BAN﹣∠BAM＝60°﹣50°＝10°．②当如图2中，当高在△ABC的外部时，∵∠ABC＝∠BAN﹣∠CAN＝60°﹣40°＝20°，∵MA平分∠BAC，∴∠BAM＝∠BAC＝10°，∴∠MAN＝∠BAN﹣∠BAM＝60°﹣10°＝50°．故答案为10°或50°．18．（3分）观察下列各式：；；；……请利用你发现的规律，计算，其结果为．【解答】解：∵；；；……∴，∴＝＝＝，故答案为：．19．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC边上，AC＝AD，则∠EDC的大小为45°．【解答】解：∵∠B＝2∠ADE，∴设∠ADE＝α，则∠B＝2α，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣8α，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣90°+7α）＝45°+α，∴∠EDC＝45°+α﹣α＝45°，故答案为：45．20．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACD，若AB＝3，则CD的长为6．【解答】解：设CD的中点E，连接AE∵AD⊥AC，∴AE是Rt△ACD斜边CD上的中线，∴AE＝CE＝DE，∴∠ACD＝∠EAC，CD＝2AE，∴∠AEB＝∠ACD+∠EAC＝2∠ACD，∵∠ABC＝5∠ACD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∴CD＝2AE＝7．故答案为：6．三、解答题（共计60分，其中21题每小题各3分，22～24题各6分，25～27题各10分）21．（12分）计算：（1）﹣23×0.125+20040+|﹣1|；（2）x2y﹣3（x﹣1y）3；（3）；（4）．【解答】解：（1）原式＝4﹣8×+1+3＝4﹣1+6+1＝5；（2）原式＝x2y﹣3x﹣3y5＝x﹣1＝；（3）原式＝﹣++＝＝＝﹣＝﹣（m+2）＝﹣m﹣2；（4）原式＝（8+）×＝+．22．（6分）如图的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC平移后的△A2B2C2，使得A点在x轴上，B点在y轴上；（3）直接写出△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求．（2）由题意得，△ABC向左平移1个单位长度2B3C2，如图，△A2B5C2即为所求．（3）△ABC的面积为＝＝．故答案为：．23．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝•＝，当a＝+8时＝．24．（6分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ADC，25．（10分）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论EF＝AE+CF；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处），并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后【解答】解：问题背景：如图1，延长FC到G，连接BG，再证明△BFG≌△BFE；故答案为：EF＝AE+CF；探究延伸1：上述结论仍然成立，即EF＝AE+CF如图7，延长FC到G，连接BG，∵CG＝AE，∠BCG＝∠A＝90°，∴△BCG≌△BAE（SAS），∴BG＝BE，∠ABE＝∠CBG，∵∠ABC＝2∠EBF，∴∠ABE+∠CBF＝∠EBF，即∠CBG+∠CBF＝∠EBF，∴∠GBF＝∠EBF，又∵BF＝BF，∴△BFG≌△BFE（SAS），∴GF＝EF，即GC+CF＝EF，∴AE+CF＝EF∴可得出结论：EF＝AE+CF；探究延伸2：上述结论仍然成立，即EF＝AE+CF如图4，延长DC到H，连接BH，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCH+∠BCD＝180°，∴∠BCH＝∠BAE，∵BA＝BC，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，∴∠HBE＝∠ABC，又∵∠ABC＝2∠MBN，∴∠EBF＝∠HBF，∵BF＝BF，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴EF＝HF＝HC+CF＝AE+CF；实际应用：如图4，连接EF，因为舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，所以∠EOF＝70°．依题意得，OA＝OB，∠B＝120°，因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA＝OB，∠AOB＝2∠EOF，BG于E，F．根据探究延伸2的结论可得：EF＝AE+BF，根据题意得，AE＝75×1.3＝90（海里），所以EF＝90+120＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离为210海里．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠DEC+∠ADE＝90°，连接CD．（1）若CD＝CE，判断AB和CD的位置关系，并证明之；（2）当BD＝AE，连接DE，求证：；（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线分别交CD、DE于F、G，若，求△ACF的面积．【解答】（1）解：AB⊥CD，理由如下：∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵∠DEC+∠ADE＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°，即∠ADC＝90°，∴AB⊥CD；（2）证明：∵AB＝AC，BD＝AE，∴AD＝CE，如图1，过点E作EP⊥DE于E，连接DP，∴△DEP是等腰直角三角形，∴PD＝DE，∴∠DEC+∠CEP＝90°，∵∠DEC+∠ADE＝90°，∴∠CEP＝∠ADE，∴△ADE≌△CEP（SAS），∴AE＝CP，∠A＝∠ECP，∴BD＝CP，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ECP+∠ACB+∠B＝180°，∴BD∥CP，∴∠BDC＝∠DCP，∵DC＝CD，∴△BDC≌△PCD（SAS），∴BC＝DP＝DE；（3）解：如图3，过点F作FM⊥AC于M，由（2）知：AD＝EC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝90°，∵∠DEC+∠ADE＝90°，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AF平分∠BAC，FD⊥AB，∴FD＝FM，∠FMC＝∠BDC＝∠ADF＝90°，∴△FMC是等腰直角三角形，∴FM＝CM＝DF，∵AF＝AF，∠ADF＝∠AMF＝90°，∴Rt△ADF≌Rt△AMF（HL），∴AD＝AM，∵AB＝AC，∴BD＝CM＝DF，设CM＝a，则CF＝a，∴AD＝CD＝DF+CF＝a+a，∵，BD＝，∴BC＝16+6，在Rt△BDC中，BD2+CD4＝BC2，∴a2+（a+a）2＝（16+2）2，∴a2＝，∴S△AFC＝•CF•AD＝•a•（＝•a5＝×＝70+16．27．（10分）